Coordinate Curvilinee e Curve Coordinate
Ciao a tutti.
Sono alle prese con una confusione mentale nella geometria differenziale delle superfici in $RR^3$....
Qualcuno sa dirmi se ci sono e quali sono le differenze tra Coordinate Curvilinee e Curve Coordinate?
Temo di non avere ben chiaro il discorso della parametrizzazione locale...
Grazie
Ciao
Sono alle prese con una confusione mentale nella geometria differenziale delle superfici in $RR^3$....
Qualcuno sa dirmi se ci sono e quali sono le differenze tra Coordinate Curvilinee e Curve Coordinate?
Temo di non avere ben chiaro il discorso della parametrizzazione locale...
Grazie
Ciao
Risposte
Diciamo $S$ la superficie, $X:U\to S$ una parametrizzazione locale regolare di $S$ sull'aperto $U\subseteq RR^2$.
Fissato un punto $P\in X(U)$ esiste un unica coppia $(u_P,v_P) \in U$ tale che $X(u_P,v_P)=P$: le $(u_P,v_P)$ si chiamano coordinate locali (o coordinate curvilinee) di $P$ rispetto ad $X$.
Le curve coordinate indotte dalla r.p. $X$ su $S$ sono, invece, le immagini mediante $X$ dei segmenti (eventualmente degeneri in rette o semirette) paralleli agli assi che intersecano $U$.
Ad esempio prendi $S="sfera unitaria"=\{x\in RR^3: |x|=1\}$, $U=]0,2pi[\times]0,pi[$ ed:
$X(u,v):=(cos u sin v, sin u sin v, cos v)$ con $(u,v) \in U$;
evidentemente $X$ è una parametrizzazione locale di $S$ la cui immagine è la parte $X(U)$ di $S$ che non giace nel semipiano di equazioni $\{(y=0),(x>=0):}$ (insomma è $S$ privata della semicircinferenza del piano $Oxz$ che sta nel semipiano $x>=0$).
Le curve coordinate indotte da $X$ su $S$ sono quelle che si ottengono trasformando i segmenti di equazioni $u=\bar(u)$ e $v=\bar(v)$ (i primi paralleli all'asse $v$, i secondi paralleli all'asse $u$) che giacciono nel rettangolo $U$: se immagini $S$ come un mappamondo, facendo i conti si vede che i segmenti $u=\bar(u)$ si trasformano nei "meridiani" di $S$, mentre i segmenti $v=\bar(v)$ si trasformano nei "paralleli".
Fissato un punto $P\in X(U)$ esiste un unica coppia $(u_P,v_P) \in U$ tale che $X(u_P,v_P)=P$: le $(u_P,v_P)$ si chiamano coordinate locali (o coordinate curvilinee) di $P$ rispetto ad $X$.
Le curve coordinate indotte dalla r.p. $X$ su $S$ sono, invece, le immagini mediante $X$ dei segmenti (eventualmente degeneri in rette o semirette) paralleli agli assi che intersecano $U$.
Ad esempio prendi $S="sfera unitaria"=\{x\in RR^3: |x|=1\}$, $U=]0,2pi[\times]0,pi[$ ed:
$X(u,v):=(cos u sin v, sin u sin v, cos v)$ con $(u,v) \in U$;
evidentemente $X$ è una parametrizzazione locale di $S$ la cui immagine è la parte $X(U)$ di $S$ che non giace nel semipiano di equazioni $\{(y=0),(x>=0):}$ (insomma è $S$ privata della semicircinferenza del piano $Oxz$ che sta nel semipiano $x>=0$).
Le curve coordinate indotte da $X$ su $S$ sono quelle che si ottengono trasformando i segmenti di equazioni $u=\bar(u)$ e $v=\bar(v)$ (i primi paralleli all'asse $v$, i secondi paralleli all'asse $u$) che giacciono nel rettangolo $U$: se immagini $S$ come un mappamondo, facendo i conti si vede che i segmenti $u=\bar(u)$ si trasformano nei "meridiani" di $S$, mentre i segmenti $v=\bar(v)$ si trasformano nei "paralleli".
