Convergenza di successioni in uno spazio topologico
Determinare i pti di convergenza della successione {(-1-1/n,1/n)} nelle topologie:
1) A={vuoto,R2,Aa=]0,a-2a,0-a,0[*[0,2a[}aappartenteR+
2) A' i cui aperti sono vuoto, R2, tutti i sottoinsiemi del cerchio pieno e chiuso B1(0) di centro O(0,0) e di raggio r=1 e tutti gli aperti della topologia naturale disgiunti da B1(0) e tutte le unioni di un aperto contenuto in B1(0) e uno disgiunto da B1(0)
3) Topologia del tiro a bersaglio centrata in (-1,1)
Per quanto riguarda la topologia del tiro a bersaglio, secondo me la successione converge a tutti quei punti R2\la palla aperta centrata in (-1,1) di raggio radice di 5 essendo che per tali punti ogni intorno conterrà la successione da un certo indice in poi.
Ho più dubbi invece sulle topologie A e A': per la topologia A ho pensato di distinguere il caso in cui a>1(cioè in modo che (-1,0) abbia come intorni Aa) e a<=1:se a>1 la successione converge a R2 perche se prendo pti in Aa,per ciascuno di questi punti ogni intorno conterrà la successione da un certo indice in poi, stesso discorso vale per i pti fuori Aa che hanno come unico intorno aperto R2 ed è chiaro che conterranno tutta la successione; se a<=1 per i pti fuori Aa posso fare la stessa considerazione mentre per i pti dentro Aa non vale piu quanto detto prima perche se a<=1 la successione non cade negli intorni Aa quindi i tal caso la successione converge a R2\Aa con a<=1.
Infine per la topologia A' credo che la successione non converga ad alcun punto essendo che (-1,0) è un pto del cerchio pieno e chiuso B1(0) e la successione è compresa tra termini al di fuori di tale cerchio(dove abbiamo la topologia naturale) e tende all'infinito a (-1,0) senza mai arrivarvi, quindi poichè al di fuori del cerchio c'è la topologia naturale potrebbe convergere a (-1,0) ma questo non è possibile perche (-1,0) è un pto sul cerchio che avendo in sè la topologia discreta ha come aperto {(-1,0)} che chiaramente non contiene la successione. Che dite ho ragionato in modo corretto o ci sono degli errori?
1) A={vuoto,R2,Aa=]0,a
3) Topologia del tiro a bersaglio centrata in (-1,1)
Per quanto riguarda la topologia del tiro a bersaglio, secondo me la successione converge a tutti quei punti R2\la palla aperta centrata in (-1,1) di raggio radice di 5 essendo che per tali punti ogni intorno conterrà la successione da un certo indice in poi.
Ho più dubbi invece sulle topologie A e A': per la topologia A ho pensato di distinguere il caso in cui a>1(cioè in modo che (-1,0) abbia come intorni Aa) e a<=1:se a>1 la successione converge a R2 perche se prendo pti in Aa,per ciascuno di questi punti ogni intorno conterrà la successione da un certo indice in poi, stesso discorso vale per i pti fuori Aa che hanno come unico intorno aperto R2 ed è chiaro che conterranno tutta la successione; se a<=1 per i pti fuori Aa posso fare la stessa considerazione mentre per i pti dentro Aa non vale piu quanto detto prima perche se a<=1 la successione non cade negli intorni Aa quindi i tal caso la successione converge a R2\Aa con a<=1.
Infine per la topologia A' credo che la successione non converga ad alcun punto essendo che (-1,0) è un pto del cerchio pieno e chiuso B1(0) e la successione è compresa tra termini al di fuori di tale cerchio(dove abbiamo la topologia naturale) e tende all'infinito a (-1,0) senza mai arrivarvi, quindi poichè al di fuori del cerchio c'è la topologia naturale potrebbe convergere a (-1,0) ma questo non è possibile perche (-1,0) è un pto sul cerchio che avendo in sè la topologia discreta ha come aperto {(-1,0)} che chiaramente non contiene la successione. Che dite ho ragionato in modo corretto o ci sono degli errori?
Risposte
[xdom="j18eos"]Chiedo cortesemente l'uso delle formule, perché così non si riesce a capire bene cosa domandi.
Grazie per la collaborazione.[/xdom]
Grazie per la collaborazione.[/xdom]
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