Correzione risoluzione esercizi: algebra lineare
Ciao ragazzi, gli esami si avvicinano e sto guardando un pò gli esercizi più frequenti nelle prove scritte degli ultimi anni..
Ne ho fatti alcuni, volevo chiedere dei pareri su alcune mie risoluzioni.. E' molto importante, sarò tanto grato a chi mi darà una mano!
Grazie mille a tutti ragazzi..
Bene ecco gli esercizi:
1. Sia A una matrice quadrata triangolare superiore con n lambda sulla diagonale. Dire in termini di coefficienti $a_(i,j)$ quando A è diagonalizzabile se:
i) $lambda_i$ su diagonale tutti uguali
ii)$lambda_i$ su diagonale tutti distinti
iii)$lambda_2=lambda_n=lambda$ uguali e distinti da $lambda_1$
-Ho ragionato sulle molteplicità geometriche necessarie alla diagonalizzabilità e ho concluso che:
i) se elementi sulal diagonale tutti uguali, la matrice è diagonalizzabile se e solo se al di sopra della diagonale gli elementi sono tutti nulli.
ii)se gli elementi sulla diagonale sono tutti diversi gli elementi al di sopra della diagonale possono avere qualunque valore
iii)se gli elementi sulla diagonale sono tutti uguali ad eccezione del primo gli elementi al di sopra della diagonale saranno tutti nulli ad eccezione della prima riga dove potranno avere qualunque valore.
2. Determinare per quali $a,b in R$ la matrice è diagonale :
$ A= ({: ( -3 , 0 , 0 ),( 2a , b , a ),( 10 , 0 , 2 ) :}) $
- Ho computato il polinomio caratteristico: $ (-3-lambda)(b-lambda)(2-lambda)
3,2,b sono autovalori.
Ho verificato molteplicità geometrica per b=2, b=3. Risulta che per b=3 la matrice ha molteplicità geometrica 1. Il valore b=3 non è dunque accettabile.
Per b=2 la matrice ha molteplicità geometrica 2 se e solo se a=0. b=2 è dunque un valore accettabile se e solo se a=0.
Ne consegue che b è accettabile per ogni valore $x in R-[3,2]$ ed è accettabile per 2 se e solo se a=0.
Per ogni altro b, a può avere qualsiasi valore.
3. Sia A una matrice quadrata nxn. Utilizzando Leibniz dimostrare det(A) = det(tA) (trasposta)
-Questo esercizio mi ha creato qualche problema. Vista la definizione della formula di Leibniz per il determinante ho intuito che debbano essere uguali in quanto cambia l'ordine' ma non la parità delle permutazioni. Non so però formalizzarlo! Aiuto :'(!
4. Sia A una matrice 2x2 con detA =1 del tipo:
$ A= ({: ( a , b ),( c , d ) :}) $
Dire in termini di coefficienti quando la matrice è diagonalizzabile.
-Su questo non sono molto sicuro dello svolgimento, per quanto semplice..
Ho pensato che A è diagonalizzabile se simile a A' diagonale $rArr P(A) = P(A')= (x-lambda)(y-lambda)$.
Perchè il polinomio caratteristico di A abbia quella forma c o d devono essere uguali a 0.
il fatto che il determinante di A sia uguale a 1 implica inoltre che $a*d=1 rArr (a=d=1) aut (d=1/a) $
E poi questo maledetto esercizio, per cui non riesco a trovare una soluzione non sapendo davvero dove mettere le mani.. E' probabilmente l'esercizio al momento per me più importante da risolvere tra questi:
5.i) Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione n e
$D:V^m=Vx....xV->K$
Applicazione mutilineare alternante tale che m>n. Dimostrare che D è l'applicazione banale (costante 0)
ii)Sia $D:Vx...xV=V^n->k$ una funzione determiannte non banale su uno spazio vettoriale V di dimensione ne $f:V->V$ un applicazione lineare. Dimostrare che $D':Vx...xV=V^n->k$, definita da:
$D'(v_1,....,v_n)=D(f(v_1),...,f(v_n)$,
è una funzione determinante su V. COncludere che esiste uno scalare $lambda in K$ tale che $D'=lambdaD$ e che lambda non dipende dalla scelta di D.
Scusate per il papiro.. Ma ormai la paura fa 90 e... Ho un tremendo bisogno di una mano!!
Ciao a tutti ragazzi, grazie e ancora grazie a chiunque mi aiuterà.
Ne ho fatti alcuni, volevo chiedere dei pareri su alcune mie risoluzioni.. E' molto importante, sarò tanto grato a chi mi darà una mano!
Grazie mille a tutti ragazzi..
Bene ecco gli esercizi:
1. Sia A una matrice quadrata triangolare superiore con n lambda sulla diagonale. Dire in termini di coefficienti $a_(i,j)$ quando A è diagonalizzabile se:
i) $lambda_i$ su diagonale tutti uguali
ii)$lambda_i$ su diagonale tutti distinti
iii)$lambda_2=lambda_n=lambda$ uguali e distinti da $lambda_1$
-Ho ragionato sulle molteplicità geometriche necessarie alla diagonalizzabilità e ho concluso che:
i) se elementi sulal diagonale tutti uguali, la matrice è diagonalizzabile se e solo se al di sopra della diagonale gli elementi sono tutti nulli.
ii)se gli elementi sulla diagonale sono tutti diversi gli elementi al di sopra della diagonale possono avere qualunque valore
iii)se gli elementi sulla diagonale sono tutti uguali ad eccezione del primo gli elementi al di sopra della diagonale saranno tutti nulli ad eccezione della prima riga dove potranno avere qualunque valore.
