Corona di quadrati con relazione di equivalenza
Sia $X= {(x, y)inRR^2| 1/3 ≤ max(|x|, |y|) ≤ 1}$ munito della topologia indotta da quella euclidea. Sia ∼ la relazione di equivalenza definita da:
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $1in{|x_1|, |y_1|} ∩ {|x_2|, |y_2|}$
e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività. Sia $Y = X// ∼$ munito della topologia quoziente. Determinare se $Y$ sia omotopo ad un toro o al piano proiettivo reale.
La figura sono i punti che si trovano fra due quadrati uno di lato $1$ e un altro di lato $1/3$ in cui nel bordo del quadrato di lato $1$ i punti sono tutti equivalenti fra loro. Ora mi era venuto subito in mento di omeomorfizzare questo spazio trasformando i quadrati in circonferenze e mantenendo la relazione che vige sul quadrato più esterno nella circonferenza più esterna e poi da qui si ha un omoemorfismo con $S^2$ a cui viene tolto un discho che omotopo al punto e quindi direi che è semplicemente connesso e quidni non è omotopo ne al toro ne al piano proiettivo reale. Oppure avevo provato pure a usare Van Kampen con corone quadrate aperte su $X$ o anche vedere di fare qualche retrazione su deformazione , non so ad esempio retrarre tutto sul bordo ma non so se si possa fare (da qui avrei molto facilmente che è semplicemente connesso poichè il bordo quozientato diventa un punto). Ma non so bene, qualcuno mi sa dire? Grazie
$(x_1, y_1) ∼ (x_2, y_2)$ se $1in{|x_1|, |y_1|} ∩ {|x_2|, |y_2|}$
e dalle relazioni che si ottengono dalla riflessività, simmetria e transitività. Sia $Y = X// ∼$ munito della topologia quoziente. Determinare se $Y$ sia omotopo ad un toro o al piano proiettivo reale.
La figura sono i punti che si trovano fra due quadrati uno di lato $1$ e un altro di lato $1/3$ in cui nel bordo del quadrato di lato $1$ i punti sono tutti equivalenti fra loro. Ora mi era venuto subito in mento di omeomorfizzare questo spazio trasformando i quadrati in circonferenze e mantenendo la relazione che vige sul quadrato più esterno nella circonferenza più esterna e poi da qui si ha un omoemorfismo con $S^2$ a cui viene tolto un discho che omotopo al punto e quindi direi che è semplicemente connesso e quidni non è omotopo ne al toro ne al piano proiettivo reale. Oppure avevo provato pure a usare Van Kampen con corone quadrate aperte su $X$ o anche vedere di fare qualche retrazione su deformazione , non so ad esempio retrarre tutto sul bordo ma non so se si possa fare (da qui avrei molto facilmente che è semplicemente connesso poichè il bordo quozientato diventa un punto). Ma non so bene, qualcuno mi sa dire? Grazie
Risposte
Anche a me sembra una sfera senza un disco (e quindi un disco..).
"apatriarca":
Anche a me sembra una sfera senza un disco (e quindi un disco..).
Ah dici che si se tolgo un disco (o meglio calotta) da una sfera ottengo qualcosa di omeomorfo al disco.
Sì.
Ma se retraggo il quadrato all'interno sul quadrato piu grande non viene che è omotopo al punto?
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