Correzione esercizi di geometria.
Ho fatto questi esercizi di cui non sono sicuro se ho fatto bene...in macanza di risultati chiedo a voi.
$U = L((1,-1,0,0)(0,1,-1,0)(-1,2,-1,0))$
$W = {(x,y,z,t) : y-z = 0, x+t = 0}$
Determinare una rappresentazione cartesiana di U + W
In primis ho controllato se L(U) è una base o un sistema di generatori.
E' un sistema di generatori in quanto il secondo vettore dipende lineramente dagli altri.
Quindi in definitiva
$U = L((1,-1,0,0)(-1,2,-1,0))$
Ho poi determinato una base di W
$y = z, x = -t => (x,y,y,-x) => (1,0,0,-1)(0,1,1,0)$
Ho quindi determinato una base dello spazio somma (qui forse ho sbagliato?) mettendo tutti i vettori assieme e controllando se assieme formassero una base o c'era dipendenza.
Poichè il determinante della matrice 4x4 = -2, il rango è 4 e i vettori sono indipendenti.
Come posso quindi passare alla forma cartesiana?
Trovare una base di $ U nn W $
Ho preso i vettori della base ed eguagliati in una combinazione lineare
$alpha(1,0,0,-1) + beta(0,1,1,0) = gamma(1,-1,0,0) + delta(-1,2,-1,0)$
Risolvendo il sistema associato
${alpha + gamma - delta = 0$
${beta - gamma - 2 * delta = 0$
${beta - delta = 0$
${-alpha = 0$
Da cui
$alpha = 0: beta = gamma = delta$
Quindi la base dovrebbe essere
$(0,1,1,1)$
Ho fatto bene?
$F(x,y,z) = (x,hx+y+2z,x-z)$
Per quali valori di h (2,0,1) è un autovettore?
Mi sono trovato gli autovalori, ma non ho capito come procedere poi per trovare il valore di h.
Graize!
$U = L((1,-1,0,0)(0,1,-1,0)(-1,2,-1,0))$
$W = {(x,y,z,t) : y-z = 0, x+t = 0}$
Determinare una rappresentazione cartesiana di U + W
In primis ho controllato se L(U) è una base o un sistema di generatori.
E' un sistema di generatori in quanto il secondo vettore dipende lineramente dagli altri.
Quindi in definitiva
$U = L((1,-1,0,0)(-1,2,-1,0))$
Ho poi determinato una base di W
$y = z, x = -t => (x,y,y,-x) => (1,0,0,-1)(0,1,1,0)$
Ho quindi determinato una base dello spazio somma (qui forse ho sbagliato?) mettendo tutti i vettori assieme e controllando se assieme formassero una base o c'era dipendenza.
Poichè il determinante della matrice 4x4 = -2, il rango è 4 e i vettori sono indipendenti.
Come posso quindi passare alla forma cartesiana?
Trovare una base di $ U nn W $
Ho preso i vettori della base ed eguagliati in una combinazione lineare
$alpha(1,0,0,-1) + beta(0,1,1,0) = gamma(1,-1,0,0) + delta(-1,2,-1,0)$
Risolvendo il sistema associato
${alpha + gamma - delta = 0$
${beta - gamma - 2 * delta = 0$
${beta - delta = 0$
${-alpha = 0$
Da cui
$alpha = 0: beta = gamma = delta$
Quindi la base dovrebbe essere
$(0,1,1,1)$
Ho fatto bene?
$F(x,y,z) = (x,hx+y+2z,x-z)$
Per quali valori di h (2,0,1) è un autovettore?
Mi sono trovato gli autovalori, ma non ho capito come procedere poi per trovare il valore di h.
Graize!
Risposte
Ho quindi determinato una base dello spazio somma (qui forse ho sbagliato?) mettendo tutti i vettori assieme e controllando se assieme formassero una base o c'era dipendenza.
hai fatto bene e quindi hai dimostrato che lo spazio somma ha dimensione 4 (se sono corretti i calcoli) ma allora dalla formula di grassman avresti che la dimensione dello spazio intersezione è zero e quindi hai fatto un errore in quanto tu trovi che è una retta.
Si ora che vedo pare che ci sia un problema di segni nel sistema associato che ho fatto.
Gli altri pezzi che non ho capito? Qualcuno sa rispondere?
Gli altri pezzi che non ho capito? Qualcuno sa rispondere?
Potresti fare tutto più velocemente notando che se $(2,0,1)$ è autovettore allora dee esistere $\lambda$ tale che
$F(2,0,1)=2,2h+2,1)=\lambda(2,0,1)$,
ma allora $\lambda=1$ (lo trovi dalla prima e terza componente del vettore) e quindi devi solo imporre che $2h+2=0$, da cui $h=-1$.
