Copertura lineare (chiusura lineare)
Ciao ragazzi,chi mi da gentilmente una mano con questo esercizio?
" Dato un insieme di x di vettori,determinare L(X) "
X=[(2,1,0,1),(1,0,2,-1),(-1,3,1,1)] L(X) = ?
Ho letto in linea generale (e non so nemmeno se è una cosa giusta..) che esistono varie dimensioni da attribuire a L(X)..In particolare:
- Un vettore genera (chiusura lineare) la retta r che lo contiene dim L(X) =1 (che tra l'altro non ho capito nemmeno cosa significa
)
- Se ho due vettori e verifico che sono linearmente indipendenti,la dim L(X) = 2
- Se ho tre vettori e verifico che sono linearmente indipendenti,la dim L(X) = 3
Nel mio caso,ho gia constatato che la dim L(X) è 3 in quanto i tre vettori risultano linearmente indipendenti e stando ai tre valori riportati,mi ritrovo nel terzo caso.
Volevo sapere però,se c'è un modo preciso senza conoscere i valori per determinare la dimensione..Se è si come?
Grazie a tutti per l'eventuale aiuto!
" Dato un insieme di x di vettori,determinare L(X) "
X=[(2,1,0,1),(1,0,2,-1),(-1,3,1,1)] L(X) = ?
Ho letto in linea generale (e non so nemmeno se è una cosa giusta..) che esistono varie dimensioni da attribuire a L(X)..In particolare:
- Un vettore genera (chiusura lineare) la retta r che lo contiene dim L(X) =1 (che tra l'altro non ho capito nemmeno cosa significa
)- Se ho due vettori e verifico che sono linearmente indipendenti,la dim L(X) = 2
- Se ho tre vettori e verifico che sono linearmente indipendenti,la dim L(X) = 3
Nel mio caso,ho gia constatato che la dim L(X) è 3 in quanto i tre vettori risultano linearmente indipendenti e stando ai tre valori riportati,mi ritrovo nel terzo caso.
Volevo sapere però,se c'è un modo preciso senza conoscere i valori per determinare la dimensione..Se è si come?
Grazie a tutti per l'eventuale aiuto!
Risposte
@darakum,
inzia con scrivere bene, usando la codifica per formule matematiche, l'insieme \(X\).. e comunque, dato un insieme \(X=\{x_i\}_{i=1}^n \subseteq V \), con \( V \) spazio vettoriale sul campo \(K\), \(L(X)=\operatorname{Span}(X)\) nonchè l'insieme \(\{z\;|\;z \text{ è combinazione lineare di } x_1,x_2,...,x_n\}\)
\(L(X)\) può avere anche dimensione nulla, ovvero \(L(X)=\{0_V\}\).. se i generatori sono liberi su \(K\) è un altro conto, penso che nel tuo caso vuole che tu espliciti sotto forma di cartesiane l'insieme \(L(X)\), in caso contrario lo trovo estremamente sempliciotto, non credi? O il tuo esercizio chiede la dimensione? Non è chiaro da come hai scritto!
inzia con scrivere bene, usando la codifica per formule matematiche, l'insieme \(X\).. e comunque, dato un insieme \(X=\{x_i\}_{i=1}^n \subseteq V \), con \( V \) spazio vettoriale sul campo \(K\), \(L(X)=\operatorname{Span}(X)\) nonchè l'insieme \(\{z\;|\;z \text{ è combinazione lineare di } x_1,x_2,...,x_n\}\)
\(L(X)\) può avere anche dimensione nulla, ovvero \(L(X)=\{0_V\}\).. se i generatori sono liberi su \(K\) è un altro conto, penso che nel tuo caso vuole che tu espliciti sotto forma di cartesiane l'insieme \(L(X)\), in caso contrario lo trovo estremamente sempliciotto, non credi? O il tuo esercizio chiede la dimensione? Non è chiaro da come hai scritto!
