Coppie di sottospazi: esercizio...
buona sera a tutti, ho un esercizio molto semplice solo che non riesco a calcolare ciò l'esercizio mi chiede o meglio non so dove sbaglio...
La traccia è la seguente:
Si considera la seguente coppia di sottospazi di $RR^4$:
$W={(x, y, z, t) in RR^4 |x+2y-z+t=0}$, $V=<(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 2), (1, 2, 3, 4)>$
ne devo calcolare una base di $V nn W$:
dato che: $V nn W= {u in RR^4 -t.c.- u in V, u in W}$
$u in V iff EE lambda_1, lambda_2, lambda_3$ tale che $u= lambda_1v_1+ lambda_2v_2, lambda_3v_3$ sapendo che $V=$ ho gli elementi per trovare la base:
$u=lambda_1(1, 0, 1, 0)+ lambda_2(0, 1, 1, 2)+ lambda_3 (1, 2, 3, 4)= (lambda_1+lambda_3, lambda_2+2lambda_3, lambda_1+lambda_2+3lambda_3, 2lambda_2+4lambda_3)$ sostituisco in $W$:
$lambda_1+lambda_3+2( lambda_2+2lambda_3)-( lambda_1+lambda_2+3lambda_3)+2lambda_2+4lambda_3=0$ faccio questi semplici calcoli e trovo l'equazione:
$3lambda_2+4lambda_3=0$
solo che adesso ho una equazione in 2 incognite, il problema non stà nel risolvere l'equazione ma quello che non so se si può avere che una base dipenda da due parametri... mi esce in questo modo ricavando $lambda_2$ dall'equazione: $u=(lambda_1, -lambda_3/3, lambda_1/3, (4lambda_3)/3)$
è fatto bene?
La traccia è la seguente:
Si considera la seguente coppia di sottospazi di $RR^4$:
$W={(x, y, z, t) in RR^4 |x+2y-z+t=0}$, $V=<(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 2), (1, 2, 3, 4)>$
ne devo calcolare una base di $V nn W$:
dato che: $V nn W= {u in RR^4 -t.c.- u in V, u in W}$
$u in V iff EE lambda_1, lambda_2, lambda_3$ tale che $u= lambda_1v_1+ lambda_2v_2, lambda_3v_3$ sapendo che $V=
$u=lambda_1(1, 0, 1, 0)+ lambda_2(0, 1, 1, 2)+ lambda_3 (1, 2, 3, 4)= (lambda_1+lambda_3, lambda_2+2lambda_3, lambda_1+lambda_2+3lambda_3, 2lambda_2+4lambda_3)$ sostituisco in $W$:
$lambda_1+lambda_3+2( lambda_2+2lambda_3)-( lambda_1+lambda_2+3lambda_3)+2lambda_2+4lambda_3=0$ faccio questi semplici calcoli e trovo l'equazione:
$3lambda_2+4lambda_3=0$
solo che adesso ho una equazione in 2 incognite, il problema non stà nel risolvere l'equazione ma quello che non so se si può avere che una base dipenda da due parametri... mi esce in questo modo ricavando $lambda_2$ dall'equazione: $u=(lambda_1, -lambda_3/3, lambda_1/3, (4lambda_3)/3)$
è fatto bene?
Risposte
Io in verità per calcolare le equazioni del secondo sottospazio ho ragionato in questo modo.
$P=(x,y,z,t) in V <=> | ( x , y , z , t ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 2 ),( 1 , 2 , 3 , 4 ) |=0 $ (risolvi questo determinante utilizzando il metodo di Laplace). Secondo me è meglio imboccare questa strada in modo da ottenere un'equazione con un semplice calcolo.