Non potevi essere più chiaro!
Hai una spiegazione così chiara anche per la prima e soprattutto per la seconda forma quadratica fondamentale???
Grazie
Hai una spiegazione così chiara anche per la prima e soprattutto per la seconda forma quadratica fondamentale???
Grazie
due osservazioni:
data una superficie differenziabile $S$ e una sua rappresentazione parametrica $X: U \to RR^3$, per ogni punto $P\in X(U)$, le coppie $(u_P,v_P) \in U$
si chiamano coordinate locali o parametri locali, perchè mai dovrebbero chiamarsi coordinate curvilinee? Forse manuxy84 fa confusione col concetto di coordinata ascissa curvilinea, che è propria delle curve nel piano e nello spazio.
Le curve coordinate o linee coordinate sono particolari curve dello spazio su una superficie,che si ottengono tenendo costante, alternativamente, la prima oppure la seconda coordinata locale della superficie.
La sfera centrata nell'origine di raggio unitario
$\{(x=cos(v)cos(u)),(y=cos(v)sin(u)),(z=sin(v)):}$ con $(u,v) \in U$;
e $U=[0,2pi] times [-pi/2, pi/2]$ ha come curve coordinate i meridiani, tenendo costante $u$ e facendo variare $v$ in $[-pi/2, pi/2]$ e i paralleli, tenendo costante $v$ e facendo variare $u$ in $[0,2pi]$.
Per es. con $v=0$ ottieni "l'equatore".
data una superficie differenziabile $S$ e una sua rappresentazione parametrica $X: U \to RR^3$, per ogni punto $P\in X(U)$, le coppie $(u_P,v_P) \in U$
si chiamano coordinate locali o parametri locali, perchè mai dovrebbero chiamarsi coordinate curvilinee? Forse manuxy84 fa confusione col concetto di coordinata ascissa curvilinea, che è propria delle curve nel piano e nello spazio.
Le curve coordinate o linee coordinate sono particolari curve dello spazio su una superficie,che si ottengono tenendo costante, alternativamente, la prima oppure la seconda coordinata locale della superficie.
La sfera centrata nell'origine di raggio unitario
$\{(x=cos(v)cos(u)),(y=cos(v)sin(u)),(z=sin(v)):}$ con $(u,v) \in U$;
e $U=[0,2pi] times [-pi/2, pi/2]$ ha come curve coordinate i meridiani, tenendo costante $u$ e facendo variare $v$ in $[-pi/2, pi/2]$ e i paralleli, tenendo costante $v$ e facendo variare $u$ in $[0,2pi]$.
Per es. con $v=0$ ottieni "l'equatore".
"Marco512":
....data una superficie differenziabile $S$ e una sua rappresentazione parametrica $X: U \to RR^3$, per ogni punto $P\in X(U)$, le coppie $(u_P,v_P) \in U$
si chiamano coordinate locali o parametri locali, perchè mai dovrebbero chiamarsi coordinate curvilinee? .
E' corretto dire che le coppie $(u_P,v_P) \in U$ si chiamano coordinate curvilinee....infatti se ti trovi in un sistema cartesiano in $RR^3$ l'intersezione dei tre piani coordinati, $x = costante$, $y = costante$ e $z = costante$, determinano la posizione di un punto $P$ e le terne $(x, y, z)$ prendono il nome di coordinate cartesiane del punto...nel caso in cui un punto $P$ è determinato dall'intersezione delle curve coordinate, le coppie $(u, v)$ prendono il nome di coordinate curvilinee.
"manuxy84":
Hai una spiegazione così chiara anche per la prima e soprattutto per la seconda forma quadratica fondamentale???
Grazie
PRIMA FORMA QUADRATICA FONDAMENTALE
consideriamo due punti $p_0$ e $p_1$ posti su di una superficie; per misurare la distanza $ds$ che intercorre tra loro, rimanendo sulla superficie in esame , dobbiamo seguire la curvatura della stessa, perchè se tracciassimo un segmento rettilineo $p_0p_1$, ci "staccherremmo" dalla superficie e ci troveremmo nello spazio tridimensionale che la contiene.
