Coseni direttori

[pisanivito]

Buona domenica a tutti. Avrei delle perplessità in merito ad un esercizio.
Questa è la traccia:



Dopo aver trasformato la retta in forma parametrica, calcolato i parametri direttori ottengo i seguenti coseni direttori:
\( (\frac{1}{3},\frac{-2}{3},\frac{-2}{3}) \). Il coseno è una funzione pari, percui cos(x) = cos(-x) quindi opterei per la risposta C. Ma vorrei confrontarmi con voi, per capire cosa sarebbero quel (+-) invertito.
Grazie.

[anonymous_0b37e9]

Per esempio, nel caso [C]:

$(1/3,2/3,2/3) vv (-1/3,-2/3,-2/3)$

Del resto, i due vettori liberi di modulo unitario (versori liberi) paralleli alla direzione di una retta hanno componenti opposte. Ad ogni modo, poiché:

$\{(2x+y=2),(2x+z=1):} rarr (x-0)/-1=(y-2)/2=(z-1)/2 rarr (-1/3,2/3,2/3)$

$\{(2x+y=2),(2x+z=1):} rarr (x-0)/1=(y-2)/-2=(z-1)/-2 rarr (1/3,-2/3,-2/3)$

la risposta corretta è [A].

[pisanivito]

Grazie per la risposta. Allora trasformando la retta in forma parametrica ottengo \( \begin{cases} x=t \\ y=2-2t \\ z=1-2t \end{cases} \), il vettore direttore ottenuto è v=(1,-2,-2). A questo punto i coseni direttori li ottengo eseguendo il rapporto tra l,m,n divisi per il modulo del vettore direttore. dove l,m,n risultano essere le componenti del vettore direttore.
ottenendo ($1/3$,$-2/3$,$-2/3$). L'osservazione che sarei in grado di fare è che: essendo cos(x) una funzione pari allora posso ammettere queste soluzioni:$ (1/3,-2/3,-2/3) vv (-1/3,2/3,2/3) $
Ecco, naturalmente, ti prego di correggermi nel caso.
In effetti all'interno gli elementi $(-1/3,2/3,2/3)$ rappresentano le componenti di un vettore direttore, parallelo alla stessa retta in questione, ma con verso opposto.
Ma non sono riuscito a capire l'implicazione dopo i due sistemi, nella seconda parte della riposta.
Ti ringrazio.

[anonymous_0b37e9]

"pritt":
Ma non sono riuscito a capire ...

Premesso che si può scrivere l'equazione cartesiana di una retta nel modo seguente:

$(x-x_0)/l=(y-y_0)/m=(z-z_0)/n$

si tratta di un modo rapido per ricavarla:

$\{(2x+y=2),(2x+z=1):} rarr \{(-x=(y-2)/2),(-x=(z-1)/2):} rarr \{((x-0)/-1=(y-2)/2),((x-0)/-1=(z-1)/2):} rarr (x-0)/-1=(y-2)/2=(z-1)/2$

[pisanivito]

Perfetto, ti seguo. Grazie per avermi illustrato questo nuovo metodo, sicuramente più immediato.