$F(2,0,1)=2,2h+2,1)=\lambda(2,0,1)$,
ma allora $\lambda=1$ (lo trovi dalla prima e terza componente del vettore) e quindi devi solo imporre che $2h+2=0$, da cui $h=-1$.
Grazie per il suggerimento.
Quindi per trovare se un vettore è un autovalore alla fine basta calcolare f(x) e vedere se il rapporto di ogni componente del vettore x con il corrispettivo f(x) è uguale ad un numero fisso k.
Se è così, x è un autovettore di autovalore k.
Grazie mille.
Avrei un altro paio di domande, perchè vado piu' ad intuito seguendo i corsi.
1) Un sistema generatore di uno somma si trova effettivamente facendo un'insalata generale di tutti i vettori delle basi e poi verificando eventualmente se quest'ultimo è una base?
2) Il sistema generatore di uno spazio intersezione si trova facendo una uguaglianza tra le combinazioni lineari delle loro basi?
3) Se mi chedono tra 2 spazi vettoriali di cui uno con parametro, di trovare il parametro affinchè questi siano in somma diretta, devo fare in modo che la loro intersezione sia nulla (per definizione?)
4) Se mi chiedono, dato uno spazio vettoriale, di trovarne un altro in somma diretta, come devo procedere?
5) Il simbolo L indica la copertura lineare. Prima di eseguire qualsiasi cosa, è bene controllare se questa è una base? Se no, la faccio diventare eliminanto il vettore dipendente?
6) Se ad esempio ho
$U={(x,y,z,t) x+y-z=0, x+2y-t=0}$
$W_h =L((0,0,1,0), (h,-1,2,0))$
Trovare h : $dim(W_h+U) = 3
Facendo rapidi conti ottengo che affichè la dim = 3, $dim(W_h)$ = 2. Come procedo adesso? Affinchè la dimensione sia uguale a 2, il rango della matrice associata deve essere = 2. Il problema è che usando il teorema degli orlati, ottengo sempre che c'è un minore complementare di ordine 2 = 0 (ci sono 2 zeri nell'ultima colonna).
Devo aver capito male il procedimentio. Il risultato è h=2.
Grazie mille per l'aiuto.
U=L((0,2,–1,0), (1,2,0,1)). Determinare due sottospazi distinti $V_1$ e $V_2$ tali che questi siano in somma diretta con U
Quindi per trovare se un vettore è un autovalore alla fine basta calcolare f(x) e vedere se il rapporto di ogni componente del vettore x con il corrispettivo f(x) è uguale ad un numero fisso k.
Se è così, x è un autovettore di autovalore k.
Grazie mille.
Avrei un altro paio di domande, perchè vado piu' ad intuito seguendo i corsi.
1) Un sistema generatore di uno somma si trova effettivamente facendo un'insalata generale di tutti i vettori delle basi e poi verificando eventualmente se quest'ultimo è una base?
2) Il sistema generatore di uno spazio intersezione si trova facendo una uguaglianza tra le combinazioni lineari delle loro basi?
3) Se mi chedono tra 2 spazi vettoriali di cui uno con parametro, di trovare il parametro affinchè questi siano in somma diretta, devo fare in modo che la loro intersezione sia nulla (per definizione?)
4) Se mi chiedono, dato uno spazio vettoriale, di trovarne un altro in somma diretta, come devo procedere?
5) Il simbolo L indica la copertura lineare. Prima di eseguire qualsiasi cosa, è bene controllare se questa è una base? Se no, la faccio diventare eliminanto il vettore dipendente?
6) Se ad esempio ho
$U={(x,y,z,t) x+y-z=0, x+2y-t=0}$
$W_h =L((0,0,1,0), (h,-1,2,0))$
Trovare h : $dim(W_h+U) = 3
Facendo rapidi conti ottengo che affichè la dim = 3, $dim(W_h)$ = 2. Come procedo adesso? Affinchè la dimensione sia uguale a 2, il rango della matrice associata deve essere = 2. Il problema è che usando il teorema degli orlati, ottengo sempre che c'è un minore complementare di ordine 2 = 0 (ci sono 2 zeri nell'ultima colonna).
Devo aver capito male il procedimentio. Il risultato è h=2.
Grazie mille per l'aiuto.
U=L((0,2,–1,0), (1,2,0,1)). Determinare due sottospazi distinti $V_1$ e $V_2$ tali che questi siano in somma diretta con U
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