Detto questo, dobbiamo supporre che i due punti, $p_0$ e $p_1$, siano molto vicini tra loro perchè solo in questo modo, il segmento che li congiunge immerso nello spazio tridimensionale, coincide "quasi" con l'arco curvo di superficie; è ovvio che tanto più i due punti sono vicini tra loro e tanto più il segmento rettilineo conciderà con l'arco curvo.
Estendendo il discorso fatto, possiamo quindi dire che su di una "piccola" porzione di superficie curva, vale con grande approssimazione la geometria euclidea.
Vediamo allora in formule, come si può esplicitare quanto detto:
consideriamo una generica superficie
$x=x(u,v)$
$y=y(u,v)$
$z=z(u,v)$
applicando il teorema di Pitagora si ottiene $ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$
da cui abbiamo che
$dx=\frac{dx}{du}du+\frac{dx}{dv}dv$
$dy=\frac{dy}{du}du+\frac{dy}{dv}dv$
$dz=\frac{dz}{du}du+\frac{dz}{dv}dv$
sostituendo e semplificando nell'espressione $ds^2$, otteniamo:
$ds^2=[(dx^2)/(du^2)+(dy^2)/(du^2)+(dz^2)/(du^2)]du^2+2[(dx)/(du)(dx)/(dv)+(dy)/(du)(dy)/(dv)+(dz)/(du)(dz)/(dv)]dudv+[(dx^2)/(dv^2)+(dy^2)/(dv^2)+(dz^2)/(dv^2)]dv^2$
se ora poniamo
$E=(dx^2)/(du^2)+(dy^2)/(du^2)+(dz^2)/(du^2)$
$F=(dx)/(du)(dx)/(dv)+(dy)/(du)(dy)/(dv)+(dz)/(du)(dz)/(dv)$
$G=(dx^2)/(dv^2)+(dy^2)/(dv^2)+(dz^2)/(dv^2)$
giungiamo all'espressione $ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$ che prende il nome di "prima forma quadratica fondamentale" o anche "prima forma differenziale di Gauss".
Dalle equazioni di $E$, $F$ e $G$ è facile ricavare che
$E=P_u*P_u$
$F=P_u*P_v$
$G=P_v*P_v$
e risulta subito chiaro che $E$, $F$ e $G$ sono funzioni che dipendono solo ed esclusivamente dalla superficie e non dalla linea tracciata per unire i due punti posti su di essa.
La prima forma quadratica fondamentale viene generalmente espressa sotto forma di matrice $g_{ij}$, ossia
$g_{ij}=|(g_(11),g_(12)),(g_(21),g_(22))|$
dove $E=g_(11)$, $F=g_(12)=g_(21)$ e $G=g_(22)$
questa matrice prende il nome di tensore metrico fondamentale, ed esso è importantissimo in geometria differenziale perchè racchiude in sè tutte le proprietà metriche della superficie.
La prima forma quadratica fondamentale in termini più "moderni", riscritta con le grandezze $g_{ij}$, quindi $ds^2=g_(11)du^2+2g_(12)dudv+g_(22)dv^2$, va sotto il nome di "metrica di Riemann".
SECONDA FORMA QUADRATICA FONDAMENTALE
Sia $P_0$ un punto di $S$ e $C$ una curva posta su $S$ e passante per il punto $P_0$, quest'ultima di equazioni (parametrizzate dall'ascissa curvilinea)
$u=u(s)$
$v=v(s)$
La curva in questione possiede un vettore curvatura pari a:
$(d^2P)/(ds^2)(s_0)=k(s_0)n$
dove con $n$ si intende il versore normale alla curva in $P_0$ e $k(s_0)$ è la curvatura in $P_0$.
