Costruire applicazione lineare
Salve a tutti!
Sono disperato! Ho fatto stamattina l'esame e gli esercizi erano completamente diversi dai soliti!!!
Questo soprattutto mi ha messo in crisi.
TESTO
Siano $U,V sub RR^3$ sottospazi di equazioni $U={x-y=0}$ e $V={x+y+z=0}$
Usando una base opportuna,costruire un'applicazione lineare $f:RR^3 rarr RR^3$ tale che $f^2=I$ e $f(U)=V$ e verificarne la diagonalizzabilità. Fornire una matrice associata a f rispetto alla base canonica di $RR^3$.
RISOLUZIONE
Ehm.
Tutto ciò che sono riuscito a fare è stato costruire una base per $U$ e una per $V$, cioè:
$B_U = {(1,1,0),(0,0,1)}$
$B_V= {(1,0,-1),(0,1,-1)}$.
Il problema è che non ho idea di come proseguire.
Come faccio a costruire la matrice? Non ho l'applicazione!!
Vi prego, aiutatemi!
Pepi
Sono disperato! Ho fatto stamattina l'esame e gli esercizi erano completamente diversi dai soliti!!!
Questo soprattutto mi ha messo in crisi.
TESTO
Siano $U,V sub RR^3$ sottospazi di equazioni $U={x-y=0}$ e $V={x+y+z=0}$
Usando una base opportuna,costruire un'applicazione lineare $f:RR^3 rarr RR^3$ tale che $f^2=I$ e $f(U)=V$ e verificarne la diagonalizzabilità. Fornire una matrice associata a f rispetto alla base canonica di $RR^3$.
RISOLUZIONE
Ehm.
Tutto ciò che sono riuscito a fare è stato costruire una base per $U$ e una per $V$, cioè:
$B_U = {(1,1,0),(0,0,1)}$
$B_V= {(1,0,-1),(0,1,-1)}$.
Il problema è che non ho idea di come proseguire.
Come faccio a costruire la matrice? Non ho l'applicazione!!
Vi prego, aiutatemi!
Pepi
Risposte
Ciao, scusa, posso sapere chi è il tuo professore o che università fai? E' lo stesso compito che ho avuto io stamattina!! Se riuscissimo a scoprire che i nostri professori(o il nostro magari!) propongono gli stessi compiti sarebbe un bel vantaggio per entrambi! Se vuoi scrivimi un PM 
P.S. neanche io lo so svolgere, se qualcuno del forum ci aiutasse per piacere!!
P.S. neanche io lo so svolgere, se qualcuno del forum ci aiutasse per piacere!!
Noto che \(\displaystyle (1,0,-1) + (0,1,-1) = (1,1,-2) = (1,1,0)-2(0,0,1) \). Sia quindi \(\displaystyle v_2 = (1,1,-2) \). Sia inoltre \(\displaystyle v_3 = (1,0,-1) - (0,1,-1) = (1,-1,0) \) e \(\displaystyle v_1 = (1,1,0) + (0,0,1) = (1,1,1)\). Questi \(\displaystyle 3 \) vettori formano una base dello spazio. \(\displaystyle \{v_1, v_2\} \) è una base di \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle \{v_2, v_3\} \) è una base di \(\displaystyle V \).
Ricavo dalle ipotesi che
\(\displaystyle fv_1 = av_2 + bv_3 \)
\(\displaystyle fv_2 = cv_2 + dv_3 \)
\(\displaystyle fv_3 = \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 \)
\(\displaystyle v_1 = ffv_1 = a(cv_2 + dv_3) + b(\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3) \)
da cui si ricava \(\displaystyle b\alpha = 1 \), \(\displaystyle b\beta = -ac \) e \(\displaystyle b\gamma = -ad \).
\(\displaystyle v_2 = ffv_2 = c(cv_2 + dv_3) + d(\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3) \)
da cui si ricava \(\displaystyle d\alpha = 0 \), \(\displaystyle d\beta +c^2 = 1 \) e \(\displaystyle d\gamma = -cd \).
Siccome \(\displaystyle \alpha\neq 0 \) da \(\displaystyle b\alpha = 1 \) si ricava \(\displaystyle d = 0 \) cioè \(\displaystyle c^2 = 1 \), \(\displaystyle b\gamma = 0 \) e quindi \(\displaystyle \gamma = 0 \) ed infine \(\displaystyle \beta = \mp\frac{a}{b} \) .
