Contrazione tensore
Buongiorno... qualcuno potrebbe dirmi se questa discussione sia giusta?
sia $C:L_1^(1) -> L_0^1$ Questo omomorfismo può essere anche realizzato tramite una contrazione esterna e cioè componendo un prodotto tensoriale tra due tensori dei rispettivi spazi:$ L_1^1$e $U_0^1$e una contrazione $C’:L_1^2->L_0^1$.
Senza entrare troppo nel dettaglio vi riporto quanto affermato dal mio libro:
$L=L_(j_1)^(i_i)(vec(e)_(i_1) ox vec(e)^(j_1))$
$M=M^(i_2)vec(e)_(i_2)$
$L ox M= L_(j_1)^(i_i)M^(i_2)(vec(e)_(i_1) ox vec(e)_(i_2) oxvec(e)^(j_1))$ da cui $C’=C^2_1$, così che: $ C_1^2 (L ox M) in L_0^1$. Qualcuno saprebbe spiegarmi perché si hanno due indici ripetuti $i_i$ sull’apice di: $L_(j_1)^(i_i)$ ?
sia $C:L_1^(1) -> L_0^1$ Questo omomorfismo può essere anche realizzato tramite una contrazione esterna e cioè componendo un prodotto tensoriale tra due tensori dei rispettivi spazi:$ L_1^1$e $U_0^1$e una contrazione $C’:L_1^2->L_0^1$.
Senza entrare troppo nel dettaglio vi riporto quanto affermato dal mio libro:
$L=L_(j_1)^(i_i)(vec(e)_(i_1) ox vec(e)^(j_1))$
$M=M^(i_2)vec(e)_(i_2)$
$L ox M= L_(j_1)^(i_i)M^(i_2)(vec(e)_(i_1) ox vec(e)_(i_2) oxvec(e)^(j_1))$ da cui $C’=C^2_1$, così che: $ C_1^2 (L ox M) in L_0^1$. Qualcuno saprebbe spiegarmi perché si hanno due indici ripetuti $i_i$ sull’apice di: $L_(j_1)^(i_i)$ ?
Risposte
Presumo sia un errore di stampa... doveva essere $i_1$.
È sicuramente un typo.
Grazie dissonance... in questi casi non si è mai troppo sicuri.
Per non aprire un nuovo post scrivo qui il mio dubbio:
[TEO] Sia $X$ una trasformazione multilineare:
$X : mathbb(V)_1 xx ...xx mathbb(V)_p xx mathbb(V)_1^** xx ... xx mathbb(V)_q^** -> U$ ;
allora esiste ed è unica la trasformazione lineare:
$C : \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V)) -> U $,
tale che: $X(vec(u)_1,...,vec(u)_p,vec(u)^1,...,vec(u)^q)=C(vec(u)_1 ox ... ox vec(u)_p ox vec(u)^1 ox ... ox vec(u)^q)$ per ogni $vec(u)_1,...,vec(u)_p in mathbb(V) $ e ogni $ vec(u)^1,...,vec(u)^q in mathbb(V)^**$.
COMMENTI: la precedente esprime in modo sintetico il signficato della fattorizzazione universale; ovvero il fatto che l'azione di un tensore $X$ su un insieme di vettori e covettori equivale all'azione di una applicazione lineare $C$ sul tensore semplice $vec(u)_1 ox ... ox vec(u)_p ox vec(u)^1 ox ... ox vec(u)^q$.
[DEF] Consideriamo lo spazio $\mathfrak(L)_q^p(mathbb(V))$ e siano: $(h_1,..., h_N),(k_1,...,k_N)$ due disposizioni semplici di orine N sull'insieme :${1,...,min(p,q)}$ cosicchè risulti verificata:
per ogni $i,j in (1,...,N), i ne j rArr h_i ne h_j , k_i ne k_j $.
Diremo contrazione di ordine $N$ la funzione:
$C: T in \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V)) mapsto CT in \mathfrak(L)_(q-N)^(p-N)(mathbb(V))$ la quale risulta composta da $N$ contrazioni semplici $C:= C_(k_1)^(h_1) circ ... circ C_(k_N)^(h_N)$.
Dato $m<= bar(p)+bar(q)$ diremo contrazione $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterna di ordine $m$ una contrazione di ordine "m" che applicata al tensore $[T ox U] in mathfrak(L)_(q+bar(p))^(p+bar(q))(mathbb(V))$ ne saturi indici del tensore $T$ con indici del tensore $U$.
Diremo inoltre "contrazione semplice$(p,bar(p)),(q,bar(q))$ - esterna" del tensore $[T ox U]$ una contrazione $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterna di ordine $m=1$.
