Coordinate di matrice rispetto base
Ciao ragazzi volevo una mano su questo esercizio:
E' vero che la matrice :
A= $ ( ( 3 , -2 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $ $ €L( 1,A^2,A^3) $ ?
Se si determinare le coordinate di $ A^3 $ rispetto ad una base fissata nello spazio vettoriale $ L( 1,A^2,A^3) $.
Io ho trovato le matrici:
1: $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
$ A^2 $ : $ ( ( 7 , -6 , 0 ),( 3 , -2 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $
$ A^3 $ : $ ( ( 15 , -14 , 0 ),( 7 , -6 , 0 ),( 3 , -2 , 0 ) ) $
Io so come si risolvono quelli con matrici quadrate di ordine due ma con le matrici quadrate di ordine 3 i calcoli non so come farli.
Potreste darmi una mano?
E' vero che la matrice :
A= $ ( ( 3 , -2 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $ $ €L( 1,A^2,A^3) $ ?
Se si determinare le coordinate di $ A^3 $ rispetto ad una base fissata nello spazio vettoriale $ L( 1,A^2,A^3) $.
Io ho trovato le matrici:
1: $ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
$ A^2 $ : $ ( ( 7 , -6 , 0 ),( 3 , -2 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $
$ A^3 $ : $ ( ( 15 , -14 , 0 ),( 7 , -6 , 0 ),( 3 , -2 , 0 ) ) $
Io so come si risolvono quelli con matrici quadrate di ordine due ma con le matrici quadrate di ordine 3 i calcoli non so come farli.
Potreste darmi una mano?
Risposte
Quello che tu devi determinare è se esistono tre variabili $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ tali che
\(\alpha I + \beta A^2 + \gamma A^3 = A\)
cioé
\[\begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \alpha + 7\beta + 15\gamma & -2(3\beta +7\gamma) & 0 \\ 3\beta +7\gamma & \alpha -2(\beta + 3\gamma) & 0 \\ \beta + 3\gamma & -2\gamma & \alpha \end{pmatrix}\]
Che equivale alle condizioni:
\(\alpha = 0\)
\(\displaystyle \gamma = -\frac12 \)
\(\displaystyle 3\beta + 7\gamma = 1 \) che comprende anche la condizione \(\displaystyle -2(3\beta + 7\gamma) = -2 \) della prima riga seconda colonna.
\(\displaystyle \beta + 3\gamma = 0 \) che comprende anche la condizione \(\displaystyle \alpha - 2(3\beta + 7\gamma) = -2 \) della seconda riga, seconda colonna tenendo conto di \(\alpha = 0\).
A questo punto ti rimane da controllare se le consizioni:\(\displaystyle
\begin{cases}\displaystyle \gamma = -\frac12 \\ 3\beta + 7\gamma = 1 \\ \beta + 3\gamma = 0 \end{cases} \) sono compatibili tra di loro.
Sostituendo si ricava
\begin{align} 3\beta + 7\gamma &= 1 \\
3\beta - 7\frac12 &= 1 \\
3\beta &= 1+7\frac12\\
3\beta &= \frac92\\
\beta &= \frac{3}{2}
\end{align}
SIccome con questi valori \(\displaystyle \beta + 3\gamma = \frac{3}{2} -3\frac12 = 0 \) allora le tre condizioni sono compatibili e risulta \(\displaystyle A = \frac32A^2 - \frac12A^3\).
\(\alpha I + \beta A^2 + \gamma A^3 = A\)
cioé
\[\begin{pmatrix} 3 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \alpha + 7\beta + 15\gamma & -2(3\beta +7\gamma) & 0 \\ 3\beta +7\gamma & \alpha -2(\beta + 3\gamma) & 0 \\ \beta + 3\gamma & -2\gamma & \alpha \end{pmatrix}\]
Che equivale alle condizioni:
\(\alpha = 0\)
\(\displaystyle \gamma = -\frac12 \)
\(\displaystyle 3\beta + 7\gamma = 1 \) che comprende anche la condizione \(\displaystyle -2(3\beta + 7\gamma) = -2 \) della prima riga seconda colonna.
\(\displaystyle \beta + 3\gamma = 0 \) che comprende anche la condizione \(\displaystyle \alpha - 2(3\beta + 7\gamma) = -2 \) della seconda riga, seconda colonna tenendo conto di \(\alpha = 0\).
A questo punto ti rimane da controllare se le consizioni:\(\displaystyle
\begin{cases}\displaystyle \gamma = -\frac12 \\ 3\beta + 7\gamma = 1 \\ \beta + 3\gamma = 0 \end{cases} \) sono compatibili tra di loro.
Sostituendo si ricava
\begin{align} 3\beta + 7\gamma &= 1 \\
3\beta - 7\frac12 &= 1 \\
3\beta &= 1+7\frac12\\
3\beta &= \frac92\\
\beta &= \frac{3}{2}
\end{align}
SIccome con questi valori \(\displaystyle \beta + 3\gamma = \frac{3}{2} -3\frac12 = 0 \) allora le tre condizioni sono compatibili e risulta \(\displaystyle A = \frac32A^2 - \frac12A^3\).
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