Pertanto si ha che \begin{cases} fv_1 = av_1 & & + bv_3 \\
fv_2 = & \pm v_2 & \\
fv_3 = b^{-1}v_1 & & \mp\frac{a}{b} v_2
\end{cases}
A questo punto non è troppo difficile. Sempre che non abbia fatto errori di calcolo in giro
.
Ricavo dalle ipotesi che
\(\displaystyle fv_1 = av_2 + bv_3 \)
\(\displaystyle fv_2 = cv_2 + dv_3 \)
\(\displaystyle fv_3 = \alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 \)
\(\displaystyle v_1 = ffv_1 = a(cv_2 + dv_3) + b(\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3) \)
da cui si ricava \(\displaystyle b\alpha = 1 \), \(\displaystyle b\beta = -ac \) e \(\displaystyle b\gamma = -ad \).
\(\displaystyle v_2 = ffv_2 = c(cv_2 + dv_3) + d(\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3) \)
da cui si ricava \(\displaystyle d\alpha = 0 \), \(\displaystyle d\beta +c^2 = 1 \) e \(\displaystyle d\gamma = -cd \).
Siccome \(\displaystyle \alpha\neq 0 \) da \(\displaystyle b\alpha = 1 \) si ricava \(\displaystyle d = 0 \) cioè \(\displaystyle c^2 = 1 \), \(\displaystyle b\gamma = 0 \) e quindi \(\displaystyle \gamma = 0 \) ed infine \(\displaystyle \beta = \mp\frac{a}{b} \) .
Pertanto si ha che \begin{cases} fv_1 = av_1 & & + bv_3 \\
fv_2 = & \pm v_2 & \\
fv_3 = b^{-1}v_1 & & \mp\frac{a}{b} v_2
\end{cases}
A questo punto non è troppo difficile. Sempre che non abbia fatto errori di calcolo in giro
.
Avrei una soluzione un po' più semplice, anche se meno generale.
Stante alle ipotesi si può porre (per esempio) :
\(\displaystyle (1) \begin{cases} f \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\\f\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \end{cases} \)
In questo modo resta soddisfatta la condizione $f(U)=V$
Una terza condizione la si può avere dalla relazione $f^2=I_3$. Da qui si ha:
\(\displaystyle f^2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=I_3\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \)
Oppure:
\(\displaystyle f\left(f\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \)
e quindi per la prima delle (1) :
\(\displaystyle (2) f\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \)
Mettendo insieme (1) e (2) si ha alla fine :
\(\displaystyle (3) \begin{cases} f \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\\f\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \\f \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{cases} \)
Poiché i tre vettori $(1,1,0)^T,(0,0,1)^T,(1,0,-1)^T$ sono lin. ind., le (3) definiscono la f in modo univoco in relazione alle scelte fatte. Ovviamente altre possibili scelte porterebbero a risultati differenti.
Partendo dalle (3), con i soliti procedimenti, si trova che la f è definita come segue:
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\2x-2y+z\\-x-z\end{pmatrix} \)
da cui è facile ricavare la matrice associata alla f ( rispetto alle basi canoniche sia in entrata che in uscita ) e verificare che, sempre in rapporto alle scelte fatte, essa è diagonalizzabile.
Stante alle ipotesi si può porre (per esempio) :
\(\displaystyle (1) \begin{cases} f \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\\f\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \end{cases} \)
In questo modo resta soddisfatta la condizione $f(U)=V$
Una terza condizione la si può avere dalla relazione $f^2=I_3$. Da qui si ha:
\(\displaystyle f^2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=I_3\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \)
Oppure:
\(\displaystyle f\left(f\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \)
e quindi per la prima delle (1) :
\(\displaystyle (2) f\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \)
Mettendo insieme (1) e (2) si ha alla fine :
\(\displaystyle (3) \begin{cases} f \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\\f\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \\f \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \end{cases} \)
Poiché i tre vettori $(1,1,0)^T,(0,0,1)^T,(1,0,-1)^T$ sono lin. ind., le (3) definiscono la f in modo univoco in relazione alle scelte fatte. Ovviamente altre possibili scelte porterebbero a risultati differenti.
Partendo dalle (3), con i soliti procedimenti, si trova che la f è definita come segue:
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\2x-2y+z\\-x-z\end{pmatrix} \)
da cui è facile ricavare la matrice associata alla f ( rispetto alle basi canoniche sia in entrata che in uscita ) e verificare che, sempre in rapporto alle scelte fatte, essa è diagonalizzabile.
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