[TEOREMA] Sia $C in \mathcal(C)$, ove$ mathcal(C)$ è la classe delle contrazioni $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterne di ordine $m$, e sia: $ \mathfrak(c)={C_(k_1)^(h_1),..., C_(k_m)^(h_m)}$ l'insieme delle contrazioni semplici $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterne che la compongono. Tale insieme può sempre essere ripartito in due sottoinsiemi:
$ \mathfrak(c)^(bar(p)) sube mathfrak(C^(bar(p))$ e $ \mathfrak(c)^(bar(q)) sube mathfrak(C^(bar(q))$
ove $mathfrak(C^(bar(p))):={ C_k^h | (1<=h<=p) e (q+1<=k<=q+bar(p))}$ e $ mathfrak(C^(bar(q))):={ C_s^r | (p+1<=r<=p+bar(q)) e (1<=s<=q)}$. Questi insiemi avranno cardinalità rispettiva: $bar(p)$ e $bar(q)$.
[DEFINIZIONE] Delineata la struttura della classe $mathcal(C)$ introduciamo una classe di applicazioni lineari ad essa legate.
Scelti quattro interi $p,q,bar(p),bar(q)$ sottoposti alle limitazioni di cui sopra, sia $mathcal(J)-(p,bar(p)),(q,bar(q))$ la classe di applicazioni:
$mathfrak(J)_C : \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V)) -> (Hom)[\mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p))(mathbb(V)),\mathfrak(L)_(q-bar(q))^(p-bar(p))(mathbb(V))]$ definite dalla: $(mathfrak(J)_C L)M:=C(L ox M)$ per ogni $L in \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V))$ e per ogni $ M in \mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p))(mathbb(V))$, al variare di $C in mathcal(C)$.
Risulta allora:
[TEO] Tutte le applicazioni $mathfrak(J)_C in mathcal(J)-(p,bar(p)),(q,bar(q))$ di cui alla definizione precedente sono isomorfismi.
[TEO] Lo spazio $mathfrak(L)_1^1$ delle applicazioni bilineari da $mathbb(V)^(**) xx mathbb(V) -> mathbb(K)$ è isomorfo allo spazio $Hom(mathbb(V),mathbb(V)$ degli endomorfismi di $mathbb(V)$.
-Date queste premesse arrivo ad esporvi i miei dubbi:
1) Dato che ogni applicazione del penultimo teorema realizza un isomorfismo vorrei capire quali sono gli elementi che vengono messi in relazione biunivoca. Da quali operatori vengono realizzati gli endomorfismi tra spazi tensoriali? Mi vien da dire dagli operatori $ox$ e $C_(k_i)^(h_j)in mathfrak(c)^(bar(p)) cup mathfrak(c)^(bar(q))$. Ma allora questo cosa vuol dire? Che ad ogni tensore della base dello spazio $mathfrak(L)_1^1$ l’applicazione $mathfrak(J)_C$ fa corrispondere un’operazione di prodotto tensoriale o contrazione?
2)In particolare per il teorema che lo segue dovrebbe essere vero che ai 4 tensori di base che generano $Tinmathfrak(L)_1^1 $ gli si associno 4 elementi dello spazio degli endomorfismi; quali sono questi endomorfismi?
3) Il primo post che ho scritto ( sù in cima ) dovrebbe essere un esempio di un isomorfismo dato dall'applicazione $mathfrak(J)_C$ sul tensore $L_1^1$ ma proprio non riesco a capire come si realizzi tale isomorfismo.
Un aiuto è graditissimo. Grazie
[TEO] Sia $X$ una trasformazione multilineare:
$X : mathbb(V)_1 xx ...xx mathbb(V)_p xx mathbb(V)_1^** xx ... xx mathbb(V)_q^** -> U$ ;
allora esiste ed è unica la trasformazione lineare:
$C : \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V)) -> U $,
tale che: $X(vec(u)_1,...,vec(u)_p,vec(u)^1,...,vec(u)^q)=C(vec(u)_1 ox ... ox vec(u)_p ox vec(u)^1 ox ... ox vec(u)^q)$ per ogni $vec(u)_1,...,vec(u)_p in mathbb(V) $ e ogni $ vec(u)^1,...,vec(u)^q in mathbb(V)^**$.
COMMENTI: la precedente esprime in modo sintetico il signficato della fattorizzazione universale; ovvero il fatto che l'azione di un tensore $X$ su un insieme di vettori e covettori equivale all'azione di una applicazione lineare $C$ sul tensore semplice $vec(u)_1 ox ... ox vec(u)_p ox vec(u)^1 ox ... ox vec(u)^q$.
[DEF] Consideriamo lo spazio $\mathfrak(L)_q^p(mathbb(V))$ e siano: $(h_1,..., h_N),(k_1,...,k_N)$ due disposizioni semplici di orine N sull'insieme :${1,...,min(p,q)}$ cosicchè risulti verificata:
per ogni $i,j in (1,...,N), i ne j rArr h_i ne h_j , k_i ne k_j $.