A questo punto definiamo il concetto di curvatura normale, si definisce curvatura normale delle curva $C$ in $P_0$ e si scrive $k_n(C,P_0)$, la proiezione (con segno) del vettore curvatura $(d^2P)/(ds^2)(s_0)$ sul versore normale $N(u_0,v_0)$ a $S$ in $P_0$; cioè:
$k_n(C,P_0)=(d^2P)/(ds^2)(s_0)*N(u_0,v_0)=k(s_0)n*N(u_0,v_0)$
essendo
$(dP)/(ds)=P_u (du)/(ds)+P_v (dv)/(ds)$
$(d^2P)/(ds^2)= (d)/(ds)((dP)/(ds))=P_(u u)(du^2)/(ds^2)+P_u(du^2)/(ds^2)+ 2P_(uv)(du)/(ds)(dv)/(ds)+P_(v v)(dv^2)/(ds^2)+P_v(dv^2)/(ds^2)$
tenendo conto che i vettori $P_u$ e $P_v$ sono ortogonali a $N$, si ottiene:
$k_n(C,P_0)=(d^2P)/(ds^2)(s_0)*N(u_0,v_0)=(P_(u u)*N)(du^2)/(ds^2)+ 2(P_(uv)*N)(du)/(ds)(dv)/(ds)+(P_(v v)*N)(dv^2)/(ds^2)$
Ponendo:
$e=e(u,v)=P_(u u)*N$
$f=f(u,v)=P_(u v)*N$
$g=g(u,v)=P_(v v)*N$
anche in questo caso si ha che $e$, $f$ e $g$ sono funzioni che dipendono unicamente dalla superficie e non dalla curva $C$;
sostituendo
$k_n(C,P_0)=e(du^2)/(ds^2)+2f((du)/(ds)(dv)/(ds))+g((dv^2)/(ds^2))$
Se a questo punto prendiamo in considerazione la prima forma quadratica fondamentale, e la dividiamo per $dt$....
$(ds^2)/(dt^2)=E(du^2)/(dt^2)+2F(du)/(dt)(dv)/(dt)+G(dv^2)/(ds^2)$
ci accorgiamo che $k_n(C,P_0)$ può essere riscritta nel seguente modo:
$k_n(C,P_0)=(e(du^2)/(dt^2)+2f((du)/(dt)(dv)/(dt))+g((dv^2)/(dt^2)))/(E(du^2)/(dt^2)+2F(du)/(dt)(dv)/(dt)+G\(dv^2)/(ds^2))$
Formalmente definiamo "seconda forma quadratica fondamentale" o "seconda forma differenziale di Gauss"
$e(du)^2+2fdudv+g(dv)^2$
da questo
$k_n(C,P_0)=(2^af.q.f.)/(1^af.q.f.)
Sia $P_0$ un punto di $S$ e $C$ una curva posta su $S$ e passante per il punto $P_0$, quest'ultima di equazioni (parametrizzate dall'ascissa curvilinea)
$u=u(s)$
$v=v(s)$
La curva in questione possiede un vettore curvatura pari a:
$(d^2P)/(ds^2)(s_0)=k(s_0)n$
dove con $n$ si intende il versore normale alla curva in $P_0$ e $k(s_0)$ è la curvatura in $P_0$.
