Coordinate di un punto in nuovo sistema di riferimento

[agata6]

Ciao a tutti,
Il mio obiettivo è di conoscere le coordinate di un punto X, di cui conosco le cooodinate nella base canonica, in nuovo sistema di riferimento dove l'origine (O) è traslata e i versori non sono ortogonali. Conosco inoltre le coordinate della nuova origine (O') nella base canonica, e le coordinate dei versori del nuovo sistema di riferimento rispetto la nuova origine.
Inoltre ho bisogno anche del contrario, ossia noto un punto nel nuovo sistema (X') di riferimento, ho bisogno delle sue coordinate nella base canonica.

Credo di essere riuscita nel primo caso applicando i seguenti passi :
1)traslo i versori del nuovo sistema di riferimento nell'origine O,
2) Costruisco la matrice di cambiamento di base mettendo i versori traslati come colonne della matrice.
3) Traslo anche il punto X
4) Moltiplico la matrice M per il punto X traslato.

Nel caso inverso ovvero noto un punto nel nuovo sistema calcolare le coordinate rispetto la base canonica ho applicato una trasformazione simile ovvero:
1)traslo i versori del nuovo sistema di riferimento nell'origine O,
2) Costruisco la matrice di cambiamento di base mettendo i versori come colonne della matrice.
3)Calcolo l'inversa della matrice di cambiamento di base.
4)Moltiplico la matrice inversa per il punto X'.
5)Traslo il vettore risultante nell'origine O'

Il primo caso sembra funzionare, mentre il secondo no.
Vi sarei molto grata di una mano.

[agata6]

Nessun aiuto? Non sono stata chiara in qualche punto?