Diremo contrazione di ordine $N$ la funzione:
$C: T in \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V)) mapsto CT in \mathfrak(L)_(q-N)^(p-N)(mathbb(V))$ la quale risulta composta da $N$ contrazioni semplici $C:= C_(k_1)^(h_1) circ ... circ C_(k_N)^(h_N)$.
Dato $m<= bar(p)+bar(q)$ diremo contrazione $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterna di ordine $m$ una contrazione di ordine "m" che applicata al tensore $[T ox U] in mathfrak(L)_(q+bar(p))^(p+bar(q))(mathbb(V))$ ne saturi indici del tensore $T$ con indici del tensore $U$.
Diremo inoltre "contrazione semplice$(p,bar(p)),(q,bar(q))$ - esterna" del tensore $[T ox U]$ una contrazione $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterna di ordine $m=1$.
[TEOREMA] Sia $C in \mathcal(C)$, ove$ mathcal(C)$ è la classe delle contrazioni $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterne di ordine $m$, e sia: $ \mathfrak(c)={C_(k_1)^(h_1),..., C_(k_m)^(h_m)}$ l'insieme delle contrazioni semplici $(p,bar(p)),(q,bar(q))$-esterne che la compongono. Tale insieme può sempre essere ripartito in due sottoinsiemi:
$ \mathfrak(c)^(bar(p)) sube mathfrak(C^(bar(p))$ e $ \mathfrak(c)^(bar(q)) sube mathfrak(C^(bar(q))$
ove $mathfrak(C^(bar(p))):={ C_k^h | (1<=h<=p) e (q+1<=k<=q+bar(p))}$ e $ mathfrak(C^(bar(q))):={ C_s^r | (p+1<=r<=p+bar(q)) e (1<=s<=q)}$. Questi insiemi avranno cardinalità rispettiva: $bar(p)$ e $bar(q)$.
[DEFINIZIONE] Delineata la struttura della classe $mathcal(C)$ introduciamo una classe di applicazioni lineari ad essa legate.
Scelti quattro interi $p,q,bar(p),bar(q)$ sottoposti alle limitazioni di cui sopra, sia $mathcal(J)-(p,bar(p)),(q,bar(q))$ la classe di applicazioni:
$mathfrak(J)_C : \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V)) -> (Hom)[\mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p))(mathbb(V)),\mathfrak(L)_(q-bar(q))^(p-bar(p))(mathbb(V))]$ definite dalla: $(mathfrak(J)_C L)M:=C(L ox M)$ per ogni $L in \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V))$ e per ogni $ M in \mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p))(mathbb(V))$, al variare di $C in mathcal(C)$.
Risulta allora:
[TEO] Tutte le applicazioni $mathfrak(J)_C in mathcal(J)-(p,bar(p)),(q,bar(q))$ di cui alla definizione precedente sono isomorfismi.
[TEO] Lo spazio $mathfrak(L)_1^1$ delle applicazioni bilineari da $mathbb(V)^(**) xx mathbb(V) -> mathbb(K)$ è isomorfo allo spazio $Hom(mathbb(V),mathbb(V)$ degli endomorfismi di $mathbb(V)$.
-Date queste premesse arrivo ad esporvi i miei dubbi:
1) Dato che ogni applicazione del penultimo teorema realizza un isomorfismo vorrei capire quali sono gli elementi che vengono messi in relazione biunivoca. Da quali operatori vengono realizzati gli endomorfismi tra spazi tensoriali? Mi vien da dire dagli operatori $ox$ e $C_(k_i)^(h_j)in mathfrak(c)^(bar(p)) cup mathfrak(c)^(bar(q))$. Ma allora questo cosa vuol dire? Che ad ogni tensore della base dello spazio $mathfrak(L)_1^1$ l’applicazione $mathfrak(J)_C$ fa corrispondere un’operazione di prodotto tensoriale o contrazione?
2)In particolare per il teorema che lo segue dovrebbe essere vero che ai 4 tensori di base che generano $Tinmathfrak(L)_1^1 $ gli si associno 4 elementi dello spazio degli endomorfismi; quali sono questi endomorfismi?
3) Il primo post che ho scritto ( sù in cima ) dovrebbe essere un esempio di un isomorfismo dato dall'applicazione $mathfrak(J)_C$ sul tensore $L_1^1$ ma proprio non riesco a capire come si realizzi tale isomorfismo.
