Correzione compito per orale.

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Ciao ragazzi allora qui di seguito vi presento il compito che ho svolto questa settimana, e miracolosamente, con un voto risicato, sono passato, ma ora devo affrontare l'orale, e probabilmente mi chiederà dove ho sbagliato, più tardi vi mostro la mia procedura, e vediamo se riuscite a dirmi dove ho sbagliato.

$ f:R3 rarr R3 , con f: (x,y,z)= (19*x+k*y+z; k*x+9*y+2*z; 10*x-z) $

1a) Determinare, al variare di $k$, se $f:$ sia iniettiva, suriettiva.
1b) Assegnare a $k$ un valore tale che $kerf:={0}$, e dire in quel caso se $f:$ sia semplice.



Siano $\alpha: (10+k)*x+2*y+(k+1)*z+3=0$ e $\pi: 3*x+(k-9)*y+6*z+2=0$ due piani in $R3$.

2a) Determinare, se esistono, valori di $k$ per cui $\alpha$ e $\pi$ siano paralleli.
2b) Porre $k=3$ e, detta $r$ la retta di incontro dei due piani, trovare la retta $s$ parallela ad $r$ e passante per il punto $P: (-3; -2; 0)$

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Allora, nel primo esercizio, per prima cosa, ho messo a matrice la funzione, tramite basi canoniche, così:

$A: ((19,k,1),(k,9,2),(10,0,-1))$

ho calcolato il determinante sulla seconda colonna, così lo "0" mi semplificava le cose, e mi sono trovato due valori di $k$ per cui il $det:A=0$; questi due valori risultavano $"9", "-29"$;

Quindi, per $k!=9,-29$,$det:A!=0$ il rango $r: (A)=max$ e la $f:$ risulterà SURIETTIVA; per gli stessi valori, $ker:(f)=n-r(A)=3-3=0$, quindi $f:$ sarà anche INIETTIVA.

Per $k=9,-29$ mi sono un po persò e perciò qui ho bisogno di una mano : devo affrontare i singoli casi o non è necessario?

Per la seconda parte, la (1b), ho scelto il valore $k=9$, l'ho sostituito nella matrice originaria, e quindi avevo:

$((19,9,1),(9,9,2),(10,0,1))$, ho sostituito (non so perchè ) la prima riga con la seconda, e sono andato a cercarmi gli autovalori con il $det: (A-\lambdaI)$: $((9-\lambda,9,2),(19,9-\lambda,1),(10,0,1-\lambda))$

qui ne è venuta fuori una equazione in funzione di $\lambda$ di terzo grado; trovandomi 3 autovalori, ed essendo la $dim:f=3$, la f risulta SEMPLICE, o no?

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Per il secondo esercizio ho creato due vettori, $V\lambda=(10+k,2,k+1)$ e $V\pi=(3,k-9,6)$, da cui la matrice $(A)=((3,k-9,6),(10-k,2,k+1))$; la condizione necessaria affinchè fossero paralleli, era che $r(A)=1$, e ciò era possibile, dopo aver fatto l'eliminazione di Gauss, solo per valori di $k!=1$.

Nel 2b), posto $k=3$, la retta di incontro dei due piani era data dal sistema $\{(13*x+2*y+4*z+3=0),(3*x-6*y+6*z+2=0):}$, ho calcolato i parametri direttori attraverso i determinanti della matrice che ne veniva fuori dal sistema, ed erano $(l,m,n)=(36,66,-84)$; da qui ho ricavato l'equazione parametrica della retta richiesta, attraverso la regola $\{(x=x0+l t),(y=y0+mt),(z=z0+nt):}$, con (x0,y0,z0) le coordinate del punto P.Ne è venuta fuori la retta $\{(x=-3+36t),(y=-2+66t),(z=-84t):}$, ancora in forma parametrica, attraverso segretissime formule magiche l'ho ri-trasformata in cartesiana ed ho quindi finito l'esercizio...


Come sono andato??Per favore datemi una mano!