Coordinate nel riferimento canonico E

[Tatasala]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio ed ho qualche problema nel trasformare le coordinate: 0,1,2,-1 del vettore va nelle corrispondenti coordinate nel riferimento canonico E. Sto parlando del punto 2) dell'esercizio di cui ho allegato la traccia. Il mio problema è che non ho ben chiaro il procedimento da seguire per svolgere il punto 2) dell'esercizio, sarei grato a tutti se mi aiutaste perchè non riesco ad andare avanti nello studio.
Di seguito la traccia dell'esercizio:

[Sk_Anonymous]

$\lambda_1((1),(0),(0),(0))+\lambda_2((0),(1),(0),(0))+\lambda_3((0),(0),(1),(0))+\lambda_4((0),(0),(0),(1))=0((1),(2),(0),(0))+1((0),(-1),(2),(1))+2((1),(0),(0),(1))-1((0),(1),(-3),(-1))$

$((lambda_1),(lambda_2),(lambda_3),(lambda_4))=((1,0,1,0),(2,-1,0,1),(0,2,0,-3),(0,1,1,-1))((0),(1),(2),(-1))$

In ogni modo, la prossima volta dovresti proporre almeno un tentativo di risoluzione.

[Tatasala]

Ciao speculor e grazie per la risposta, ho eseguito il procedimento descritto da te ed il vettore nel riferimento canonico risulta avere le seguenti coordinate: 2,-2,5,4. Ora nasce il mio dubbio perchè l'esercizio segue nel punto 3) dicendo: dato il vettore va le cui coordinate nel riferimento canonico E sono 3, 5, 2, -1 si calcolino le corrispondenti coordinate nel riferimento R. Non capisco se nel punto tre si parla di un vettore va diverso da quello di cui si parla nel punto 2) oppure ho sbagliato io i calcoli? Allego l'mmagine della traccia con il punto 3).

[Sk_Anonymous]

Si tratta di un altro vettore. In ogni modo, devi utilizzare la matrice inversa:

$((3),(5),(2),(-1))=((1,0,1,0),(2,-1,0,1),(0,2,0,-3),(0,1,1,-1))((\mu_1),(\mu_2),(\mu_3),(\mu_4)) rarr ((\mu_1),(\mu_2),(\mu_3),(\mu_4))=((1,0,1,0),(2,-1,0,1),(0,2,0,-3),(0,1,1,-1))^(-1)((3),(5),(2),(-1))$

[Tatasala]

Grazie per l'aiuto, mi metto a studiare, ciao

[Sk_Anonymous]

Un'ultima cosa. Questa matrice:

$M_(BtoC)=((1,0,1,0),(2,-1,0,1),(0,2,0,-3),(0,1,1,-1))$

si chiama matrice del cambiamento di base, da una base generica alla base canonica. Si costruisce mettendo in colonna le componenti dei vettori della base generica. La sua inversa, evidentemente, rende il servizio inverso:

$M_(CtoB)=((1,0,1,0),(2,-1,0,1),(0,2,0,-3),(0,1,1,-1))^(-1)$

[Tatasala]

Grazie mille mi sei stato di grande aiuto, sul libro che sto usando di algebra a volte la teoria è un pò difficile da comprendere.

[Tatasala]

Visto che abbiamo discusso i punti 2) e 3) dell'esercizio vorrei porre l'attenzione anche sul punto 1). Nel punto 1) l'esercizio chiede di dimostrare che tali vettori costituiscano una base per R^4.
Per dimostrare che i vettori costituiscano una base per R^4 ho costruito la matrice e ne ho calcolato il determinante. Il determinante di tale matrice è diverso da 0 quindi i vettori costituiscono una base.
Avrei poturo procedere anche in questo modo, partendo dalle nozioni teoriche:
Sia V uno spazio vettoriale, dicesi base di V ogni suo sottoinsieme B che ha le seguenti proprietà:
a) i vettori di B sono lineramente indipendenti
b) ciascun elemento di V è combinazione lineare dei vettori di B.
in che modo si procede nella pratica per dimostrare i punti a) e b) ?

[Sk_Anonymous]

"Tatasala":
Per dimostrare che i vettori costituiscano una base per R^4 ho costruito la matrice e ne ho calcolato il determinante. Il determinante di tale matrice è diverso da 0 quindi i vettori costituiscono una base.

Infatti, mediante questo procedimento, si può dimostrare che quelle $2$ ipotesi sono entrambe verificate.