Un aiuto è graditissimo. Grazie
Sei capace di dimostrare che un ben preciso oggetto ha la proprietà universale di $V\otimes W$, innanzitutto?
l'oggetto di cui stai parlando è l'applicazione $C : mathfrak(L)_p^q(V)→U$. Questo oggetto se esiste è unico. Lo si dimostra dal fatto che tale applicazione è lineare e agisce su un insieme di generatori per lo spazio di $mathfrak(L)_p^q(V)$ e dunque:
$C(vec(e)_(i_1) ox...ox vec(e)_(i_p) ox vec(e)^(j_1) ox...ox vec(e)^(j_q))= X(vec(e)_(i_1),...,vec(e)_(i_p),...,vec(e)^(j_1),...,vec(e)^(j_q))$ per ogni $i,j=1,...,n$.
Inoltre $X=vec(e)^(i_1) ox...ox vec(e)^(i_p) ox vec(e)_(j_1) ox...ox vec(e)_(j_q)$.
$C(vec(e)_(i_1) ox...ox vec(e)_(i_p) ox vec(e)^(j_1) ox...ox vec(e)^(j_q))= X(vec(e)_(i_1),...,vec(e)_(i_p),...,vec(e)^(j_1),...,vec(e)^(j_q))$ per ogni $i,j=1,...,n$.
Inoltre $X=vec(e)^(i_1) ox...ox vec(e)^(i_p) ox vec(e)_(j_1) ox...ox vec(e)_(j_q)$.
Sì, d'accordo; ma esiste? Cioè, sai come costruire $V_1\otimes\cdots\otimes V_n$?
dallo span dei vettori appartenenti ai singoli spazi vettoriali soggetti al prodotto tensoriale(che si dimostra essere a sua volta uno spazio vettoriale): $L=vec(u)_1 ox....ox vec(u)_pox vec(u)^(1)ox...ox vec(u)^q=L_(j_1,...,j_q)^(i1,...,i_p)vec(e)_(i_1) ox....ox vec(e)_(i_p)ox vec(e)^(j_1)ox...ox vec(e)^(j_q) in mathfrak(L)_p^q(mathbb(V))$
Ho idea che la nozione di "proprietà universale" ti sia molto poco chiara
non saprei dare un significato preciso alla tua domanda.... Come si costruisce in che senso ? intendi dire come si definisce l'applicazione "$ox : V_1 xx...xxV_n-> V_1ox...oxV_n$" ?
Se un oggetto definito da una proprietà universale esiste, è unico; ma esiste? La risposta, da un certo punto di vista, è sì, perché $V\otimes W$ sarà un opportuno coequalizzatore; del resto, potrebbe farti bene, invece di quest'orgia di coordinate, avere comando di qual è la costruzione esplicita del prodotto tensoriale di due $R$-moduli, per poter dimostrare i risultati che coinvolgono tale oggetto sia con la proprietà universale, sia con la sua caratterizzazione come colimite.
@boomerang: non dargli troppa corda, è un fanatico
No, è me che dovrebbe ascoltare invece, perché apparentemente una competenza sufficientemente astratta nelle definizioni è pertinenza solo dei fanatici.
Sto semplicemente dicendo che se $V\otimes W$ viene presentato esplicitamente dalla giusta distanza, è possibile evitare questi casini (che rendono, tra l'altro illeggibile e incorreggibile il testo). C'è una domanda:
ma cosa significa? Detto così, niente. Ma sapendo cos'è un tensore, si tratta esattamente stabilire quale oggetto realizza la proprietà universale di $V\otimes W$. E' esattamente quello che ho chiesto a OP.
Tu poi, la conosci questa proprietà universale, o sei qui per darmi del fanatico (termine per avere affibiato il quale mi sembra sufficiente parlare di matematica successiva al 1960, o con un linguaggio successivo al 1960) gratuitamente?
Sto semplicemente dicendo che se $V\otimes W$ viene presentato esplicitamente dalla giusta distanza, è possibile evitare questi casini (che rendono, tra l'altro illeggibile e incorreggibile il testo). C'è una domanda:
Dato che ogni applicazione del penultimo teorema realizza un isomorfismo vorrei capire quali sono gli elementi che vengono messi in relazione biunivoca.
ma cosa significa? Detto così, niente. Ma sapendo cos'è un tensore, si tratta esattamente stabilire quale oggetto realizza la proprietà universale di $V\otimes W$. E' esattamente quello che ho chiesto a OP.
Tu poi, la conosci questa proprietà universale, o sei qui per darmi del fanatico (termine per avere affibiato il quale mi sembra sufficiente parlare di matematica successiva al 1960, o con un linguaggio successivo al 1960) gratuitamente?
La questione è estremamente semplice. Il calcolo tensoriale veniva presentato così prima di Bourbaki (credo che il primo a scrivere una nota leggermente più elegante sul tema sia però stato Cartan). Dopo quel momento, è non solo inutile, ma controproducente ragionare in termini di "contrazioni", apici e pedici a mazzi da dieci.
