Controimmagine di una applicazione.
Salve,
mi blocco con un esercizio che mi dice di trovare la controimmagine di una applicazione.Questa è $f(e_1)=3e_1-e_2,f(e_2)=9e_1-3e_2,f(e_3)=5e_1-e_2-2e_2$.
Mi chiedi di calcolare la controimmagine di f in (5,0,1).Faccio il sistema associato che è
$((3x_1+9x_2+5x_3=5),(-x_1-3x_2-x_3=0),(-2x_3=1))$ trovo che $x_3=-1/2$ quindi il sistema si riduce a $((3x_1+9x_2=15/2),(-x_1-3x_2=-1/2),(x_3=-1/2))$.
Il problema sorge qui.Non so come andare avanti,se usare Cramer,ma il det della matrice incompleta è 0,oppure usare una variabile t al posto di x2 perchè sono linearmente dipendenti le due righe.Grazie.
mi blocco con un esercizio che mi dice di trovare la controimmagine di una applicazione.Questa è $f(e_1)=3e_1-e_2,f(e_2)=9e_1-3e_2,f(e_3)=5e_1-e_2-2e_2$.
Mi chiedi di calcolare la controimmagine di f in (5,0,1).Faccio il sistema associato che è
$((3x_1+9x_2+5x_3=5),(-x_1-3x_2-x_3=0),(-2x_3=1))$ trovo che $x_3=-1/2$ quindi il sistema si riduce a $((3x_1+9x_2=15/2),(-x_1-3x_2=-1/2),(x_3=-1/2))$.
Il problema sorge qui.Non so come andare avanti,se usare Cramer,ma il det della matrice incompleta è 0,oppure usare una variabile t al posto di x2 perchè sono linearmente dipendenti le due righe.Grazie.
Risposte
Se è come dici, scommetto un caffè che la trasformazione lineare non è iniettiva. 
si è iniettiva perchè è un isomorfismo,cmq avevo pensato che forse non c'è soluzione poichè il rango della completa è diverso dal rango dell'incomleta.
Ma se è iniettiva, allora la controimmagine deve esistere ed essere unica.
e quindi come dovrei continuare?
Non ho fatto i conti, anche perchè devi avere sbagliato a scrivere nella trasformazione di $e_3$. Se dici che è un isomorfismo, l'iniettività implica la suriettività, per questo ho detto che la controimmagine deve esistere. Se i due spazi avessero dimensioni diverse, dall'iniettività non potresti dedurne la suriettività.
Supponendo che $(e_1,e_2,e_3)$ sia la base naturale:
$((y_1),(y_2),(y_3))=((3,9,5),(-1,-3,-1),(0,0,-2))((x_1),(x_2),(x_3))$
$((y_1),(y_2),(y_3))=((5),(0),(1)) rarr ((5),(0),(1))=((3,9,5),(-1,-3,-1),(0,0,-2))((x_1),(x_2),(x_3)) rarr ((x_1),(x_2),(x_3))=((3,9,5),(-1,-3,-1),(0,0,-2))^-1((5),(0),(1))$
Se fosse stato un isomorfismo, quella matrice avrebbe avuto determinante diverso da zero, sarebbe stata invertibile, e avresti ottenuto una sola controimmagine. Viceversa, può capitare di tutto. Potresti non avere una controimmagine, del resto la trasformazione lineare non è suriettiva, potresti averne infinite, la trasformazione lineare non è neanche iniettiva. Per scoprirlo, devi risolvere il sistema applicando il teorema di Rouchè-Capelli, cosa che, mi sembra, tu stessi facendo. Non capisco perchè, nella prima risposta, hai detto che la trasformazione lineare era iniettiva.
$((y_1),(y_2),(y_3))=((3,9,5),(-1,-3,-1),(0,0,-2))((x_1),(x_2),(x_3))$
$((y_1),(y_2),(y_3))=((5),(0),(1)) rarr ((5),(0),(1))=((3,9,5),(-1,-3,-1),(0,0,-2))((x_1),(x_2),(x_3)) rarr ((x_1),(x_2),(x_3))=((3,9,5),(-1,-3,-1),(0,0,-2))^-1((5),(0),(1))$
Se fosse stato un isomorfismo, quella matrice avrebbe avuto determinante diverso da zero, sarebbe stata invertibile, e avresti ottenuto una sola controimmagine. Viceversa, può capitare di tutto. Potresti non avere una controimmagine, del resto la trasformazione lineare non è suriettiva, potresti averne infinite, la trasformazione lineare non è neanche iniettiva. Per scoprirlo, devi risolvere il sistema applicando il teorema di Rouchè-Capelli, cosa che, mi sembra, tu stessi facendo. Non capisco perchè, nella prima risposta, hai detto che la trasformazione lineare era iniettiva.
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