A questo punto definiamo il concetto di curvatura normale, si definisce curvatura normale delle curva $C$ in $P_0$ e si scrive $k_n(C,P_0)$, la proiezione (con segno) del vettore curvatura $(d^2P)/(ds^2)(s_0)$ sul versore normale $N(u_0,v_0)$ a $S$ in $P_0$; cioè:
$k_n(C,P_0)=(d^2P)/(ds^2)(s_0)*N(u_0,v_0)=k(s_0)n*N(u_0,v_0)$
essendo
$(dP)/(ds)=P_u (du)/(ds)+P_v (dv)/(ds)$
$(d^2P)/(ds^2)= (d)/(ds)((dP)/(ds))=P_(u u)(du^2)/(ds^2)+P_u(du^2)/(ds^2)+ 2P_(uv)(du)/(ds)(dv)/(ds)+P_(v v)(dv^2)/(ds^2)+P_v(dv^2)/(ds^2)$
tenendo conto che i vettori $P_u$ e $P_v$ sono ortogonali a $N$, si ottiene:
$k_n(C,P_0)=(d^2P)/(ds^2)(s_0)*N(u_0,v_0)=(P_(u u)*N)(du^2)/(ds^2)+ 2(P_(uv)*N)(du)/(ds)(dv)/(ds)+(P_(v v)*N)(dv^2)/(ds^2)$
Ponendo:
$e=e(u,v)=P_(u u)*N$
$f=f(u,v)=P_(u v)*N$
$g=g(u,v)=P_(v v)*N$
anche in questo caso si ha che $e$, $f$ e $g$ sono funzioni che dipendono unicamente dalla superficie e non dalla curva $C$;
sostituendo
$k_n(C,P_0)=e(du^2)/(ds^2)+2f((du)/(ds)(dv)/(ds))+g((dv^2)/(ds^2))$
Se a questo punto prendiamo in considerazione la prima forma quadratica fondamentale, e la dividiamo per $dt$....
$(ds^2)/(dt^2)=E(du^2)/(dt^2)+2F(du)/(dt)(dv)/(dt)+G(dv^2)/(ds^2)$
ci accorgiamo che $k_n(C,P_0)$ può essere riscritta nel seguente modo:
$k_n(C,P_0)=(e(du^2)/(dt^2)+2f((du)/(dt)(dv)/(dt))+g((dv^2)/(dt^2)))/(E(du^2)/(dt^2)+2F(du)/(dt)(dv)/(dt)+G\(dv^2)/(ds^2))$
Formalmente definiamo "seconda forma quadratica fondamentale" o "seconda forma differenziale di Gauss"
$e(du)^2+2fdudv+g(dv)^2$
da questo
$k_n(C,P_0)=(2^af.q.f.)/(1^af.q.f.)
Quindi in conclusione possiamo dire che:
- La prima forma quadratica fondamentale rappresenta le proprietà metriche della superficie
- La seconda forma quadratice fondamentale rappresenta le proprietà di curvatura della superficie
- La prima forma quadratica fondamentale rappresenta le proprietà metriche della superficie
- La seconda forma quadratice fondamentale rappresenta le proprietà di curvatura della superficie
Grazie mille per le spiegazioni chiare e precise!
Alexp:
E' corretto dire che le coppie $(u_P,v_P) \in U$ si chiamano coordinate curvilinee....infatti se ti trovi in un sistema cartesiano in $RR^3$ l'intersezione dei tre piani coordinati, $x = cost$, $y = cost$ e $z = cost$, determinano la posizione di un punto $P$ e le terne $(x, y, z)$ prendono il nome di coordinate cartesiane del punto...nel caso in cui un punto $P$ è determinato dall'intersezione delle curve coordinate, le coppie $(u, v)$ prendono il nome di coordinate curvilinee.
Il concetto di coordinate curvilinee l'ho capito, però non ho capito perchè, se mi trovo in un riferimento cartesiano in $RR^3$ i piani coordinati si individuano con la parametrizzazione che hai scrtto tu. Per me i tre piani coordinati sono il piano $(x,y)$, $(y,z)$ e $(z,x)$ (sempre in $RR^3$) che hanno rispettivamente equazioni $z=0$, $x=0$ e $y=0$.
Anche qua puoi trovare la definizione di piani coordinati: www.isit100.fe.it/~cavicchi.m/sistema_d ... imento.doc
"Marco512":
Il concetto di coordinate curvilinee l'ho capito, però non ho capito perchè, se mi trovo in un riferimento cartesiano in $RR^3$ i piani coordinati si individuano con la parametrizzazione che hai scrtto tu. Per me i tre piani coordinati sono il piano $(x,y)$, $(y,z)$ e $(z,x)$ (sempre in $RR^3$) che hanno rispettivamente equazioni $z=0$, $x=0$ e $y=0$.