Alla prima domanda, posto che io abbia interpretato correttamente quel che hai scritto, si risponde scrivendo qual è la proprietà universale di un prodotto tensoriale iterato (ma finito) \(\bigotimes V_i\); questo è uno spazio vettoriale tale che le applicazioni multilineari $\prod V_i \to W$ corrispondono isomorficamente alle applicazioni lineari \(\bigotimes V_i\to W\). A realizzare tale oggetto (perlomeno nel caso di due soli spazi: generalizzare è ovvio) è il quoziente di $K^{V_1\times V_2}$ per la relazione che rende bilineare la mappa ovvia $t : V_1\times V_2 \to K^{V_1\times V_2}$. Data l'azione di $t$, queste relazioni sono
1. $(v+v',w)=(v,w)+(v',w)$ e una analoga per una somma $w+w'$, per ogni $v,v'\in V_1$ e $w,w'\in V_2$
2. $(av,w) = (v,aw)=a(v,w)$ per ogni $v\in V_1, w\in V_2,a\in K$.
E' evidente che $t$ è bilineare. E' evidente che $t$ realizza la proprietà universale per precomposizione, dandoti l'isomorfismo
\[
\hom(V_1\otimes V_2, W)\cong \text{bil}(V_1\times V_2, W)
\] Nomina una qualsiasi proprietà formale di un prodotto tensoriale: essa discende da questo isomorfismo.
Alla prima domanda, posto che io abbia interpretato correttamente quel che hai scritto, si risponde scrivendo qual è la proprietà universale di un prodotto tensoriale iterato (ma finito) \(\bigotimes V_i\); questo è uno spazio vettoriale tale che le applicazioni multilineari $\prod V_i \to W$ corrispondono isomorficamente alle applicazioni lineari \(\bigotimes V_i\to W\). A realizzare tale oggetto (perlomeno nel caso di due soli spazi: generalizzare è ovvio) è il quoziente di $K^{V_1\times V_2}$ per la relazione che rende bilineare la mappa ovvia $t : V_1\times V_2 \to K^{V_1\times V_2}$. Data l'azione di $t$, queste relazioni sono
1. $(v+v',w)=(v,w)+(v',w)$ e una analoga per una somma $w+w'$, per ogni $v,v'\in V_1$ e $w,w'\in V_2$
2. $(av,w) = (v,aw)=a(v,w)$ per ogni $v\in V_1, w\in V_2,a\in K$.
E' evidente che $t$ è bilineare. E' evidente che $t$ realizza la proprietà universale per precomposizione, dandoti l'isomorfismo
\[
\hom(V_1\otimes V_2, W)\cong \text{bil}(V_1\times V_2, W)
\] Nomina una qualsiasi proprietà formale di un prodotto tensoriale: essa discende da questo isomorfismo.
Ti faccio degli esempi (cambio i nomi degli spazi per scrivere piu in fretta).
Vuoi dimostrare che il prodotto tensoriale è commutativo?
\[
\begin{align*}
\hom(V\otimes W,U) & \cong \text{bil}(V\times W,U)\\
& \cong \text{bil}(W\times V,U)\\
&\cong \hom(W\otimes V,U)
\end{align*}
\] lemma di Yoneda, QED.
Vuoi dimostrare che il prodotto tensoriale è associativo?
\[
\begin{align*}
\hom(V\otimes(W\otimes Z), U) &\cong \text{bil}(W\times Z, {\bf hom}(V, U))\\
&\cong \text{bil}(W\times V, {\bf hom}(Z,U))\\
&\cong \text{bil}((V\otimes W)\times Z, U)\\
&\cong \hom((V\otimes W)\otimes Z, U)
\end{align*}
\] lemma di Yoneda, QED.
Vuoi dimostrare che il prodotto tensoriale ha $K$ (il campo di base, guardato come spazio vettoriale su sé stesso) come elemento neutro?
\[
\hom(V\otimes K, U)\cong \hom(V, {\bf hom}(K,W))\cong \hom(V, W)
\] perché $\hom(K,W)\cong W$ con un isomorfismo esplicito che ti invito a scrivere. Ora, lemma di Yoneda, QED.
Vuoi dimostrare che \(V^\lor\otimes W\cong\hom(V,W)\) (che è quello che chiedi nel tuo post iniziale)? Prima dimostra che il duale di un prodotto tensoriale è il prodotto tensoriale dei duali; poi
\[
V^\lor\otimes W \cong (V\otimes W^\lor)^\lor \cong \hom(V\otimes W^\lor,K)\cong \hom(V, W^{\lor\lor})\cong \hom(V,W)
\] QED.
Vuoi dimostrare che il prodotto tensoriale è commutativo?
\[
\begin{align*}
\hom(V\otimes W,U) & \cong \text{bil}(V\times W,U)\\
& \cong \text{bil}(W\times V,U)\\
&\cong \hom(W\otimes V,U)
\end{align*}
\] lemma di Yoneda, QED.
