Coomologia di de Rham di S1

[Glycerine1]

Ciao a tutti, sono nel bel mezzo di un esame di geometria differenziale e mi sono letteralmente perso nel calcolo della Coomologia di de Rham di una circonferenza: ho provato anche a cercare su internet ma ho trovato solamente due spiegazioni, una di due righe e una di 3 pagine! Mi chiedevo quindi se qualcuno potesse darmi una spiegazione esaustiva senza che la cosa diventi enormemente lunga (anche perchè a lezione era stato lasciato come esercizio quindi non dovrebbe essere una cosa impossibile).

Ricapitolando quel che ho fatto:
- per dimensione + il fatto che la circonferenza è connessa resta da calcolare solamente il primo gruppo di coomologia
- le 1-forme chiuse coincidono con tutte le 1-forme
- le 1-forme esatte sono il differenziale di una funzione
- volendo posso usare l'angolo come coordinata (usando almeno due carte evito il problema della non continuità in 0)

A questo punto sono fermo...

[apatriarca]

Per il teorema di de Rham, potresti anche fare i calcoli usando la coomologia singolare (e quindi anche simpliciale o cellulare) semplificando enormemente tutto (e risolvendo il problema in circa una riga). Ma suppongo che tu non abbia conoscenze di topologia algebrica. Ti suggerisco quindi di provare a integrare le tue forme differenziali su tutto $S^1$. Il risultato è invariante per classi di equivalenza nella coomologia di de Rham?

[Glycerine1]

Se non sbaglio l'integrale dovrebbe essere uguale per tutti gli elementi della classe, perchè la differenza tra i vari rappresentanti della classe è una forma esatta (che nelle varietà senza bordo ha integrale nullo per il thm di Stokes)

[apatriarca]

Hai quindi definito una mappa [tex]F : H^1_{dR}(S^1) \to \mathbb R[/tex]. Che proprietà ha questa mappa? È una mappa lineare? È suriettiva? È iniettiva? È invertibile?

[Glycerine1]

Capito!