Così banale... che non ci arrivo
Ciao a tutti. Questa è una domanda un pochino sciocca ma ritengo che sia ugualmente curiosa:
Come si potrebbe dimostrare un qualche procedimento per esprimere o per ricavarsi le equazioni degli assi cartesiani nello spazio? Mi spiego meglio: come è noto, l'equazione di una retta nello spazio non può che essere espressa in forma parametrica o vettoriale oppure come intersezione fra due piani e per logica questo dovrebbe essere ugualmente valido anche per gli assi cartesiani spaziali. Però non ho trovato una dimostrazione rigorosa di questo fatto. Esiste già ""pronta"" da qualche parte oppure c'è un metodo per ricavarsela?
Come si potrebbe dimostrare un qualche procedimento per esprimere o per ricavarsi le equazioni degli assi cartesiani nello spazio? Mi spiego meglio: come è noto, l'equazione di una retta nello spazio non può che essere espressa in forma parametrica o vettoriale oppure come intersezione fra due piani e per logica questo dovrebbe essere ugualmente valido anche per gli assi cartesiani spaziali. Però non ho trovato una dimostrazione rigorosa di questo fatto. Esiste già ""pronta"" da qualche parte oppure c'è un metodo per ricavarsela?
Risposte
Allo stesso modo con cui trovi le equaizoni delle rette, gli assi cartesiani nello spazio sono tre rette.
"Luca.Lussardi":
Allo stesso modo con cui trovi le equaizoni delle rette, gli assi cartesiani nello spazio sono tre rette.
quindi bastava semplicemente fare il sistema fra i due piani che contengono lo stesso asse? [ma è sufficiente come dimostrazione?]
Scrivi per bene cosa vuoi dimostrare.
Concordo con Luca, non è chiaro "dove vuoi arrivare"
Si è vero, scusatemi, prima andavo un pochino di fretta e mi sono espresso in malo modo. Volevo semplicemenente capire se e come si può dimostrare che non esiste un'espressione analitica esplicita in forma cartesiana per una retta nello spazio, sia essa uno dei tre assi cartesiani o una retta qualsiasi. Volevo inoltre capire se e come si può dimostrare che le uniche possibilità sono quelle di esprimerla in forma parametrica o in forma vettoriale [che, se non ho capito male dovrebbe essere la stessa cosa] oppure come """curva""" generata dall'intersezione di due superfici e ponendo in un sistema le relative equazioni [ovviamente le due superfici in questione devono essere due piani]
"magliocurioso":
Si è vero, scusatemi, prima andavo un pochino di fretta e mi sono espresso in malo modo. Volevo semplicemenente capire se e come si può dimostrare che non esiste un'espressione analitica esplicita in forma cartesiana per una retta nello spazio, sia essa uno dei tre assi cartesiani o una retta qualsiasi.
Cioè, vuoi sapere che non si può trovare una funzione $f: RR^2 \to RR$ t.c. il suo grafico, ovvero il luogo dei punti $(x,y,z)$ t.c. $z = f(x,y)$ sia una retta data?
Intuitivamente sembra esserci un problema di "dimensione" sbagliata.
Una dimostrazione è la seguente. Puoi sempre sistemare gli assi cartesiani in modo che, presi $(x_1,y_1) =(0,0)$ e $(x_2,y_2)=(1,0)$, i punti $(x_1,y_1,f(x_1,y_1))$ e $(x_2,y_2,f(x_2,y_2))$ stiano sulla retta.
Ma, avendo fatto questa scelta, tutti i punti della retta devono giacere nel piano $y=0$. Pertanto, un punto del tipo $(0,1,f(0,1))$ non può stare sulla retta. Quindi il grafico di $f$ non coincide con la retta data.
Se poi non ho capito la tua domanda (cosa che mi sembra molto probabile), dimmelo!
"magliocurioso":
Si è vero, scusatemi, prima andavo un pochino di fretta e mi sono espresso in malo modo. Volevo semplicemenente capire se e come si può dimostrare che non esiste un'espressione analitica esplicita in forma cartesiana per una retta nello spazio, sia essa uno dei tre assi cartesiani o una retta qualsiasi. Volevo inoltre capire se e come si può dimostrare che le uniche possibilità sono quelle di esprimerla in forma parametrica o in forma vettoriale [che, se non ho capito male dovrebbe essere la stessa cosa] oppure come """curva""" generata dall'intersezione di due superfici e ponendo in un sistema le relative equazioni [ovviamente le due superfici in questione devono essere due piani]
Devi osservare che una retta è a un solo grado di libertà.
"Fioravante Patrone":
Cioè, vuoi sapere che non si può trovare una funzione $f: RR^2 \to RR$ t.c. il suo grafico, ovvero il luogo dei punti $(x,y,z)$ t.c. $z = f(x,y)$ sia una retta data?
Esatto, non credo che si possa trovare una definizione migliore per questo problema. Però non ho capito cosa intendi per
"Fioravante Patrone":
problema di "dimensione" sbagliata
"magliocurioso":[/quote]
Però non ho capito cosa intendi per
[quote="Fioravante Patrone"]problema di "dimensione" sbagliata
Intendo dire che una retta è un oggetto ad una dimensione (vedi anche quanto detto da franced, che fa riferimento a "un grado di libertà"), mentre il grafico di una funzione di due variabili è tipicamente un oggetto bidimensionale, una superficie. Intendevo dire che questo fa capire "a occhio" che la risposta alla tua domanda dovrebbe essere no.
"Fioravante Patrone":
Intendo dire che una retta è un oggetto ad una dimensione (vedi anche quanto detto da franced, che fa riferimento a "un grado di libertà"), mentre il grafico di una funzione di due variabili è tipicamente un oggetto bidimensionale, una superficie. Intendevo dire che questo fa capire "a occhio" che la risposta alla tua domanda dovrebbe essere no.
è VERISSIMO [me perchè non ci sono arrivato subito?
]Se però penso la retta nello spazio come una superficie degenere si può fare qualcosa oppure ho detto una bestemmia?
"magliocurioso":
Se però penso la retta nello spazio come una superficie degenere si può fare qualcosa oppure ho detto una bestemmia?
Direi che è legittimo, però è una questione diversa da quella che ponevi e non ti aiuta rispetto a quella.
Per ribadire la "legittimità" di quello che dici, basta pensare a: $x^2 + y^2 = r^2$ che, nello spazio, descrive un cilindro illimitato per $r != 0$, mente per $r = 0$ ti dà l'asse $z$.
Se è per quello, anche un punto può essere visto come una superficie degenere: $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ e non penso serva dire altro
Ti suggerirei però di fare molta attenzione nel trattare le "cose degeneri", perché si rischia di prendere cantonate, se non si usa con precisione il linguaggio giusto.
"Fioravante Patrone":
Ti suggerirei però di fare molta attenzione nel trattare le "cose degeneri", perché si rischia di prendere cantonate, se non si usa con precisione il linguaggio giusto.
No no, non sono solo le "cose degeneri", è tutto sto esame di algebra lineare & geometria analitica che mi sta facendo prendere un sacco di cantonate
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