Coseni direttori bisettrice...

[Incognita X]

Buongiorno a tutti.

Dovrei svolgere un problema all'apparenza semplice, usando i vettori, il cui risultato però è assai complicato. Di seguito riporto il testo:

Dati due vettori $u = (2,1)$ e $v= (1,3)$. Trovare i coseni direttori della bisettrice dei due angoli formati dai vettori.

Allora, i coseni direttori rappresentano le componenti del versore direzionale, quindi io dovrei trovare il versore direzionale delle bisettrici.

I due angoli che formano tali vettori sono $\pi/4$ e $5/4 \pi$. Non sò assolutamente come trovare la bisettrice... perché non basta dividere in due gli angoli...

Vi chiedo quindi se potete aiutarmi. Grazie.

[Lord K]

Il vettore
$u=(2,1)$
può essere scritto come (in coordinate polari $(rho,phi)$)
$u=(sqrt(5),arctg(1/2))$

mentre:
$v=(1,3)$
in coordinate polari:
$v=(sqrt(10),arctg(1/3))$

Il versore direzionale della direttrice è in coordinate polari:
$omega=(1,1/2[arctg(1/2)-arctg(1/3)])$
ovvero in coordinate cartesiane:

$(cos(1/2[arctg(1/2)-arctg(1/3)]), sin(1/2[arctg(1/2)-arctg(1/3)]))$

[Incognita X]

Grazie per avermi risposto.

Quindi bastava ricavare le coordinate polari dei vettori e svolgere i calcoli. Il tuo ragionamento non fa una piega, ma il problema è che il risultato della dispensa di matematica è diverso (non sò se è corrispondente). Te lo riporto qua di seguito:

Prima bisettrice:
$ cos\theta_1 = \pm (3-\sqrt(2))/(\sqrt(10)\sqrt(2-\sqrt(2)))$,

$ cos\theta_2 = \pm (2\sqrt(2)-1)/(\sqrt(10)\sqrt(2-\sqrt(2))) $.

Seconda bisettrice:
$ cos\theta_1 = \pm (2\sqrt(2)-1)/(\sqrt(10)\sqrt(2-\sqrt(2))) $,

$ cos\theta_2 = \pm (3-\sqrt(2))/(\sqrt(10)\sqrt(2-\sqrt(2)))$.

[Lord K]

"Lord K":Il vettore
$u=(2,1)$
può essere scritto come (in coordinate polari $(rho,phi)$)
$u=(sqrt(5),arctg(1/2))$

mentre:
$v=(1,3)$
in coordinate polari:
$v=(sqrt(10),arctg(1/3))$

Il versore direzionale della direttrice è in coordinate polari:
$omega=(1,1/2[arctg(1/2)-arctg(1/3)])$
ovvero in coordinate cartesiane:

$(cos(1/2[arctg(1/2)-arctg(1/3)]), sin(1/2[arctg(1/2)-arctg(1/3)]))$

Qui in effetti manca anche l'altra...

$(cos(1/2[arctg(1/3)-arctg(1/2)]), sin(1/2[arctg(1/3)-arctg(1/2)]))$

e poi si dovrebbero riuscire a ricavare i dettagli che hai trovato tu, solo che il tutto è abbastanza laborioso...

[Incognita X]

"Lord K":

Qui in effetti manca anche l'altra...

$(cos(1/2[arctg(1/3)-arctg(1/2)]), sin(1/2[arctg(1/3)-arctg(1/2)]))$

e poi si dovrebbero riuscire a ricavare i dettagli che hai trovato tu, solo che il tutto è abbastanza laborioso...

E proprio per questo che faccio fatica... inoltre non ho una "mentalità matematica", anche se ho preso questo ramo... mi potresti spiegare in breve, senza fare calcoli, come posso ricavare quei risultati dalla forma che mi hai suggerito tu? Grazie ancora per l'aiuto.

P.S: Posso far direttamente i calcoli senza utilizzare la notazione polare, ma solo quella cartesiana?