Vuoi dimostrare che il prodotto tensoriale è associativo?
\[
\begin{align*}
\hom(V\otimes(W\otimes Z), U) &\cong \text{bil}(W\times Z, {\bf hom}(V, U))\\
&\cong \text{bil}(W\times V, {\bf hom}(Z,U))\\
&\cong \text{bil}((V\otimes W)\times Z, U)\\
&\cong \hom((V\otimes W)\otimes Z, U)
\end{align*}
\] lemma di Yoneda, QED.
Vuoi dimostrare che il prodotto tensoriale ha $K$ (il campo di base, guardato come spazio vettoriale su sé stesso) come elemento neutro?
\[
\hom(V\otimes K, U)\cong \hom(V, {\bf hom}(K,W))\cong \hom(V, W)
\] perché $\hom(K,W)\cong W$ con un isomorfismo esplicito che ti invito a scrivere. Ora, lemma di Yoneda, QED.
Vuoi dimostrare che \(V^\lor\otimes W\cong\hom(V,W)\) (che è quello che chiedi nel tuo post iniziale)? Prima dimostra che il duale di un prodotto tensoriale è il prodotto tensoriale dei duali; poi
\[
V^\lor\otimes W \cong (V\otimes W^\lor)^\lor \cong \hom(V\otimes W^\lor,K)\cong \hom(V, W^{\lor\lor})\cong \hom(V,W)
\] QED.
Scusa fmnq ma non mi hai fatto alcun accenno alla contrazione... Come potrei mai cercare di capire quello che hai scritto e rapportarlo con quanto io volessi sapere?
Inoltre perché mai la mia domanda non dovrebbe avere senso? Un isomorfismo è una mappa lineare tra due spazi che possono si' contenere elementi diversi ma che legano strutture algebriche uguali... Questo significa che se il mio libro mi dice che
allora l'applicazione che abbiamo definito deve legare 4 elementi linearmente indipendenti dello spazio $mathfrak(L)_q^p(mathbb(V))$ con altrettanti elementi dell'immagine dell'applicazione $mathfrak(J)_C(L)$.
Per esempio ad ogni vettore base di uno spazio vettoriale (finito dimensionale) possiamo associare il suo funzionale in modo che questi due spazi possano essere legati da un isomorfismo. D'altronde è risaputo che uno spazio vettoriale finito dimensionale è isomorfo al suo duale.
Allo stesso modo mi chiedevo quali fossero gli elementi dell'immagine dell'applicazione $mathfrak(J)_C$ quando scomponiamo il tensore $L$ (che supponiamo per semplicità di ordine $(1,1)$ ) nelle sue quattro rappresentazioni di base:$L=L_i^j*vec(e)^i ox vec(e)_j$ avendo così $mathfrak(J)_C(L)=mathfrak(J)_C(L_i^j*vec(e)^i ox vec(e)_j)$ e ,utilizzando la proprietà di fattorizzazione universale, valutando l'azione degli omomorfismi $Hom[mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p)),mathfrak(L)_(q-bar(q))^(p-bar(p)) ]$ su un tensore $M in mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p))$ : $(mathfrak(J)_C(L))circ(M)=mathfrak(J)_C(L_i^j*vec(e)^i ox vec(e)_j)(M)=C[(L_i^j*vec(e)^i ox vec(e)_j)oxM]=C[(L_1^1*vec(e)^1 ox vec(e)_1)oxM]+C[(L_2^1*vec(e)^2 ox vec(e)_1)oxM]+C[(L_1^2*vec(e)^1 ox vec(e)_2)oxM]+C[(L_2^2*vec(e)^2 ox vec(e)_2)oxM]=L_1^1*mathfrak(J)_C(vec(e)^1 ox vec(e)_1)(M)+L_2^1*mathfrak(J)_C(vec(e)^2 ox vec(e)_1)(M)+L_1^2*mathfrak(J)_C(vec(e)^1 ox vec(e)_2)(M)+L_2^2*mathfrak(J)_C(vec(e)^2 ox vec(e)_2)(M) $
Inoltre perché mai la mia domanda non dovrebbe avere senso? Un isomorfismo è una mappa lineare tra due spazi che possono si' contenere elementi diversi ma che legano strutture algebriche uguali... Questo significa che se il mio libro mi dice che
"Boomerang":
[DEFINIZIONE] Delineata la struttura della classe $mathcal(C)$ introduciamo una classe di applicazioni lineari ad essa legate.
