Controimmagini di chiusi
Ciao, amici!
Sapendo che le controimmagini di aperti sono aperti, data una funzione $f:D \subset X \rightarrow Y$, il mio libro dimostra che ciò equivale a dire che le controimmagini di chiusi sono chiusi osservando che "se $S$ è un qualsiasi sottoinsieme di $Y$ e $T={x \in X:f(x) \in S}$ è la sua controimmagine allora $X\\T=Y\\S$".
Suppongo che $X\\T$ sia il complementare di $T$ in $X$ e mi è chiaro che il complementare di un chiuso è un aperto e il complementare di un aperto è un chiuso, ma che cosa significa quell'ultima uguaglianza? Io avrei scritto magari $f(X\\T) \subset Y\\S$...
Che cosa ne pensate?
Grazie di cuore a tutti!!!
Sapendo che le controimmagini di aperti sono aperti, data una funzione $f:D \subset X \rightarrow Y$, il mio libro dimostra che ciò equivale a dire che le controimmagini di chiusi sono chiusi osservando che "se $S$ è un qualsiasi sottoinsieme di $Y$ e $T={x \in X:f(x) \in S}$ è la sua controimmagine allora $X\\T=Y\\S$".
Suppongo che $X\\T$ sia il complementare di $T$ in $X$ e mi è chiaro che il complementare di un chiuso è un aperto e il complementare di un aperto è un chiuso, ma che cosa significa quell'ultima uguaglianza? Io avrei scritto magari $f(X\\T) \subset Y\\S$...
Che cosa ne pensate?
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Sta dicendo che il complementare della controimmagine è la controimmagine del complementare. Di solito nelle prime pagine dei libri di topologia c'è uno specchietto contenente tutte queste proprietà algebriche delle operazioni tra insiemi, tipo questo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Preimage#Consequences
Prova a consultarlo. In linea di massima, prendere controimmagini è l'operazione più sicura di tutte, perché commuta con tutte le altre operazioni sugli insiemi.
http://en.wikipedia.org/wiki/Preimage#Consequences
Prova a consultarlo. In linea di massima, prendere controimmagini è l'operazione più sicura di tutte, perché commuta con tutte le altre operazioni sugli insiemi.
Grazie, Dissonance, sei una miniera di cultura matematica.
Quindi scrivere $X\\T=Y\\S$ (dove $T$ è $f^-1(S)$) è un modo più sintetico di scrivere $D\\T=f^-1(f(D)\\S)$ (essendo $D \subseteq X$ il dominio e $f(D)$ l'immagine, per come è definita $f$)?
Grazie ancora per la pazienza!!!
Quindi scrivere $X\\T=Y\\S$ (dove $T$ è $f^-1(S)$) è un modo più sintetico di scrivere $D\\T=f^-1(f(D)\\S)$ (essendo $D \subseteq X$ il dominio e $f(D)$ l'immagine, per come è definita $f$)?
Grazie ancora per la pazienza!!!
Più che "un modo più sintetico", è esattamente la stessa cosa: siccome \(f\) è definita in \(D\) e a valori in \(Y\) allora
\[D\setminus f^{-1}(S)=f^{-1}(Y\setminus S).\]
Inoltre \(f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(f(D)\setminus S)\) (se ci pensi un attimo, magari con un diagrammino di Venn, ciò è immediato).
Comunque non mi piace tanto questa storia di considerare \(f\) definita in un sottoinsieme di \(X\). Dal punto di vista topologico un sottoinsieme può essere molto molto diverso dal suo ambiente: basti pensare a \(\mathbb{Z}\), che è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) ma topologicamente sono il giorno e la notte. Avrai notato anche tu che in analisi e in geometria si considerano solo funzioni definite in sottoinsiemi molto particolari di \(\mathbb{R}^n\) (o di sue generalizzazioni): aperti, intervalli, superfici regolari, quasi mai sottoinsiemi arbitrari. Il motivo è proprio questo: un sottoinsieme arbitrario può avere una topologia anche molto strana e complicata.
\[D\setminus f^{-1}(S)=f^{-1}(Y\setminus S).\]
Inoltre \(f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(f(D)\setminus S)\) (se ci pensi un attimo, magari con un diagrammino di Venn, ciò è immediato).
Comunque non mi piace tanto questa storia di considerare \(f\) definita in un sottoinsieme di \(X\). Dal punto di vista topologico un sottoinsieme può essere molto molto diverso dal suo ambiente: basti pensare a \(\mathbb{Z}\), che è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) ma topologicamente sono il giorno e la notte. Avrai notato anche tu che in analisi e in geometria si considerano solo funzioni definite in sottoinsiemi molto particolari di \(\mathbb{R}^n\) (o di sue generalizzazioni): aperti, intervalli, superfici regolari, quasi mai sottoinsiemi arbitrari. Il motivo è proprio questo: un sottoinsieme arbitrario può avere una topologia anche molto strana e complicata.
sei una miniera di cultura matematicaGrazie, ma credimi queste qua sono cose che si sanno. Dopo qualche altra pagina e un paio di esercizi verranno naturali anche a te.