"garnak.olegovitc":
@darakum,
inzia con scrivere bene, usando la codifica per formule matematiche, l'insieme \(X\).. e comunque, dato un insieme \(X=\{x_i\}_{i=1}^n \subseteq V \), con \( V \) spazio vettoriale sul campo \(K\), \(L(X)=\operatorname{Span}(X)\) nonchè l'insieme \(\{z\;|\;z \text{ è combinazione lineare di } x_1,x_2,...,x_n\}\)
\(L(X)\) può avere anche dimensione nulla, ovvero \(L(X)=\{0_V\}\).. se i generatori sono liberi su \(K\) è un altro conto, penso che nel tuo caso vuole che tu espliciti sotto forma di cartesiane l'insieme \(L(X)\), in caso contrario lo trovo estremamente sempliciotto, non credi? O il tuo esercizio chiede la dimensione? Non è chiaro da come hai scritto!
Ciao,grazie per la risposta!
Il testo dell'esercizio è il seguente: " Dato un insieme di X di vettori,determinare L(X) " E credo che chieda proprio la dimensione..
@darakaum,
ok, ritornando alla tua domanda iniziale:
se sai la definizione di \(L(X)\), sai anche che se i generatori sono liberi su \(K\) allora per definizione formano una base e il numero degli elementi di tale base e la tua diimensione... (queste cose sono definizioni basilari di un corso di algebra lineare, senza usare chissà cosa)
ok, ritornando alla tua domanda iniziale:
"darakum":
Volevo sapere però,se c'è un modo preciso senza conoscere i valori per determinare la dimensione..Se è si come?
se sai la definizione di \(L(X)\), sai anche che se i generatori sono liberi su \(K\) allora per definizione formano una base e il numero degli elementi di tale base e la tua diimensione... (queste cose sono definizioni basilari di un corso di algebra lineare, senza usare chissà cosa)
"garnak.olegovitc":
@darakaum,
ok, ritornando alla tua domanda iniziale:
[quote="darakum"]
Volevo sapere però,se c'è un modo preciso senza conoscere i valori per determinare la dimensione..Se è si come?
se sai la definizione di \(L(X)\), sai anche che se i generatori sono liberi su \(K\) allora per definizione formano una base e il numero degli elementi di tale base e la tua diimensione... (queste cose sono definizioni basilari di un corso di algebra lineare, senza usare chissà cosa)[/quote]
Ciao,grazie per l'aiuto..Diciamo che ho capito la definizione ma non ho in mente come applicarla ..Non è che mi faresti un esempio?
Prendi l'insieme \(\Bbb{R}^4 \supseteq X:=\{(0,1,2,3), (1,0,2,3),(1,2,0,3),(1,2,3,0)\}\), e considerda \(L(X)\), i 4 vettori di \(X\) (detti anche "generatori di \(L(X)\)") sono liberi su \(\Bbb{R}\) ergo formano una base di \(L(X)\) e la dimensione di \(L(X)\) è 4 (ovvero il numero dei generatori liberi, cioè degli elementi della base che in questo caso è \(X\))..
p.s.=se conosci la def. di base di un (sotto)spazio vettoriale è tutto semplice, ricordati che \(L(X)\) è sempre un (sotto)spazio vettoriale.... bla bla
p.s.=se conosci la def. di base di un (sotto)spazio vettoriale è tutto semplice, ricordati che \(L(X)\) è sempre un (sotto)spazio vettoriale.... bla bla
"garnak.olegovitc":
Prendi l'insieme \(\Bbb{R}^4 \supseteq X:=\{(0,1,2,3), (1,0,2,3),(1,2,0,3),(1,2,3,0)\}\), e considerda \(L(X)\), i 4 vettori di \(X\) (detti anche "generatori di \(L(X)\)") sono liberi su \(\Bbb{R}\) ergo formano una base di \(L(X)\) e la dimensione di \(L(X)\) è 4 (ovvero il numero dei generatori liberi, cioè degli elementi della base che in questo caso è \(X\))..
p.s.=se conosci la def. di base di un (sotto)spazio vettoriale è tutto semplice, ricordati che \(L(X)\) è sempre un (sotto)spazio vettoriale.... bla bla
Quindi se l'esercizio mi chiede "Dato $ X:= {(0,1,2,3) (1,0,2,3) (1,2,0,3) (1,2,3,0)}$ determinare $ L(X) $ "
Non devo fare altro che dimostrare che il sottoinsieme X è una base (dimostrare che $X$è linearmente indipendente e che $X$ è un insieme di generatori di $R^4$ in questo caso..) per poi concludere in caso positivo,che la dimensione di L(X) equivale a 4 (che sarebbe la dimensione del sottospazio nel mio caso) ...
