Correzione esercizio applicazione lineare

[Carlocchio]

Ho un'applicazione L:R3-->R4 rappresentata sulle basi canoniche dalla matrice
\( A=\begin{pmatrix} 3 & 0& 1 \\ 2& 3 & -1\\ 0 & 0 & 2 \\ 4& 1 & 1\end{pmatrix} \)
e un'applicazione T:R4-->R3 definita da $ T(x,y,z,t)=(x-y,x-z,x-t) $
Devo stabilire se ToL è invertibile.

Ho proceduto al seguente modo:
Ho moltiplicato la matrice A per una matrice \( \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} \) ed ho ottenuto che l'applicazione L è definita da $ (3x+z,2x+3y-z, 2z,4x+y+z) $.
ToL sarà quindi $ T(3x+z,2x+3y-z, 2z,4x+y+z)=(3x-3y+2z,3x-z,-x-y) $
Per essere invertibile deve risultare biiettiva e quindi la matrice \( B=\begin{pmatrix} 3 & -3& 2\\ 3& 0& -1\\ -1& -1& 0\end{pmatrix} \)
deve avere rango=3
Il determinante viene D(B)=-12 che è diverso da 0, la matrice ha rango=3 e ne segue che l'immagine è Im=3 e il nucleo Ker=0 e quindi l'applicazione è invertibile.
E' corretto?
Grazie mille a chi mi può aiutare

[_prime_number]

Direi tutto corretto .

Paola

[Carlocchio]

Evvai eheh!! Grazie mille:)

[Carlocchio]

Già che ci sono approfitto per chiedere un ulteriore aiuto. Il secondo punto dell'esecizio chiede di determinarne l'inversa... qualche suggerimento su come fare? grazie ancora

[_prime_number]

L'applicazione inversa agirà tramite la matrice $B^{-1}$ (rispetto alle basi canoniche visto che $B$ era rispetto ad esse).

Paola

[Carlocchio]

Mi viene \( B^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 3 \\ -3 & 0 & -9 \end{pmatrix}/-12 \) è corretto?

[_prime_number]

Beh prova a moltiplicarla per $B$ e lo vedi da solo se è corretto! Pigrone!

Paola

[Carlocchio]

Ahahah ok ora provo!!