Cosa significa scrivere l'elemento neutro come somma di vettori non nulli proventienti da sottospazi diversi?
Ciao. Sia \( V \) uno spazio vettoriale, e \( \left\{S_i\right\}_{i\in I} \) una famiglia di suoi sottospazi. Come si interpreta esattamente la condizione sugli \( S_i \) che "lo \( 0 \) può essere espresso come somma di vettori non nulli provenienti da sottospazi distinti in \( \left\{S_i\right\}_{i\in I} \)"?
La cabala più sensata mi sembra essere la seguente: è possibile scrivere \( 0 \) come somma \( s_1+\dots+s_k \), dove almeno un \( s_i \) non è nullo, e se \( s_j\in S_{\iota_j} \), allora tutti gli altri appartengono a \( \left(\bigcup_{i\in I}S_i\right)\setminus{S_{\iota_j}} \).
La cabala più sensata mi sembra essere la seguente: è possibile scrivere \( 0 \) come somma \( s_1+\dots+s_k \), dove almeno un \( s_i \) non è nullo, e se \( s_j\in S_{\iota_j} \), allora tutti gli altri appartengono a \( \left(\bigcup_{i\in I}S_i\right)\setminus{S_{\iota_j}} \).
Risposte
Grazie per la risposta. Ciò che si vorrebbe dimostrare è che questa proprietà (in seguito, "a") su \( \left\{S_i\right\}_{i\in I} \) è equivalente al fatto che (in seguito, "b"), per ogni \( i\in I \), sia \( S_i\cap\left(\sum_{j\neq i}S_j\right)=0 \). Credo che la somma \( \sum_{j\neq i}S_j \) sia definita come il sottospazio
\[
\sum_{j\neq i}S_j:=\left\{\sum_{j=1}^k s_j:\text{$ s_j\in{\left(\bigcup_{i\in I}S_i\right)\setminus S_i} $, per $ 1\leqq j\leqq k $, $ k\in\mathbb{N} $}\right\}
\] ma sinceramente non ne sono sicuro (occorrerà tenere conto di un'indicizzazione non iniettiva, no?).
La dimostrazione, in una direzione, è la seguente (anche con le stesse convenzioni, che non comprendo, sui pedici):
\[
\sum_{j\neq i}S_j:=\left\{\sum_{j=1}^k s_j:\text{$ s_j\in{\left(\bigcup_{i\in I}S_i\right)\setminus S_i} $, per $ 1\leqq j\leqq k $, $ k\in\mathbb{N} $}\right\}
\] ma sinceramente non ne sono sicuro (occorrerà tenere conto di un'indicizzazione non iniettiva, no?).
La dimostrazione, in una direzione, è la seguente (anche con le stesse convenzioni, che non comprendo, sui pedici):
supposto non valere "a", si può scrivere \( 0 \) come una somma "misteriosa" \( 0=s_{j_1}+\dots+s_{j_n} \), "where the nonzero \( s_{j_i} \)'s comes form different subspaces \( S_{j_i} \). Then \( n>1 \) and so \( -s_{j_1}=s_{j_2}+\dots+s_{j_n} \), which violates 'b'".
[strike]In realtà non mi serve una risposta proprio a questo. Mi basterebbe un link ad una dispensa su somme dirette di famiglie qualunque (in giro è pieno di roba su ciò, a quanto vedo. Ma dovrei prima vedermi qualcosa sui moduli, e ho paura di non capirci nulla).[/strike]
Ho risolto
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