EDIT: facendo i calcoli mi sono reso conto che i vettori $( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 2 ),( 1 , 2 , 3 , 4 )$ sono linearmente dipendenti, quindi non possono essere un sistema di generatori. Quindi correggo ciò che ho detto su:
$P=(x,y,z,t) in V <=> | ( x , y , z , t ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 2 )|=0 $
$P=(x,y,z,t) in V <=> | ( x , y , z , t ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 2 ),( 1 , 2 , 3 , 4 ) |=0 $ (risolvi questo determinante utilizzando il metodo di Laplace). Secondo me è meglio imboccare questa strada in modo da ottenere un'equazione con un semplice calcolo.
EDIT: facendo i calcoli mi sono reso conto che i vettori $( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 2 ),( 1 , 2 , 3 , 4 )$ sono linearmente dipendenti, quindi non possono essere un sistema di generatori. Quindi correggo ciò che ho detto su:
$P=(x,y,z,t) in V <=> | ( x , y , z , t ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 , 2 )|=0 $
avevo fatto anche io così, avevo trovato il sistema lineare omogeneo che rappresenta $V$: ${(-x-y+z=0),(-2y+t=0):}$
poi dato che il vettore generico $(x, y, z, t) in V nn W$ cioè sta contemporaneamente in $V$ e $W$ faccio il sistema:
$Vnn W= {(-x-y+z=0),(-2y+t=0),(x+2y-z+t=0):}$ metto in matrice e calcolo il determinate con il th. Orlati:
$A= ((-1, -1, 1, 0), (0, -2, 0, 1), (1, 2, -1, 1)) rarr |A|= |(-1, -1, 0), (0, -2, 0), (1, 2, -1)|=4$ quindi il rango è 3 tutti gli altri minori di ordine tre sono uguali a zero, per cui $EE oo^1$ soluzioni $rarr dim V nn W=1$
ora devo calcolare la base di $V nn W$....
poi dato che il vettore generico $(x, y, z, t) in V nn W$ cioè sta contemporaneamente in $V$ e $W$ faccio il sistema:
$Vnn W= {(-x-y+z=0),(-2y+t=0),(x+2y-z+t=0):}$ metto in matrice e calcolo il determinate con il th. Orlati:
$A= ((-1, -1, 1, 0), (0, -2, 0, 1), (1, 2, -1, 1)) rarr |A|= |(-1, -1, 0), (0, -2, 0), (1, 2, -1)|=4$ quindi il rango è 3 tutti gli altri minori di ordine tre sono uguali a zero, per cui $EE oo^1$ soluzioni $rarr dim V nn W=1$
ora devo calcolare la base di $V nn W$....
io direi che per trovare una base di quell'intersezione basta risolvere il sistema.
Per la dimensione di $V nn W$ va bene il discorso del rango della matrice, ma per determinare i vettori (Anzi in questo caso il vettore) basta che risolvi il sistema.
Per la dimensione di $V nn W$ va bene il discorso del rango della matrice, ma per determinare i vettori (Anzi in questo caso il vettore) basta che risolvi il sistema.
il sistema l'ho risolto e mi è uscito il vettore $(x,y,z,t)=(5/4t, t/2,5/4t,t)$ dando a $t$ un valore qualsiasi diverso da zero, che io scelgo $t=1$ ricavo una delle possibili basi per l'intersezione $B_(VnnW)=(5/4, 1/2, 5/4, 1)$
Se i calcoli sono fatti bene, si...
forse ho sbagliato le soluzioni per la base poichè il primo sistema da cui ho calcolato il determinate era: ${(-x-y+z=0),(t-2y=0),(x+2y-z+t=0):}$
poi per calcolare le soluzioni di $x,y,z$ l'ho modificato un pò ${(x+2y-z=-t),(-x-y+z=0),(2y=t):}$ ho modificato l'ordine delle equazioni e credo che cambia la soluzione giusto?
poi per calcolare le soluzioni di $x,y,z$ l'ho modificato un pò ${(x+2y-z=-t),(-x-y+z=0),(2y=t):}$ ho modificato l'ordine delle equazioni e credo che cambia la soluzione giusto?