Scelti quattro interi $p,q,bar(p),bar(q)$ sottoposti alle limitazioni di cui sopra, sia $mathcal(J)-(p,bar(p)),(q,bar(q))$ la classe di applicazioni:
$mathfrak(J)_C : \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V)) -> (Hom)[\mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p))(mathbb(V)),\mathfrak(L)_(q-bar(q))^(p-bar(p))(mathbb(V))]$ definite dalla: $(mathfrak(J)_C L)M:=C(L ox M)$ per ogni $L in \mathfrak(L)_q^p(mathbb(V))$ e per ogni $ M in \mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p))(mathbb(V))$, al variare di $C in mathcal(C)$.
Risulta allora:
[TEO] Tutte le applicazioni $mathfrak(J)_C in mathcal(J)-(p,bar(p)),(q,bar(q))$ di cui alla definizione precedente sono isomorfismi.
allora l'applicazione che abbiamo definito deve legare 4 elementi linearmente indipendenti dello spazio $mathfrak(L)_q^p(mathbb(V))$ con altrettanti elementi dell'immagine dell'applicazione $mathfrak(J)_C(L)$.
Per esempio ad ogni vettore base di uno spazio vettoriale (finito dimensionale) possiamo associare il suo funzionale in modo che questi due spazi possano essere legati da un isomorfismo. D'altronde è risaputo che uno spazio vettoriale finito dimensionale è isomorfo al suo duale.
Allo stesso modo mi chiedevo quali fossero gli elementi dell'immagine dell'applicazione $mathfrak(J)_C$ quando scomponiamo il tensore $L$ (che supponiamo per semplicità di ordine $(1,1)$ ) nelle sue quattro rappresentazioni di base:$L=L_i^j*vec(e)^i ox vec(e)_j$ avendo così $mathfrak(J)_C(L)=mathfrak(J)_C(L_i^j*vec(e)^i ox vec(e)_j)$ e ,utilizzando la proprietà di fattorizzazione universale, valutando l'azione degli omomorfismi $Hom[mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p)),mathfrak(L)_(q-bar(q))^(p-bar(p)) ]$ su un tensore $M in mathfrak(L)_(bar(q))^(bar(p))$ : $(mathfrak(J)_C(L))circ(M)=mathfrak(J)_C(L_i^j*vec(e)^i ox vec(e)_j)(M)=C[(L_i^j*vec(e)^i ox vec(e)_j)oxM]=C[(L_1^1*vec(e)^1 ox vec(e)_1)oxM]+C[(L_2^1*vec(e)^2 ox vec(e)_1)oxM]+C[(L_1^2*vec(e)^1 ox vec(e)_2)oxM]+C[(L_2^2*vec(e)^2 ox vec(e)_2)oxM]=L_1^1*mathfrak(J)_C(vec(e)^1 ox vec(e)_1)(M)+L_2^1*mathfrak(J)_C(vec(e)^2 ox vec(e)_1)(M)+L_1^2*mathfrak(J)_C(vec(e)^1 ox vec(e)_2)(M)+L_2^2*mathfrak(J)_C(vec(e)^2 ox vec(e)_2)(M) $
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Elementi di algebra tensoriale con applicazione alla meccanica dei solidi
Se vuoi capire come funzionano i tensori, usandoli in calcoli concreti, non puoi fare a meno di considerarli come oggetti a indici, con buona pace di fmnq e delle sue proprietà universali. Proprio stamattina assistevo a un seminario su degli sviluppi recenti sulla matematica della relatività generale (qui c'è qualcosa di strettamente relazionato), e lo speaker non ha parlato neanche una volta di categorie, mentre ha usato continuamente indici e coordinate in tutte le salse. Qui rispondo a fmnq quando dice
Un tensore di tipo (1,1) è un oggetto con un indice alto ed uno basso: \(T^i_j\). Ha due indici, proprio come le matrici. Se interpretiamo i vettori come oggetti con un solo indice alto, allora \(T^i_j\) può essere considerato come una applicazione:
\[
v^i\mapsto T^i_jv^j.\]
Chiaramente questa applicazione è lineare. Ecco qua l'isomorfismo tra i tensori di tipo \((1,1)\) e le applicazioni lineari. Non è altro che il solito vecchio isomorfismo tra matrici e applicazioni lineari, riscritto in una nuova veste grafica.
mi sembra sufficiente parlare di matematica successiva al 1960, o con un linguaggio successivo al 1960
Un tensore di tipo (1,1) è un oggetto con un indice alto ed uno basso: \(T^i_j\). Ha due indici, proprio come le matrici. Se interpretiamo i vettori come oggetti con un solo indice alto, allora \(T^i_j\) può essere considerato come una applicazione:
\[
v^i\mapsto T^i_jv^j.\]
Chiaramente questa applicazione è lineare. Ecco qua l'isomorfismo tra i tensori di tipo \((1,1)\) e le applicazioni lineari. Non è altro che il solito vecchio isomorfismo tra matrici e applicazioni lineari, riscritto in una nuova veste grafica.