Si, i piani coordinati sono $z=0$, $x=0$ e $y=0$, ma per trovare i vari punti, bisogna "spostare" i piani e farli intersecare tra loro....con $cost$ non intendevo il coseno, ma costante.....ho provveduto a sistemare....così è sicuramente più chiaro!
La spiegazione fornita da Alexp per la seconda forma fondamentale mi è stata infinitamente più chiara di pagine e pagine sfogliate su vari testi di analisi, quindi ONORE A ALEXP!!!!!!!
Riprendò però la discussione perchè su delle dispense ho trovato questa "aggiunta".
Indicato con N_u e N_v i vettori aventi come componenti le derivate parziali (fatte rispettivamente rispetto a u e a v) del vettore normale N, ed essendo N ortogonale a P_u e P_v, derivando $ N * P_u=0 $ rispetto a v e $ N * P_v=0 $ rispetto a u si ottiene che:
$ e=N * P_(u.u)=-N_u * P_u$
$ f=N * P_(u.v)=-N_u * P_v$
$ g=N * P_(v.v)=-N_v * P_v$
Nulla da eccepire, sennonché in questo esercizio ho trovato un piccolo problema...
Sia $ h(u,v)=(vcos(u),vsen(u),u) $
E,F,G li calcolo tranquillamente: $ E=1+v^2 $ , F=0 , G=1
Calcolato N, $ N=(1/(1+v^2))*(-sen(u), cos(u), - v) $ trovo pure:
$ N_u=(1/(1+v^2)^(1/2))*(-cos(u), -sen(u), 0) $ e $ N_v=((vsen(u))/(1+v^2)^(3/2), (-vcos(u))/(1+v^2)^(3/2), (v^2)/(1+v^2)^(3/2)-1/(1+v^2)^(1/2)) $
e le relative norme: $ ||N_u| | =1/(1+v^2)^(1/2) $ e $ ||N_v| | =1/(1+v^2) $
A questo punto devo applicare le definizioni di e,f,g ma mi "blocco" perchè ho dei dubbi sulle seguenti assunzioni:
** N_u e P_u sono ortogonali
** N_v e P_v sono ortogonali
** ortogonalità tra N e P_uu e P_vv
** e tra N e P_uv?
** e tra N_u e P_v?
Sono convinto che è una questione molto banale, ma se qualcuno volesse darmi una spiegazione (anche intuitiva) delle relazioni tra questi vettori gliene sarei grato visto che sono in confusione (ma forse è anche perchè dopo un pomeriggio intero su queste cose, la lucidità latita XD)
Riprendò però la discussione perchè su delle dispense ho trovato questa "aggiunta".
Indicato con N_u e N_v i vettori aventi come componenti le derivate parziali (fatte rispettivamente rispetto a u e a v) del vettore normale N, ed essendo N ortogonale a P_u e P_v, derivando $ N * P_u=0 $ rispetto a v e $ N * P_v=0 $ rispetto a u si ottiene che:
$ e=N * P_(u.u)=-N_u * P_u$
$ f=N * P_(u.v)=-N_u * P_v$
$ g=N * P_(v.v)=-N_v * P_v$
Nulla da eccepire, sennonché in questo esercizio ho trovato un piccolo problema...
Sia $ h(u,v)=(vcos(u),vsen(u),u) $
E,F,G li calcolo tranquillamente: $ E=1+v^2 $ , F=0 , G=1
Calcolato N, $ N=(1/(1+v^2))*(-sen(u), cos(u), - v) $ trovo pure:
$ N_u=(1/(1+v^2)^(1/2))*(-cos(u), -sen(u), 0) $ e $ N_v=((vsen(u))/(1+v^2)^(3/2), (-vcos(u))/(1+v^2)^(3/2), (v^2)/(1+v^2)^(3/2)-1/(1+v^2)^(1/2)) $
e le relative norme: $ ||N_u| | =1/(1+v^2)^(1/2) $ e $ ||N_v| | =1/(1+v^2) $
A questo punto devo applicare le definizioni di e,f,g ma mi "blocco" perchè ho dei dubbi sulle seguenti assunzioni:
** N_u e P_u sono ortogonali
** N_v e P_v sono ortogonali
** ortogonalità tra N e P_uu e P_vv
** e tra N e P_uv?
** e tra N_u e P_v?
Sono convinto che è una questione molto banale, ma se qualcuno volesse darmi una spiegazione (anche intuitiva) delle relazioni tra questi vettori gliene sarei grato visto che sono in confusione (ma forse è anche perchè dopo un pomeriggio intero su queste cose, la lucidità latita XD)
"lobacevskij":
La spiegazione fornita da Alexp per la seconda forma fondamentale mi è stata infinitamente più chiara di pagine e pagine sfogliate su vari testi di analisi, quindi ONORE A ALEXP!!!!!!!
Grazie, sei troppo buono!!!
Ragiono a voce alta...
Il versore N ortogonale alla superficie (in un punto P) ha ovviamente norma unitaria, quindi:
$ N * N =1 $
che, derivata rispetto a u mi da $ 2N_u * N =0 $ , mentre rispetto a v $ 2N_v * N =0 $, da cui si ha che N_u e N_v sono ortogonali a N, e quindi devono appartenere al piano tangente la superficie in P, una cui base è quella formata dai vettori P_U e P_v (intuitivamente mi verrebbe da pensare che P_u e P_v siano sempre ortogonali, ma ovviamente così non è altrimenti avrei sempre F=0...ma non riesco a darmene una ragione più teorica)
Senza pensarci mi verrebbe da dire che allora N_u è parallelo a P_u e che N_v è parallelo a P_v ma pensando al fatto che si tratta di derivata parziale (mentre P_u e P_v non lo sono visto che le ricavo derivando funzioni di 2 variabili in cui una è considerata costante a prescindere, quindi 1 variabile ==> P_u è parallelo a u e P_v parallelo a v) allora il vettore derivata N_u sarà si perpendicolare ad N (e quindi appartenente al piano tangente), ma avrà direzione parallela al piano individuato da v=0 (analogo discorso per N_v con il piano u=0) e quindi dovrebbe essere N_u parallelo a P_v e N_v parallelo a N_u.
Avrei anche che P_uu è perpendicolare a P_u, ed entrambi perpendicolari a N (analogo per P_vv e P_u), ma così non è altrimenti avrei sempre e=g=0....
E P_uv? Moltiplicando scalarmente e sfruttando la definizione che il risultato è anche uguale al prodotto delle norme dei due vettori per il coseno dell'angolo tra essi compreso ottengo $ cos (hat(N,P_u.v)) =1/sqrt(1+v^2) $ (con N,P_uv angolo compreso tra N e P_uv), ma non riesco a spiegarmelo "teoricamente"(ovvero: cosa rappresenta la direzione di P_uv).
Se qualche anima pia fosse in grado di chiarirmi questi dubbi (o volesse anche solo provare ad imbastire un ragionamento per farmi vedere la strada da seguire) gliene sarei molto grato
Il versore N ortogonale alla superficie (in un punto P) ha ovviamente norma unitaria, quindi:
$ N * N =1 $
che, derivata rispetto a u mi da $ 2N_u * N =0 $ , mentre rispetto a v $ 2N_v * N =0 $, da cui si ha che N_u e N_v sono ortogonali a N, e quindi devono appartenere al piano tangente la superficie in P, una cui base è quella formata dai vettori P_U e P_v (intuitivamente mi verrebbe da pensare che P_u e P_v siano sempre ortogonali, ma ovviamente così non è altrimenti avrei sempre F=0...ma non riesco a darmene una ragione più teorica)
Senza pensarci mi verrebbe da dire che allora N_u è parallelo a P_u e che N_v è parallelo a P_v ma pensando al fatto che si tratta di derivata parziale (mentre P_u e P_v non lo sono visto che le ricavo derivando funzioni di 2 variabili in cui una è considerata costante a prescindere, quindi 1 variabile ==> P_u è parallelo a u e P_v parallelo a v) allora il vettore derivata N_u sarà si perpendicolare ad N (e quindi appartenente al piano tangente), ma avrà direzione parallela al piano individuato da v=0 (analogo discorso per N_v con il piano u=0) e quindi dovrebbe essere N_u parallelo a P_v e N_v parallelo a N_u.
