Coordinate baricentriche

[dissonance]

Non riesco a capire l'uso di queste coordinate per la caratterizzazione delle varietà affini. Precisamente, vorrei mostrare che in uno spazio affine $A$, un sottoinsieme $S\subA$ è una sottovarietà affine (nel senso che è un $P+W$, dove $W$ è un sottospazio vettoriale dello spazio $V$ delle traslazioni) se e solo se è chiuso rispetto alle combinazioni pesate, nel senso che:
per ogni famiglia di punti ${P_1,...,P_n}\inS$ e per ogni famiglia di scalari ${lambda_1, ...,lambda_n}$ tali che $lambda_1+...+lambda_n=1$, la combinazione $lambda_1P_1+...+lambda_nP_n$ definita come $P_1+sum_{i=1}^nlambda_ivec{P_1P_i}$ è ancora in $S$.

Il "solo se" non è chiaramente un problema. Ma è il "se" che non mi riesce. Se $S$ è stabile rispetto alle combinazioni pesate, dove lo vado a prendere un sottospazio di $V$ che mi faccia da direzione?

[dissonance]

Ah ecco, forse ho capito. L'idea è che, se fissiamo un punto $O\inS$ (che consideremo una specie di "origine" di S), quando prendiamo $n$ punti di $S$ $P_1,...P_n$ e $n$ scalari $lambda_1, ...,lambda_n$, possiamo sempre aggiungere $O$ ai punti e $1-sum_{i=1}^nlambda_i$ agli scalari per poi calcolare la somma pesata (di $n+1$ addendi):
$(1-sum_{i=1}^nlambda_i)O+lambda_1P_1+...+lambda_nP_n$
che è ben definita perché la somma dei pesi è $1-(lambda_1+...+lambda_n)+(lambda_1+...+lambda_n)=1$, e perciò è ancora un punto di S.
Se chiamiamo $P$ questo punto, risulta per definizione di somma pesata:
$vec(OP)=(1-sum_{i=1}^nlambda_i)vec(OO)+lambda_1vec(OP)_1+...+lambda_nvec(OP_n)=lambda_1vec(OP_1)+...+lambda_nvec(OP_n)$
Allora chiamiamo $W$ il sottoinsieme dello spazio vettoriale delle traslazioni $V$ definito così: $W={vec(OP_i)\ |\ P_i\inS}$.
L'essere $S$ chiuso rispetto alle combinazioni pesate si traduce nell'essere $W$ chiuso rispetto alle combinazioni lineari per via dell'osservazione di prima. E perciò $S$ è una varietà affine e $W$ e il suo spazio delle direzioni.

Questo fatto spiega anche perché la varietà affine generata da $n+1$ punti indipendenti risulti alla fine avere dimensione $n$. Infatti, alla luce di quanto scritto sopra, questa varietà è esattamente l'insieme delle combinazioni pesate di questi punti: e i gradi di libertà non sono $n+1$ perché fissati ad arbitrio $n$ scalari $lambda_1, ...,lambda_n$, l'$n+1$-esimo è forzato ad essere $1-sum_{i=1}^nlambda_i$.