Tutto giusto ?
non proprio "è un insieme di generatori di \(\Bbb{R}^4\)" ma "è un insieme di generatori di \(L(X)\)", in questo caso la dimensione del sottospazio \(L(X) \subseteq \Bbb{R}^4\) è 4 ergo \(L(X)=\Bbb{R}^4\), se avevi invece \( X:= \{(0,1,2,3) (1,0,2,3) (1,2,0,3) \} \) i tre vettori generano non \(\Bbb{R}^4\) ma \(L(X)\) il quale è sempre sottospazio di dimensione 3 di \( \Bbb{R}^4\).. il resto è "alles in ordnung"!
Grazie!
quindi se ho:
$ X:= {(0,1) (1,0) (1,2) (1,2)}$
$L(X) =$ Dimensione $ 4 di R^2 $ quindi $L(X) = 2 $ o $ 4 ?$
Per quanto riguarda i passaggi da fare sono corretti quelli che ho scritto? (dimostrare che il sottoinsieme X è una base,in caso positivo, scrivere la dimensione di L(X)..)
quindi se ho:
$ X:= {(0,1) (1,0) (1,2) (1,2)}$
$L(X) =$ Dimensione $ 4 di R^2 $ quindi $L(X) = 2 $ o $ 4 ?$
Per quanto riguarda i passaggi da fare sono corretti quelli che ho scritto? (dimostrare che il sottoinsieme X è una base,in caso positivo, scrivere la dimensione di L(X)..)
"darakum":
$ X:= {(0,1) (1,0) (1,2) (1,2)}$
$L(X) =$ Dimensione $ 4 di R^2 $ quindi $L(X) = 2 $ o $ 4 ?$
come faccio a capire la seconda riga
? Comunque e facile vedere (usando la sola teoria) che $$\Bbb{R}^2 \supseteq L((0,1) ,(1,0) ,(1,2) ,(1,2))=L((1,0),(1,0)) \; \; \text{poichè} \; \; L((1,0),(0,1)) \ni (1,2)$$ a te le conclusioni.. (ricordati che un sottospazio vettoriale non può avere dimensione maggiore dello spazio che lo "contiene" secondo un altro teorema di algebra lineare)P.S.=Dalle domande che fai e dal modo di procedere mi domando se hai, almeno, le basi perchè mi sembra di "No" e fai molta confusione..
"garnak.olegovitc":
[quote="darakum"]
$ X:= {(0,1) (1,0) (1,2) (1,2)}$
$L(X) =$ Dimensione $ 4 di R^2 $ quindi $L(X) = 2 $ o $ 4 ?$
come faccio a capire la seconda riga
? Comunque e facile vedere (usando la sola teoria) che $$\Bbb{R}^2 \supseteq L((0,1) ,(1,0) ,(1,2) ,(1,2))=L((1,0),(1,0)) \; \; \text{poichè} \; \; L((1,0),(0,1)) \ni (1,2)$$ a te le conclusioni.. (ricordati che un sottospazio vettoriale non può avere dimensione maggiore dello spazio che lo "contiene" secondo un altro teorema di algebra lineare)P.S.=Dalle domande che fai e dal modo di procedere mi domando se hai, almeno, le basi perchè mi sembra di "No"..[/quote]
A quanto pare,senza troppi giri di parole,bastava semplicemente impostare in questo modo l'esercizio...per esempio:
dato $X=((1,2,3,-1) (1,-1,0,2)$ Determinare $L(X)$
$ ( ( 1),( 2),( 3 ),(-1))x + ( ( 1),( -1 ),( 0 ),(2))y = ( ( a),( b ),( c ),(d)) $
${(x+y=a),(2x-y=b),(3x=c),(-x+2y=d):} ---> {(x+y=a),(-3y=b-2a),(0=c-a-b),(0=d-a+b):} $
$L(X) = {(a,b,c,d): c=a+b , d=a-b} ∈ RR^4$
@darakum,
ok, per fare cosa? non riesco più a seguirti, se i conti che fai sono giusti hai esplicitato \(L(X)\) con equazioni cartesiane... se ti interessa solo la dimensione di \(L(X) \) a che ti servono le cartesiane, basta vedere se i generatori sono liberi e conlcudere (se non lo sono allora la dimensione è nulla), punto!