Il sistema è $ { ( x+y-z=0 ),( t-2y=0),( x+2y-z+t=0 ):} => { ( t=2y ),( x=z-y ),( z-y+2y-z+2y=0 ):} => { ( t=0 ),( x=z ),( y=0 ):} $
quindi la soluzione è del tipo ${(z,0,z,0) : z in RR}$, quindi una base è del tipo $(1,0,1,0)$
PS: cambiando l'ordine delle equazioni il risultato non cambia. Come dovresti sapere un sistema può essere studiato anche dal punto di vista dell'algebra matriciale e in sostanza scambiare due equazioni equivale a scambiare due righe (o colonne) della matrice, che non cambia il risultato.
quindi la soluzione è del tipo ${(z,0,z,0) : z in RR}$, quindi una base è del tipo $(1,0,1,0)$
PS: cambiando l'ordine delle equazioni il risultato non cambia. Come dovresti sapere un sistema può essere studiato anche dal punto di vista dell'algebra matriciale e in sostanza scambiare due equazioni equivale a scambiare due righe (o colonne) della matrice, che non cambia il risultato.
tu l'hai risolto per sostituzione, e allora perche io non mi trovo, abbiamo detto che non c'entra l'ordine, e non capisco dove ho sbagliato adesso ricontrollo i passaggi.....
sembra che i passaggi con cramer siano fatti bene non saprei...li voglio postare?
Io penso che un piccolo errore di distrazione possa capitare a tutti e, penso che se una persona conosce diverse tecniche per affrontare un esercizio, debba utilizzare quella che gli assicura la strada più veloce, ma allo stesso tempo più sicura.
giustissimo in realtà volevo provare a fare almeno due metodi che è sempre meglio....
poi ho un piccolo dubbio, devo calcolare:
$V+W= < V uu W>$ che risulta essere $V+W = < B_V uu B_W>$
ora la base di $V$ la so calcolare mentre la base di $W$ non so come si calcola di solito ho due equazioni in $W$ ora ne ho una....
ho fatto in questo modo ma non so se è giusto:
$W={x+2y-z+t=0} = {(-2y+z-t, y, z, t)}$ do un valore a $y,z,t$ e scelgo $y=1$, $z=0$, $t=1$ e poi scambio i valori $y=0$, $z=1$, $t=0$
sostituisco in ${(-2y+z-t, y, z, t)}$ e ottengo $B_W={(-1, 1, 0, 1),(1, 0, 1, 0)}$ e la sua dimensione è zero.....
poi ho un piccolo dubbio, devo calcolare:
$V+W= < V uu W>$ che risulta essere $V+W = < B_V uu B_W>$
ora la base di $V$ la so calcolare mentre la base di $W$ non so come si calcola di solito ho due equazioni in $W$ ora ne ho una....
ho fatto in questo modo ma non so se è giusto:
$W={x+2y-z+t=0} = {(-2y+z-t, y, z, t)}$ do un valore a $y,z,t$ e scelgo $y=1$, $z=0$, $t=1$ e poi scambio i valori $y=0$, $z=1$, $t=0$
sostituisco in ${(-2y+z-t, y, z, t)}$ e ottengo $B_W={(-1, 1, 0, 1),(1, 0, 1, 0)}$ e la sua dimensione è zero.....
Si arrivato al punto in cui dici $W={(-2y+z-t,y,z,t) : y,z,t in RR}$ però poi quando devi dare i valori, devi associare ogni volta solo un valore per ogni parametro, non due alla volta, altrimenti non ti trovi. Hai 3 parametri liberi, che sono $y,z,t$ quindi una base di W sarà composta da tre vettori linearmente indipendenti. Di solito i valori che si attribuiscono ai parametri sono quelli canonici, quindi avrai: $(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1)$ come base del tuo sottospazio, che avrà dimensione 3, non zero O.o
ah ho capito quindi la dimensione dipende dai parametri liberi: se erano 2 allora la dimensione era 2, se avevamo un solo parametro allora la dimensione era 1....e il caso che è zero quando si ha? se c'è...