Personalmente ogni volta che vedo la notazione di Einstein e l'uso massiccio degli indici è molto probabile che debba leggere 20 volte la frase per capirci qualcosa. Le notazioni categoriali alle volte sembrano un po' troppo astratte però sono al contempo molto potenti. Detto questo, anche senza andare a livelli puramente astratti, trovo che l'introduzione all'argomento del libro sia fatto davvero male.
In particolare trovo che il modo più sensato di descrivere la contrazione \(\displaystyle C^i_j\colon T_p^q(\mathbb{R})\to T_{p-1}^{q-1}(\mathbb{R}) \) di tipo \(\binom{i}{j}\) su \(\displaystyle T_p^q(\mathbb{R}) \) sia di descriverla usando la sua azione sugli elementi decomponibili ed estendere per linearità. Ovvero \begin{align*} C^i_j\colon v_1\otimes\dotsm\otimes v_p\otimes \omega^1\otimes \dotsm\otimes \omega^q &\mapsto \langle v_i,\omega_j\rangle\, v_1\otimes\dotsm\otimes \widehat{v_i} \otimes\dotsm\otimes v_p\otimes \omega^1\otimes \dotsm\otimes \widehat{\omega^j} \otimes\dotsm\otimes \omega^q \\ &\mapsto \omega_j(v_i) v_1\,\otimes\dotsm\otimes \widehat{v_i} \otimes\dotsm\otimes v_p\otimes \omega^1\otimes \dotsm\otimes \widehat{\omega^j} \otimes\dotsm\otimes \omega^q\;. \end{align*}
Ovviamente la contrazione \(C^1_1\) di tipo \(\binom{1}{1}\) su \(\displaystyle T_1^1(\mathbb{R}) \) è semplicemente il pairing tra i due spazi.
Una contrazione esterna non è altro che una contrazione interna dello spazio tensoriale del prodotto in cui aggiungi qualche condizione sugli indici. Ora, esiste una sola contrazione esterna tra gli spazi \(\displaystyle T_1^1(\mathbb{R}) \) e \(\displaystyle T^1(\mathbb{R}) \) ovvero \(\displaystyle C\colon (v\otimes \omega)\otimes u \mapsto \langle u, \omega \rangle\,v \) (anche in questo caso va esteso usando per linearità). Per vedere il nesso con le matrici è ovviamente più semplice passare in coordinate anche se il punto focale è capire come sia fatto \(\displaystyle \Bigl(\sum_{i=1}^{s} v_i\otimes \omega^i\Bigr)\otimes \Bigl(\sum_{j=1}^{t} u_j\Bigr) \) come somma di tensori decomponibili.
In particolare trovo che il modo più sensato di descrivere la contrazione \(\displaystyle C^i_j\colon T_p^q(\mathbb{R})\to T_{p-1}^{q-1}(\mathbb{R}) \) di tipo \(\binom{i}{j}\) su \(\displaystyle T_p^q(\mathbb{R}) \) sia di descriverla usando la sua azione sugli elementi decomponibili ed estendere per linearità. Ovvero \begin{align*} C^i_j\colon v_1\otimes\dotsm\otimes v_p\otimes \omega^1\otimes \dotsm\otimes \omega^q &\mapsto \langle v_i,\omega_j\rangle\, v_1\otimes\dotsm\otimes \widehat{v_i} \otimes\dotsm\otimes v_p\otimes \omega^1\otimes \dotsm\otimes \widehat{\omega^j} \otimes\dotsm\otimes \omega^q \\ &\mapsto \omega_j(v_i) v_1\,\otimes\dotsm\otimes \widehat{v_i} \otimes\dotsm\otimes v_p\otimes \omega^1\otimes \dotsm\otimes \widehat{\omega^j} \otimes\dotsm\otimes \omega^q\;. \end{align*}
Ovviamente la contrazione \(C^1_1\) di tipo \(\binom{1}{1}\) su \(\displaystyle T_1^1(\mathbb{R}) \) è semplicemente il pairing tra i due spazi.
Una contrazione esterna non è altro che una contrazione interna dello spazio tensoriale del prodotto in cui aggiungi qualche condizione sugli indici. Ora, esiste una sola contrazione esterna tra gli spazi \(\displaystyle T_1^1(\mathbb{R}) \) e \(\displaystyle T^1(\mathbb{R}) \) ovvero \(\displaystyle C\colon (v\otimes \omega)\otimes u \mapsto \langle u, \omega \rangle\,v \) (anche in questo caso va esteso usando per linearità). Per vedere il nesso con le matrici è ovviamente più semplice passare in coordinate anche se il punto focale è capire come sia fatto \(\displaystyle \Bigl(\sum_{i=1}^{s} v_i\otimes \omega^i\Bigr)\otimes \Bigl(\sum_{j=1}^{t} u_j\Bigr) \) come somma di tensori decomponibili.
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