Coordinate di un vettore e proiezione ortogonale
Ciao a tutti, apro questo topic perché vorrei chiedere un aiuto per una cosa che non riesco a capire, forse per qualche lacuna pregressa.
Ad esempio se ho un vettore $ vec(v) in \mathbb{C}^n $ di cui conosco le coordinate in base canonica e ho una base $B={vec(b_1), ..., vec(b_n)}$ di $\mathbb{C}^n$ (non necessariamente ortogonale/ortonormale) di cui conosco le coordinate rispetto alla base canonica, allora per determinare le coordinate $c_1, ..., c_n$ di $vec(v)$ rispetto a $B$ impongo:
$vec(v)=\sum_{i=1}^n c_i vec(b_i)$
$ { ( c_1b_{11} + ...+c_nb_{1n}=v_1 ),( ... ),( c_1b_{n1} + ...+c_nb_{n n}=v_n ):} $
che è un sistema lineare le cui incognite sono le coordinate. Risolvo e ok.
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Volevo chiedere se per ottenere le stesse coordinate si può fare la proiezione ortogonale di $vec(v)$ sui vettori della base $B$, oppure se questo metodo si può usare solo quando la base è ortogonale/ortonormale.
Disegnando i vettori $vec(v)$ e $vec(b_i)$ il libro definisce il coseno dell'angolo $vartheta$ tra i due tramite il prodotto scalare standard (ne esiste uno non standard?):
$cos(vartheta)=((vec(v)|vec(b_i)))/(||vec(v)||||vec(b_i)||)$
Ne consegue che la proiezione ortogonale di $vec(v)$ su $vec(b_i)$ è il vettore con la stessa direzione di $vec(b_i)$ il cui modulo e verso sono determinati da:
$P_{b_i}(v)=||vec(v)|| cos(vartheta) = ((vec(v)|vec(b_i)))/(||vec(b_i)||)$
dunque:
$vec(P_{b_i}(v))= P_{b_i}(v) vec(b_0i) = ((vec(v)|vec(b_i)))/(||vec(b_i)||^2) vec(b_i)$
dove $vec(b_0i)$ è il versore di $vec(b_i)$.
A questo punto il mio dubbio è:
il termine $P_{b_i}(v)$ non dovrebbe coincidere con la coordinata i-sima $c_i$?
Oppure questo accade solo se la base è ortogonale/ortonormale?
In effetti i coefficienti di Fourier hanno la forma $((vec(v)|vec(b_i)))/(||vec(b_i)||^2)$ e questi rappresentano le coordinate in una base ortonormale... potete aiutarmi a sbrogliare la confusione?
Grazie
Ad esempio se ho un vettore $ vec(v) in \mathbb{C}^n $ di cui conosco le coordinate in base canonica e ho una base $B={vec(b_1), ..., vec(b_n)}$ di $\mathbb{C}^n$ (non necessariamente ortogonale/ortonormale) di cui conosco le coordinate rispetto alla base canonica, allora per determinare le coordinate $c_1, ..., c_n$ di $vec(v)$ rispetto a $B$ impongo:
$vec(v)=\sum_{i=1}^n c_i vec(b_i)$
$ { ( c_1b_{11} + ...+c_nb_{1n}=v_1 ),( ... ),( c_1b_{n1} + ...+c_nb_{n n}=v_n ):} $
che è un sistema lineare le cui incognite sono le coordinate. Risolvo e ok.
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Volevo chiedere se per ottenere le stesse coordinate si può fare la proiezione ortogonale di $vec(v)$ sui vettori della base $B$, oppure se questo metodo si può usare solo quando la base è ortogonale/ortonormale.
Disegnando i vettori $vec(v)$ e $vec(b_i)$ il libro definisce il coseno dell'angolo $vartheta$ tra i due tramite il prodotto scalare standard (ne esiste uno non standard?):
$cos(vartheta)=((vec(v)|vec(b_i)))/(||vec(v)||||vec(b_i)||)$
Ne consegue che la proiezione ortogonale di $vec(v)$ su $vec(b_i)$ è il vettore con la stessa direzione di $vec(b_i)$ il cui modulo e verso sono determinati da:
$P_{b_i}(v)=||vec(v)|| cos(vartheta) = ((vec(v)|vec(b_i)))/(||vec(b_i)||)$
dunque:
$vec(P_{b_i}(v))= P_{b_i}(v) vec(b_0i) = ((vec(v)|vec(b_i)))/(||vec(b_i)||^2) vec(b_i)$
dove $vec(b_0i)$ è il versore di $vec(b_i)$.
A questo punto il mio dubbio è:
il termine $P_{b_i}(v)$ non dovrebbe coincidere con la coordinata i-sima $c_i$?
Oppure questo accade solo se la base è ortogonale/ortonormale?
In effetti i coefficienti di Fourier hanno la forma $((vec(v)|vec(b_i)))/(||vec(b_i)||^2)$ e questi rappresentano le coordinate in una base ortonormale... potete aiutarmi a sbrogliare la confusione?
Grazie
Risposte
Tutta la seconda parte del tuo post vale solo se ti riferisci ad una base ortogonale. Per capire, considera il caso di $RR^2$. Prendi una base non ortogonale come $(1,0), (1,1)$, calcola e disegna le coordinate di vari vettori $(x, y)$ e confrontale con le loro proiezioni ortogonali sui due vettori $(1, 0)$ e $(1,1)$ presi singolarmente.
Grazie dissonance, graficamente ho capito!
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