Avrei anche che P_uu è perpendicolare a P_u, ed entrambi perpendicolari a N (analogo per P_vv e P_u), ma così non è altrimenti avrei sempre e=g=0....
E P_uv? Moltiplicando scalarmente e sfruttando la definizione che il risultato è anche uguale al prodotto delle norme dei due vettori per il coseno dell'angolo tra essi compreso ottengo $ cos (hat(N,P_u.v)) =1/sqrt(1+v^2) $ (con N,P_uv angolo compreso tra N e P_uv), ma non riesco a spiegarmelo "teoricamente"(ovvero: cosa rappresenta la direzione di P_uv).
Se qualche anima pia fosse in grado di chiarirmi questi dubbi (o volesse anche solo provare ad imbastire un ragionamento per farmi vedere la strada da seguire) gliene sarei molto grato
Ciao,
allora....$N_u$ e $N_v$ appartengono al piano tg, per il ragionamento che hai fatto, ed essendo che $P_u$ e $P_v$ devono essere linearmente indipendenti, si avrà che $N_u=a*P_u+b*P_v$ e che $N_v=c*P_u+d*P_v$, ossia $N_u$ e $N_v$ possono essere scritti come un'applicazione lineare di $P_u$ e $P_v$.
Ricorda inoltre che $P_u$ e $P_v$ non è detto che siano ortogonali tra loro, altrimenti $F$ sarebbe sempre nulla....per esempio la superficie definita da $(u, u+v, 2u^2+v^2+2uv)$ in $(0,0)$ avrà $P_u=1,1,0$ e $P_v=0,1,0$ come vedi qui si ha $F=1$.
Le direzioni di $P_(u v)$, $P_(u u)$ e $P_(v v)$ rappresento le derivate di $P_u$ e $P_v$
allora....$N_u$ e $N_v$ appartengono al piano tg, per il ragionamento che hai fatto, ed essendo che $P_u$ e $P_v$ devono essere linearmente indipendenti, si avrà che $N_u=a*P_u+b*P_v$ e che $N_v=c*P_u+d*P_v$, ossia $N_u$ e $N_v$ possono essere scritti come un'applicazione lineare di $P_u$ e $P_v$.
Ricorda inoltre che $P_u$ e $P_v$ non è detto che siano ortogonali tra loro, altrimenti $F$ sarebbe sempre nulla....per esempio la superficie definita da $(u, u+v, 2u^2+v^2+2uv)$ in $(0,0)$ avrà $P_u=1,1,0$ e $P_v=0,1,0$ come vedi qui si ha $F=1$.
Le direzioni di $P_(u v)$, $P_(u u)$ e $P_(v v)$ rappresento le derivate di $P_u$ e $P_v$
"Alexp":
Nu e Nv possono essere scritti come un'applicazione lineare di Pu e Pv.
Caspio...come ho fatto a non pensarci?
Quindi, in definitiva:
N_u, N_v, P_u, P_v sono ortogonali a N e giacciono sul piano tangente la superficie (nel punto d'interesse)
P_u e P_v non sono necessariamente ortogonali (se lo sono, è un caso particolare di base ortogonale)
N_u e N_v non sono necessariamente ortogonali (lo sono se $ P_u*P_v=-(ac+bd)/(ad+bc) $ )
N_u è perpendicolare a P_u solo se $ P_u*P_v=-a/b $
N_v è perpendicolare a P_v solo se $ P_u*P_v=-d/c $
etc...
Me lo confermate?
PS @ Alexp: Grazie per la risposta ^^
Si, confermo!
Eccellente,eccellente. (alla mr Burns 
)
Grazie per l'aiuto!!
)Grazie per l'aiuto!!
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