Contrazione
Cos'è una contrazione? E cosa vuol dire che una funzione è una contrazione di un insieme in sé?
Risposte
Consideriamo 2 spazi di Banach $X$ ,$Y$ ; sia assegnata una legge che ad ogni elemento $ x in X $ associ un elemento $ y in Y $ .
Si è così definita una trasformazione f ( o applicazione ) di $X $ in $Y $ e si scriverà : $ y = f(x) $ oppure $ f: X rarr Y $ .
Una trasformazione $f $ di $ X$ in $Y$ è detta Lipschitziana se si ha che
$||f(x_1) -f(x_2) ||_Y <= lambda*|| x_2 -x_1 ||_X $ . $lambda in RR , > 0 $ per ogni coppia di punti $x_1,x_2 in X$.
La interpretazione geoemtrica dice che , in una trasformazione lipschitziana , i punti trasformati $ f(x_1), f(x_2 ) $ hanno tra di loro distanza che non supera quella tra i punti iniziali $x_1,x_2 $ moltiplicata per $ lambda$.
Se risulta $ lambda < 1 $ la trasformazione f è detta contrazione . In tal caso la distanza tra i punti trasformati è minore della distanza tra i punti da cui provengono .
Consideriamo il caso in cui $X = Y $ ; inoltre sia , in questo caso , f una trasformazione definita in $ X $ tale che muti un insieme $U sub X $ in sè.
Può avvenira allora che che un elemento $ vec x in U $ venga trasformato in se stesso, cioè che si abbia
$ vec x = f( vec x ) $ .
Se ciò avviene , $ vec x $ si dice punto unito o punto fisso della trasformazione f .
Nel caso in cui la trasformazione sia una contrazione , si può dimostrare, sotto opportune ipotesi, l'esistenza e l'unicità del punto unito.
Vale il seguente teorema :
Sia $U $ un insieme chiuso appartenenete ad uno spazio di Banach $X$ ; sia inoltre $ y = f(x) $ una contrazione che trasforma $ U$ in sè $(f(U)) sube U$.
Allora l'equazione $ x = f(x) $ ammette una e una sola soluzione $ vec x in U $ .
La soluzione $ vec x $ si può ottenere con la formula iterativa
$x_(n+1) = f(x_n ) $,con $ x_0 in U $
in quanto la successione $x_n $ data dalla formula precedente converge , nella norma di $X $ alla soluzione $vec x $ .
Si è così definita una trasformazione f ( o applicazione ) di $X $ in $Y $ e si scriverà : $ y = f(x) $ oppure $ f: X rarr Y $ .
Una trasformazione $f $ di $ X$ in $Y$ è detta Lipschitziana se si ha che
$||f(x_1) -f(x_2) ||_Y <= lambda*|| x_2 -x_1 ||_X $ . $lambda in RR , > 0 $ per ogni coppia di punti $x_1,x_2 in X$.
La interpretazione geoemtrica dice che , in una trasformazione lipschitziana , i punti trasformati $ f(x_1), f(x_2 ) $ hanno tra di loro distanza che non supera quella tra i punti iniziali $x_1,x_2 $ moltiplicata per $ lambda$.
Se risulta $ lambda < 1 $ la trasformazione f è detta contrazione . In tal caso la distanza tra i punti trasformati è minore della distanza tra i punti da cui provengono .
Consideriamo il caso in cui $X = Y $ ; inoltre sia , in questo caso , f una trasformazione definita in $ X $ tale che muti un insieme $U sub X $ in sè.
Può avvenira allora che che un elemento $ vec x in U $ venga trasformato in se stesso, cioè che si abbia
$ vec x = f( vec x ) $ .
Se ciò avviene , $ vec x $ si dice punto unito o punto fisso della trasformazione f .
Nel caso in cui la trasformazione sia una contrazione , si può dimostrare, sotto opportune ipotesi, l'esistenza e l'unicità del punto unito.
Vale il seguente teorema :
Sia $U $ un insieme chiuso appartenenete ad uno spazio di Banach $X$ ; sia inoltre $ y = f(x) $ una contrazione che trasforma $ U$ in sè $(f(U)) sube U$.
Allora l'equazione $ x = f(x) $ ammette una e una sola soluzione $ vec x in U $ .
La soluzione $ vec x $ si può ottenere con la formula iterativa
$x_(n+1) = f(x_n ) $,con $ x_0 in U $
in quanto la successione $x_n $ data dalla formula precedente converge , nella norma di $X $ alla soluzione $vec x $ .
Molto bene. In sostanza una contrazione è una funzione lipschitziana con costante minore di $1$.
Un unico dubbio: perché hai parlato all'inizio di spazi di Banach? La lipschitzianità si può definire anche partendo solo dal concetto di metrica; gli spazi di Banach invece richiedono anche il concetto di norma e di completezza.
Ordunque, la definizione di contrazione vale solo per spazi di Banach oppure si può estendere a qualunque spazio metrico?
Un unico dubbio: perché hai parlato all'inizio di spazi di Banach? La lipschitzianità si può definire anche partendo solo dal concetto di metrica; gli spazi di Banach invece richiedono anche il concetto di norma e di completezza.
Ordunque, la definizione di contrazione vale solo per spazi di Banach oppure si può estendere a qualunque spazio metrico?
Credo che la risposta alla tua domanda stia nell'ultima riga che ho appena aggiunto.
Intuitivamente, è una funzione che non aumenta le distanze, e le controlla con un fattore costante tra 0 e 1.
Mi hai letto nel pensiero 
In effetti la curiosità sulla definizione di "contrazione" mi è venuta quando, per caso, ho letto in certi appunti:
Fondamentale è il seguente teorema di Banach-Caccioppoli, o delle contrazioni.
TEOREMA 1.8. Ogni contrazione di uno spazio metrico completo in sé ha un unico punto fisso, che si ottiene mediante il procedimento delle approssimazioni successive.
Nel testo parla di completezza, ok. Non parla però di norma. Magari se si è in uno spazio di Banach vale qualche risultato più specifico?
In effetti la curiosità sulla definizione di "contrazione" mi è venuta quando, per caso, ho letto in certi appunti:
Fondamentale è il seguente teorema di Banach-Caccioppoli, o delle contrazioni.
TEOREMA 1.8. Ogni contrazione di uno spazio metrico completo in sé ha un unico punto fisso, che si ottiene mediante il procedimento delle approssimazioni successive.
Nel testo parla di completezza, ok. Non parla però di norma. Magari se si è in uno spazio di Banach vale qualche risultato più specifico?
funge anche su uno spazio metrico, l'importante è che sia completo
la necessità della completezza è ovvia: si ha una successione di Cauchy e quindi senza completezza nisba
la strada è comunque come quella indicata da Camillo
aggiungo che spesso capita di lavorare su spazi di Banach (o capita agli analisti...)
la necessità della completezza è ovvia: si ha una successione di Cauchy e quindi senza completezza nisba
la strada è comunque come quella indicata da Camillo
aggiungo che spesso capita di lavorare su spazi di Banach (o capita agli analisti...)
Perfetto. Grazie a tutti quelli che hanno contribuito.
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