Il caso dimensione 0 lo hai quando effettivamente non ci sono vettori che generano il sottospazio, quindi non hai una base, in sostanza. Pensa ad esempio ad un monomorfismo (applicazione lineare iniettiva), il $kerf={0}$ cioè ha $dim=0$.
ho capito....
comunque eravamo arriviti al fatto che la $B_W={(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1)}$
e dunque: $V+W=<(1,0,1,0),(0,1,1,2),(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1)>$ metto in matrice questi vettori: $A=((1,0,1,0),(0,1,1,2),(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1))$ e devo calcolare il rango;
applico il teorema degli Orlati e vedo se il rango può essere 4 altrimenti è 3:
$A=((1,0,1,0),(0,1,1,2),(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1)) rarr$ $|(1, 0, 1, 0),(0, 1, 1, 2),(-2, 1, 0, 0),(-1, 0, 0, 1)|=-|(1, 1, 0),(0, 1, 2),(-1, 0, 1)|-2|(0, 1, 0),(1, 1, 2),(0, 0, 1)|=-(1-2)-2(-1)=+1+2=3$ dunque il $rgA=4$ e da questo deduco che i primi tre vettori e il quinto della matrice $A$ sono linearmente indipendenti e possono essere una base della somma: $B_(V+W)={(1,0,1,0),(0,1,1,2),(-2,1,0,0),(-1,0,0,1)}$
ora non ho capito il passo successivo sembrerebbe la stessa cosa cioè prende la matrice $A$:
$A=((1,0,1,0),(0,1,1,2),(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1))$ la riduce a gradini: $((1,0,1,0),(0,1,1,2),(0,1,2,0),(0,0,0,0),(0,0,1,1))$ e poi dice: $B_(V+W)={(1,0,1,0),(0,1,1,2),(0,1,2,0),(0,0,1,1)}$
mi sembra una sorta di verifica poichè la quarta riga è un vettore nullo mentre prima la quarta riga non mi è servita per il calcolo del rango...
oppure mi sembra un secondo metodo l'unica cosa che cambia sono gli ultimi due vettori, anche sulle esercitazioni è scritto così però non saprei...
comunque eravamo arriviti al fatto che la $B_W={(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1)}$
e dunque: $V+W=<(1,0,1,0),(0,1,1,2),(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1)>$ metto in matrice questi vettori: $A=((1,0,1,0),(0,1,1,2),(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1))$ e devo calcolare il rango;
applico il teorema degli Orlati e vedo se il rango può essere 4 altrimenti è 3:
$A=((1,0,1,0),(0,1,1,2),(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1)) rarr$ $|(1, 0, 1, 0),(0, 1, 1, 2),(-2, 1, 0, 0),(-1, 0, 0, 1)|=-|(1, 1, 0),(0, 1, 2),(-1, 0, 1)|-2|(0, 1, 0),(1, 1, 2),(0, 0, 1)|=-(1-2)-2(-1)=+1+2=3$ dunque il $rgA=4$ e da questo deduco che i primi tre vettori e il quinto della matrice $A$ sono linearmente indipendenti e possono essere una base della somma: $B_(V+W)={(1,0,1,0),(0,1,1,2),(-2,1,0,0),(-1,0,0,1)}$
ora non ho capito il passo successivo sembrerebbe la stessa cosa cioè prende la matrice $A$:
$A=((1,0,1,0),(0,1,1,2),(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-1,0,0,1))$ la riduce a gradini: $((1,0,1,0),(0,1,1,2),(0,1,2,0),(0,0,0,0),(0,0,1,1))$ e poi dice: $B_(V+W)={(1,0,1,0),(0,1,1,2),(0,1,2,0),(0,0,1,1)}$
mi sembra una sorta di verifica poichè la quarta riga è un vettore nullo mentre prima la quarta riga non mi è servita per il calcolo del rango...
oppure mi sembra un secondo metodo l'unica cosa che cambia sono gli ultimi due vettori, anche sulle esercitazioni è scritto così però non saprei...
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