Controimmagine di un vettore e calcolo della base di W
Buonasera! Ho ricominciato a fare Geometria dopo alcuni mesi di "astinenza" e non avendo le soluzioni degli esercizi, non sono sicuro che siano tutti giusti!
Non mi serve tanto il risultato ma più che altro la conferma che il metodo sia giusto, o in caso contrario qual'è il metodo da seguire!
1) Nello spazio euclideo determinare equazioni cartesiane della retta passante per P (-1,1,0) perpendicolare e incidente alla retta $r: x+z-1 = y + z = 0$
Per risolverlo ho trovato il piano passante per P e perpendicolare alla retta r, a quel punto ho messo a sistema il piano trovato con la retta r e trovato il punto d'intersezione Q.
Poi ho trovato la retta passante per i due punti, teoricamente quella dovrebbe essere la retta cercata!
2) Determinare in un insieme di tre generatori del sottospazio S di $R^3$ di equazione $x_3 = 2x_1 + 3x_2$
Qui ho fatto una cosa che non mi convince molto! Praticamente ho pensato che se $x_3$ è funzione di $x_1$ e $x_2$ quindi una insieme di 3 generatori può essere:
${(1,0,2),(0,1,3),(1,2,8)}$
Il primo e il secondo sono la base, mentre il secondo un vettore preso a caso per arrivare a 3!
3) Data l'applicazione $L: R^2 -> R^2$ definita da $L (x,y) = (x+y,2x+2y)$, determinare la controimmagine del vettore (2,4)
Stavolta ho fatto il sistema:
$\{(x+y=2),(2x+2y=4):}$
Quindi $x=4$ e $y = 2-h$
Sinceramente mi pare troppo facile!
4) Mi dava tre rette nel piano, una aveva un parametro variabile e mi chiedeva di trovare i valori del parametro per cui le tre rette facevano parte dello stesso fascio.
Io ho trovato il punto in comune alle prime due, dato che non sono parallele deve esserci per forza un punto comune a tutte e tre!
Poi ho trovato il parametro h andando a sostituire ad x e y le coordinate del punto.
5) Determinare una base per il sottospazio S di $R^3$, di equazioni di $x_1 + x_2 +2x_3=x_1+2x_2+x_3=0$.
Risolvendo il sistema ottengo:
$\{(x_1=-x_2-2x_3),(-x_2-2x_3+2x_2+x_3=0):}$
$\{(x_1 =-x_2-2x_3),(x_2-x_3=0):}$
$\{(x_1=-x_3-2x_3=-3x_3),(x_2=x_3):}$
Quindi:
$(-3x_3,x_3,x_3$
${(-3,-1-1)}$
Infine volevo sapere come posso trovare un piano passante per un punto e perpendicolare ad una retta!
Io seguo un metodo che credo sia giusto, cioè trovo i parametri direttori della retta e impongo che il rango della matrice formata dai parametri direttori e tre incognite a,b,c sia 1.
Quindi vado a risolvere un sistema di 3 equazioni in 3 incognite, ovvero il sistema in cui i tre minori della matrice sono uguali a 0 per trovare le incognite che sono i coefficienti del piano.
Non esiste un metodo più veloce?
Infine (veramente stavolta
) mi vorrei scusare per tutte le domande che ho fatto! Mi rendo conto che è davvero tanta roba.. grazie in anticipo!
Non mi serve tanto il risultato ma più che altro la conferma che il metodo sia giusto, o in caso contrario qual'è il metodo da seguire!
1) Nello spazio euclideo determinare equazioni cartesiane della retta passante per P (-1,1,0) perpendicolare e incidente alla retta $r: x+z-1 = y + z = 0$
Per risolverlo ho trovato il piano passante per P e perpendicolare alla retta r, a quel punto ho messo a sistema il piano trovato con la retta r e trovato il punto d'intersezione Q.
Poi ho trovato la retta passante per i due punti, teoricamente quella dovrebbe essere la retta cercata!
2) Determinare in un insieme di tre generatori del sottospazio S di $R^3$ di equazione $x_3 = 2x_1 + 3x_2$
Qui ho fatto una cosa che non mi convince molto! Praticamente ho pensato che se $x_3$ è funzione di $x_1$ e $x_2$ quindi una insieme di 3 generatori può essere:
${(1,0,2),(0,1,3),(1,2,8)}$
Il primo e il secondo sono la base, mentre il secondo un vettore preso a caso per arrivare a 3!
3) Data l'applicazione $L: R^2 -> R^2$ definita da $L (x,y) = (x+y,2x+2y)$, determinare la controimmagine del vettore (2,4)
Stavolta ho fatto il sistema:
$\{(x+y=2),(2x+2y=4):}$
Quindi $x=4$ e $y = 2-h$
Sinceramente mi pare troppo facile!
4) Mi dava tre rette nel piano, una aveva un parametro variabile e mi chiedeva di trovare i valori del parametro per cui le tre rette facevano parte dello stesso fascio.
Io ho trovato il punto in comune alle prime due, dato che non sono parallele deve esserci per forza un punto comune a tutte e tre!
Poi ho trovato il parametro h andando a sostituire ad x e y le coordinate del punto.
5) Determinare una base per il sottospazio S di $R^3$, di equazioni di $x_1 + x_2 +2x_3=x_1+2x_2+x_3=0$.