ok, per fare cosa? non riesco più a seguirti, se i conti che fai sono giusti hai esplicitato \(L(X)\) con equazioni cartesiane... se ti interessa solo la dimensione di \(L(X) \) a che ti servono le cartesiane, basta vedere se i generatori sono liberi e conlcudere (se non lo sono allora la dimensione è nulla), punto!
"garnak.olegovitc":
@darakum,
ok, per fare cosa? non riesco più a seguirti, se i conti che fai sono giusti hai esplicitato \(L(X)\) con equazioni cartesiane... se ti interessa solo la dimensione di \(L(X) \) a che ti servono le cartesiane, basta vedere se i generatori sono liberi e conlcudere (se non lo sono allora la dimensione è nulla), punto!
Sebbene risulta comunque una procedura più lunga rispetto alla semplice applicazione della definizione,mi ci trovo di più,tutto qui.
Ora mi chiedo se questo è sufficiente per concludere oppure devo dimostrare anche che i vettori sono linearmente indipendenti..
@darakum,
ripeto, se lo scopo/fine/compito dell'esercizio è la dimensione di \(L(X)\) allora non hai detto nulla in merito, cosa puoi dire arrivato a quel punto avendo le cartesiane? Se lo scopo/fine/compito dell'esercizio sono le cartesiane di \(L(X)\) allora hai finito!
p.s.= leggi la regola 3.15 di qui
ripeto, se lo scopo/fine/compito dell'esercizio è la dimensione di \(L(X)\) allora non hai detto nulla in merito, cosa puoi dire arrivato a quel punto avendo le cartesiane? Se lo scopo/fine/compito dell'esercizio sono le cartesiane di \(L(X)\) allora hai finito!
p.s.= leggi la regola 3.15 di qui
"garnak.olegovitc":
@darakum,
ripeto, se lo scopo/fine/compito dell'esercizio è la dimensione di \(L(X)\) allora non hai detto nulla in merito, cosa puoi dire arrivato a quel punto avendo le cartesiane? Se lo scopo/fine/compito dell'esercizio sono le cartesiane di \(L(X)\) allora hai finito!
p.s.= leggi la regola 3.15 di qui
Allora,in alcuni appunti che ho trovato e dai quali ho tratto questo tipo di risoluzione dicono:
La chiusura lineare di X,si denota con $L(X) $ o con $ L(v1,v2..vn)$ ed è l'insieme dei vettori di V che sono combinazione lineare di vettori $v_1,v_2..v_n$; cioè $L(X)= hv_1 + hv_2 + ... + h_n v_n $ .
In base a quanto scritto,il testo dell'esercizio recitava:
"Dati i vettori $v_1=(1,2,3,-1)$ e $v_2=(1,-1,0,2)$ determinare $L(v_1,v_2)$ "
E la risoluzione dell'esercizio proponeva il seguente modo:
$ ( ( 1),( 2),( 3 ),(-1))x + ( ( 1),( -1 ),( 0 ),(2))y = ( ( a),( b ),( c ),(d)) $
${(x+y=a),(2x-y=b),(3x=c),(-x+2y=d):} ---> {(x+y=a),(-3y=b-2a),(0=c-a-b),(0=d-a+b):} $
$L(X) = {(a,b,c,d): c=a+b , d=a-b} ∈ RR^4$
E da cosi concluso l'eserczio..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo