Corollario del teorema di Cayley-Hamilton

[Gost91]

Il ben noto teorema di Cayley-Hamilton afferma che una qualunque matrice \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) soddisfa l'equazione matriciale

\[\chi_A (A)=A^n+a_1 A^{n-1}+...+a_{n-1}A+a_n\mathbb{I}=0\]

dove \(\chi_A(\lambda)=\det(\lambda\mathbb{I}-A)=\lambda^n+a_1 \lambda^{n-1}+...+a_{n-1}\lambda+a_n\). Segue immediatamente che le prime \(n\) potenze della generica matrice quadrata \(A\) sono una base per la matrice \(A^n\), ossia quest'ultima può essere pensata come combinazione lineare delle matrici \(A_i\) con \(i=0,1,...,n-1\):

\[A^n=\sum_{i=0} ^{n-1} c_i A^i\]

per opportune costanti \(c_i\) con \(i=0,1,...,n-1\).

Questo corollario si estende anche al caso \(k\geq n\)

\[A^k=\sum_{i=0} ^{n-1} c_i A^i\]

probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua, ma non riesco a trovare una dimostrazione che mi convinca di questo risultato.

[Gost91]

Ok ho risolto, la dimostrazione, come supponevo, è abbastanza banale.

Dall'equazione matriciale

\[\chi_A (A)=A^n+a_1 A^{n-1}+...+a_n \mathbb{I}=0\]

si deduce che

\[A^n=-\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_iA^{n-i}\bigg) \qquad(1)\]

sia adesso \(k\) un intero non minore di \(n\), combinando la \((1)\) con la seguente relazione

\[A^k=A^{k-n}A^n\]

si ottiene un qualcosa simile all'asserto infatti

\[\begin{align}
A^k &=A^{k-n}\bigg[-\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_iA^{n-i}\bigg)\bigg] \\
&=-\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_iA^{k-n+(n-i)}\bigg) \\
&=-\bigg(\sum_{i=1}^{n}a_i A^{k-i}\bigg) \\
\end{align}\]

più correttamente rispetto a quanto affermato nel post precedente, si ha che la potenza \(k\)-esima è generata dalle "ultime" \(n\) potenze.