Risolvendo il sistema ottengo:
$\{(x_1=-x_2-2x_3),(-x_2-2x_3+2x_2+x_3=0):}$
$\{(x_1 =-x_2-2x_3),(x_2-x_3=0):}$
$\{(x_1=-x_3-2x_3=-3x_3),(x_2=x_3):}$
Quindi:
$(-3x_3,x_3,x_3$
${(-3,-1-1)}$
Infine volevo sapere come posso trovare un piano passante per un punto e perpendicolare ad una retta!
Io seguo un metodo che credo sia giusto, cioè trovo i parametri direttori della retta e impongo che il rango della matrice formata dai parametri direttori e tre incognite a,b,c sia 1.
Quindi vado a risolvere un sistema di 3 equazioni in 3 incognite, ovvero il sistema in cui i tre minori della matrice sono uguali a 0 per trovare le incognite che sono i coefficienti del piano.
Non esiste un metodo più veloce?
Infine (veramente stavolta
) mi vorrei scusare per tutte le domande che ho fatto! Mi rendo conto che è davvero tanta roba.. grazie in anticipo!
Risposte
1) ok
2) ok
3) mmm.... devi trovare un vettore $v$ qualunque tale che $f(v)=((2),(4))$, quindi sommargli il Ker. Cioè: $f^(-1)(2,4)=(2+t,-t), \ \ \ t\in RR$
4) ok
5) no.... il tuo vettore deve verificare le equazioni cartesiane date dal problema. La risposta sarebbe $(-5,2,1)
Ultima domanda: in pratica puoi fare la stessa cosa dell'esercizio 1.
Saluti
2) ok
3) mmm.... devi trovare un vettore $v$ qualunque tale che $f(v)=((2),(4))$, quindi sommargli il Ker. Cioè: $f^(-1)(2,4)=(2+t,-t), \ \ \ t\in RR$
4) ok
5) no.... il tuo vettore deve verificare le equazioni cartesiane date dal problema. La risposta sarebbe $(-5,2,1)
Ultima domanda: in pratica puoi fare la stessa cosa dell'esercizio 1.
Saluti
Ti ringrazio!
Però ho fatto alcuni errori io.. praticamente nella 3 non so il perchè ma invece di h ho messo 4 -.-
E l'ultima domanda.. quella senza numero in realtà non mi serve trovare il piano che trovo al volo senza nessuna difficoltà ma la retta perpendicolare ad un altra e passante per un punto, nello spazio!
Metodi diversi dall'usare il rango non me ne vengono in mente...
Invece il 5 praticamente come hai trovato il risultato?
EDIT: Mi sono resto conto che anche nel 3 ho sbagliato a scrivere l'esercizio! In realtà non è $x_1 + x_2 +3x_3=x_1+2x_2+x_3=0$ ma $x_1 + x_2 +2x_3=x_1+2x_2+x_3=0$!
Infatti ho provato a risolverlo con i dati che avevo messo qui nel post e mi viene il tuo risultato! Immagino che quindi il metodo sia giusto, se mi dai conferma mi rendi una persona felice
Grazie ancora! E scusami per tutti sti errori, forse ho studiato troppo oggi e ora sto fuso..
Però ho fatto alcuni errori io.. praticamente nella 3 non so il perchè ma invece di h ho messo 4 -.-
E l'ultima domanda.. quella senza numero in realtà non mi serve trovare il piano che trovo al volo senza nessuna difficoltà ma la retta perpendicolare ad un altra e passante per un punto, nello spazio!
Metodi diversi dall'usare il rango non me ne vengono in mente...
Invece il 5 praticamente come hai trovato il risultato?
EDIT: Mi sono resto conto che anche nel 3 ho sbagliato a scrivere l'esercizio! In realtà non è $x_1 + x_2 +3x_3=x_1+2x_2+x_3=0$ ma $x_1 + x_2 +2x_3=x_1+2x_2+x_3=0$!
Infatti ho provato a risolverlo con i dati che avevo messo qui nel post e mi viene il tuo risultato! Immagino che quindi il metodo sia giusto, se mi dai conferma mi rendi una persona felice
Grazie ancora! E scusami per tutti sti errori, forse ho studiato troppo oggi e ora sto fuso..
Nel 5 il risultato si trova calcolando il "nullspace", di una matrice 2x3 che ha i coefficienti delle variabili dell'equazione in sequenza:
$((1,2,1),(1,1,2))$
Il nullspace è $(-3,1,1)$....
$((1,2,1),(1,1,2))$
Il nullspace è $(-3,1,1)$....
@Serxe: Dovresti scegliere dei titoli più specifici per i tuoi thread; in particolare è importante che si capisca l'argomento che tratti. Provvedi a cambiarli, grazie.
Perdonami Seneca, sinceramente ho messo un titolo come questo perchè erano esercizi vari! Ora mi faccio venire in mente qualcosa di più specifico e cambio!
E grazie Quinzio (anche per la risposta nell'altro post), anche se sinceramente il "nullspace" non mi è stato spiegato quindi non credo sia utilizzabile come metodo.. ma oggi sono andato all'università al ricevimento con il professore e mi ha confermato che il metodo che seguo è corretto!
E grazie Quinzio (anche per la risposta nell'altro post
), anche se sinceramente il "nullspace" non mi è stato spiegato quindi non credo sia utilizzabile come metodo.. ma oggi sono andato all'università al ricevimento con il professore e mi ha confermato che il metodo che seguo è corretto!
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