Grazie di cuore! Mi è chiaro che $f^-1(Y\\S)$ è uguale a $f^-1(f(D)\\S)$ perché gli unici valori $y \in Y$ di cui si trovi un $x \in X:f(x)=y$ sono quelli contenuti in $f(D)$, ma -scusa se insisto- è il segno di uguale nel mio libro che mi crea problemi. Sappiamo che $D\\f^-1(S)$ per come è definito il dominio di $f$ è lo stesso insieme espresso come $X\\f^-1(S)$ dove $f^-1(S)$ è per definizione $T$, quindi scriverei $D\\f^-1(S)=X\\f^-1(S)=X\\T=f^-1(f(D)\\S)=f^-1(Y\\S)$. Quindi si può in modo equivalente scrivere sinteticamente (con un significato diverso attribuito all'uguale) $X\\T=Y\\S$ -come trovo nel libro- al posto di $X\\T=f^-1(Y\\S)$?
$+oo$ grazie di nuovo!
EDIT: invece di $D\\f^-1(S)=X\\f^-1(S)$ si ha invece che $D\\f^-1(S) \subset X\\f^-1(S)$.
$+oo$ grazie di nuovo!
EDIT: invece di $D\\f^-1(S)=X\\f^-1(S)$ si ha invece che $D\\f^-1(S) \subset X\\f^-1(S)$.
Davide, sto scappando e quindi non ti do una risposta ma solo un piccolo remark:
No, no, non credo che sia questa la strada giusta, troppo complicato! Questa qui è una proposizione proprio piccola, di solito uno non scrive neanche la dimostrazione, cose del genere non devono esserci. Che libro stai leggendo? Se lasci il riferimento provo a darci un'occhiata.
"DavideGenova":
(con un significato diverso attribuito all'uguale) $X\\T=Y\\S$ -come trovo nel libro- al posto di $X\\T=f^-1(Y\\S)$?
No, no, non credo che sia questa la strada giusta, troppo complicato! Questa qui è una proposizione proprio piccola, di solito uno non scrive neanche la dimostrazione, cose del genere non devono esserci. Che libro stai leggendo? Se lasci il riferimento provo a darci un'occhiata.
Grazie!!!! Ho trovato l'uguaglianza su V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini e G. Verzini, Analisi matematica, vol. 2, p. 372, esercizio VII.3. Penso che non sia impossibile che manchi per refuso un $f^-1$...
In verità mi sono un po' perso in tutti questi insiemi. Di sicuro, se \(f\colon D \subset X \to Y\) ha \(D\) strettamente contenuto in \(X\), allora non è possibile che
\[X \setminus f^{-1}(S)=f^{-1}(X\setminus S), \]
perché l'insieme a secondo membro è contenuto in \(D\) mentre quello a primo membro contiene elementi al di fuori di esso. Io ribadisco che questo vezzo da analista di considerare \(f\) definita in un sottoinsieme dello spazio topologico ambiente porta confusione e andrebbe evitato.
Se vuoi studiare topologia generale meglio non farlo da un libro di analisi ma da un libro di topologia generale: una ottima scelta è secondo me il Munkres.
\[X \setminus f^{-1}(S)=f^{-1}(X\setminus S), \]
perché l'insieme a secondo membro è contenuto in \(D\) mentre quello a primo membro contiene elementi al di fuori di esso. Io ribadisco che questo vezzo da analista di considerare \(f\) definita in un sottoinsieme dello spazio topologico ambiente porta confusione e andrebbe evitato.
Se vuoi studiare topologia generale meglio non farlo da un libro di analisi ma da un libro di topologia generale: una ottima scelta è secondo me il Munkres.
Ahi, è vero, ho scritto male sopra: invece di "$D\\f^-1(S) = X\\f^-1(S)$" mi pare piuttosto che $D\\f^-1(S) \subset X\\f^-1(S)$, ma non è detto che siano uguali (il mio libro direi che usi $\subset$ nel senso di $\subseteq$).
Quindi direi piuttosto che il fatto che il complementare (nel dominio) della controimmagine è la controimmagine del complementare sia esprimibile -definendo $T=f^-1(S)$- come $D\\T=f^-1(Y\\S)$...
Grazie di cuore anche per i consigli bibliografici!!! Non vedo l'ora di aver finito il libro di analisi per esplorare anche altri terreni della matematica...
Quindi direi piuttosto che il fatto che il complementare (nel dominio) della controimmagine è la controimmagine del complementare sia esprimibile -definendo $T=f^-1(S)$- come $D\\T=f^-1(Y\\S)$...
Grazie di cuore anche per i consigli bibliografici!!! Non vedo l'ora di aver finito il libro di analisi per esplorare anche altri terreni della matematica...
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