Contrattile $=>$ connesso p. a.

[nato_pigro1]

Provare che uno spazio contrattile è connesso per archi.

Per assurdo non riesco, serve costruire l'arco ma non riesco...

[fu^2]

se lo conosci, ragiona con il funtore $\pi_0$ (la funzione che conta le componenti connesse p.a.), guardando come si comporta su spazi omotopi tra loro.

Oppure (che è una trascrizione della prima frase) per assurdo prova a vedere che uno spazio che ha due componenti connesse p.a. non può essere omotopo a un punto...

[apatriarca]

Che definizione dai di spazio contrattile? Perché io ho sempre visto richiedere che lo spazio fosse connesso per archi.

[nato_pigro1]

"apatriarca":Che definizione dai di spazio contrattile? Perché io ho sempre visto richiedere che lo spazio fosse connesso per archi.

uno spazio è contrattile se è omotopicamente equivalente a un punto.

[nato_pigro1]

"fu^2":se lo conosci, ragiona con il funtore $\pi_0$ (la funzione che conta le componenti connesse p.a.), guardando come si comporta su spazi omotopi tra loro.

non lo conosco (ancora)

"fu^2":Oppure (che è una trascrizione della prima frase) per assurdo prova a vedere che uno spazio che ha due componenti connesse p.a. non può essere omotopo a un punto...

Credo che il mio problema alla base sia che non riesco bene a visualizzarle queste omotopie, in questo caso credo di intravedere l'assurdo ma non so come procedere.

[apatriarca]

Ma cosa significa che è omotopicamente equivalente ad un punto?

[fu^2]

Come dice apatriarca, il sugo è che se prenderai l'omotopia $H$ che colleghera la composizione e l'identità, fissando $x\in X$ cosa divente $H(x,t)$ se non un cammino?...

(perchè? sempre questo? L'omotopa tra cos'è?...)

[nato_pigro1]

"apatriarca":Ma cosa significa che è omotopicamente equivalente ad un punto?

che esistono $f:X->{*}$ e $g:{*}->X$ continue tali che le loro composizioni sono omotopicamente equivalenti alle rispettive identità.

@ fu^2, credo di aver capito, ma con cammino intendi arco? Inoltre, la variabile $t$ di $H$ mi rappresenta il "tempo" che trasforma $g°f$ con l'identità, come faccio a farlo diventare la variabile dell'arco?

P.S.: secondo voi qui wikipedia non è un po' fuorviante?
http://it.wikipedia.org/wiki/Omotopia

mi riferisco al disegno tazza -> ciambella, quello è più in particolare un omomorfismo...

[apatriarca]

Ma considera a questo punto l'omotopia $H$ tra queste due funzioni. $h(t) = H(x_0, t)$, con $x_0$ fissato è una funzione continua da $[0,1]$ a $X$ con $h(0) = x_0$ e $h(1) = *$ e quindi è un arco in $X$ tra un punto qualsiasi $x_0$ e un punto fisso $*$.

[fu^2]

si cammino intendo arco (path ) comunque, come dice apatriarca [tex]H:I\times X\to X[/tex] quindi [tex]h(t)=H(x_0,t):I\to X[/tex] è tale che [tex]h(0)=H(x_0,0)=1_X(x_0)=x_0[/tex] e [tex]h(1)=H(x_0,1)=g\circf(x_0)=p[/tex] con $p$ fissato in $X$. Quindi $h$ è un cammino tra $p$ e $x_0$. Questo lo puoi fare per ogni $x_0\in X$ per quanto detto nel post precedente.

Nota che se [tex]H:I\times X\to Y[/tex] è una generica omotopia con [tex]H(x_0,0)=f(x_0),H(x_0,1)=g(x_0)[/tex] allora la funzione [tex]h(t)=H(x_0,t):I\to Y[/tex] è un cammino in $Y$ che unisce il punto $f(x_0)$ con il punto $g(x_0)$.

Allaccia questa nota di ora al mio post precedente e dovresti avere un quqadro completo, hai capito ora?

[Fioravante Patrone1]

"nato_pigro":P.S.: secondo voi qui wikipedia non è un po' fuorviante?
http://it.wikipedia.org/wiki/Omotopia

mi riferisco al disegno tazza -> ciambella, quello è più in particolare un omomorfismo...

spezzo una lancetta a favore di wiki: quella figura descrive proprio una deformazione continua, parametrizzata con la variabile temporale; tra l'altro, penso che tu volessi dire omeomorfismo, e comunque riguarda solo la corrispondenza tra la superficie iniziale e quella finale