2. Determinare per quali $a,b in R$ la matrice è diagonale :
$ A= ({: ( -3 , 0 , 0 ),( 2a , b , a ),( 10 , 0 , 2 ) :}) $
- Ho computato il polinomio caratteristico: $ (-3-lambda)(b-lambda)(2-lambda)
3,2,b sono autovalori.
Ho verificato molteplicità geometrica per b=2, b=3. Risulta che per b=3 la matrice ha molteplicità geometrica 1. Il valore b=3 non è dunque accettabile.
Per b=2 la matrice ha molteplicità geometrica 2 se e solo se a=0. b=2 è dunque un valore accettabile se e solo se a=0.
Ne consegue che b è accettabile per ogni valore $x in R-[3,2]$ ed è accettabile per 2 se e solo se a=0.
Per ogni altro b, a può avere qualsiasi valore.
3. Sia A una matrice quadrata nxn. Utilizzando Leibniz dimostrare det(A) = det(tA) (trasposta)
-Questo esercizio mi ha creato qualche problema. Vista la definizione della formula di Leibniz per il determinante ho intuito che debbano essere uguali in quanto cambia l'ordine' ma non la parità delle permutazioni. Non so però formalizzarlo! Aiuto :'(!
4. Sia A una matrice 2x2 con detA =1 del tipo:
$ A= ({: ( a , b ),( c , d ) :}) $
Dire in termini di coefficienti quando la matrice è diagonalizzabile.
-Su questo non sono molto sicuro dello svolgimento, per quanto semplice..
Ho pensato che A è diagonalizzabile se simile a A' diagonale $rArr P(A) = P(A')= (x-lambda)(y-lambda)$.
Perchè il polinomio caratteristico di A abbia quella forma c o d devono essere uguali a 0.
il fatto che il determinante di A sia uguale a 1 implica inoltre che $a*d=1 rArr (a=d=1) aut (d=1/a) $
E poi questo maledetto esercizio, per cui non riesco a trovare una soluzione non sapendo davvero dove mettere le mani.. E' probabilmente l'esercizio al momento per me più importante da risolvere tra questi:
5.i) Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione n e
$D:V^m=Vx....xV->K$
Applicazione mutilineare alternante tale che m>n. Dimostrare che D è l'applicazione banale (costante 0)
ii)Sia $D:Vx...xV=V^n->k$ una funzione determiannte non banale su uno spazio vettoriale V di dimensione ne $f:V->V$ un applicazione lineare. Dimostrare che $D':Vx...xV=V^n->k$, definita da:
$D'(v_1,....,v_n)=D(f(v_1),...,f(v_n)$,
è una funzione determinante su V. COncludere che esiste uno scalare $lambda in K$ tale che $D'=lambdaD$ e che lambda non dipende dalla scelta di D.
Scusate per il papiro.. Ma ormai la paura fa 90 e... Ho un tremendo bisogno di una mano!!
Ciao a tutti ragazzi, grazie e ancora grazie a chiunque mi aiuterà.
Risposte
[mod="Steven"]Ciao, ho modificato il titolo del topic "Correzione risoluzione esercizi.. Molto importante :'(! ", in modo che fosse più specifico, come è indicato dal regolamento.[/mod]
Non ho troppo tempo ora, vediamo ad esempio il 2.
Il polinomio caratteristico è corretto,
[tex]$p(\lambda)=(-3-\lambda)(b-\lambda)(2-\lambda)$[/tex]
Tuttavia i casi che devi esaminare a mano non sono [tex]$b=2$[/tex] e [tex]$b=3$[/tex], bensì
[tex]$b=2$[/tex] e [tex]$b=-3$[/tex]
Le considerazioni fatto per il caso [tex]$b=2$[/tex] mi sembrano ok.
Ciao!
Non ho troppo tempo ora, vediamo ad esempio il 2.
Il polinomio caratteristico è corretto,
[tex]$p(\lambda)=(-3-\lambda)(b-\lambda)(2-\lambda)$[/tex]
Tuttavia i casi che devi esaminare a mano non sono [tex]$b=2$[/tex] e [tex]$b=3$[/tex], bensì
[tex]$b=2$[/tex] e [tex]$b=-3$[/tex]
Le considerazioni fatto per il caso [tex]$b=2$[/tex] mi sembrano ok.
Ciao!
Hai ragione, distrazione maledetta 
! Grazie Steven!
! Grazie Steven!
Ragazzi nessuno riesce ad aiutarmi con l'ultimo esercizio?
per il quinto esercizio primo punto:
In uno spazio di dimensione n non puoi avere più di n vettori linearmente indipendenti. L'applicazione multilineare richiede $m>n$ vettori, quindi per ogni m-upla di vettori che prendi sai che essi non sono linearmente indipendenti, ma questo significa che la tua applicazione è 0 (perché è alternante). Quindi per ogni $vin V^m D(v) = 0$, che è la tesi. Scusa il poco formalismo ma l'idea essenziale è questa e vado un po' di fretta.
In uno spazio di dimensione n non puoi avere più di n vettori linearmente indipendenti. L'applicazione multilineare richiede $m>n$ vettori, quindi per ogni m-upla di vettori che prendi sai che essi non sono linearmente indipendenti, ma questo significa che la tua applicazione è 0 (perché è alternante). Quindi per ogni $vin V^m D(v) = 0$, che è la tesi. Scusa il poco formalismo ma l'idea essenziale è questa e vado un po' di fretta.
Grazie tante Zkeggia! Hai idea di come possa discutere il secondo punto :'( ?
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