Continuità per successioni
Ciao, amici! La continuità di un'applicazione $f:X\to Y$ in $x_0$, definita dal fatto che \(\forall U\in\mathcal{N}(f(x_0))\) \(\exists V\in\mathcal{N}(x_0):f(V)\subset U \) (dove \(\mathcal{N}(x)\) è la famiglia di tutti gli intorni di $x$) è equivalente, nel caso di $X$ e $Y$ spazi metrici, al fatto che per ogni successione \(\{x_n\}\) convergente a $x_0$ si abbia \(\lim_n f(x_n)=f(x_0)\).
Quest'equivalenza vale per classi più generali di spazi topologici?
$\infty$ grazie!!!
Quest'equivalenza vale per classi più generali di spazi topologici?
$\infty$ grazie!!!
Risposte
Andando a memoria, dovrebbe valere in tutti gli spazi di Hausdorff. Se ricordo bene la dimostrazione di quella proposizione, l'unica cosa importante è che il limite sia ben definito. Attendi verifiche per avere la certezza, ma ne sono abbastanza convinto.
La proprietà \(\displaystyle\mathrm{T}_2\) assicura solo l'unicità del limite; la proprietà giusta è \(\displaystyle\mathrm{N}_1\)!
Ne ho scritto più volte nel forum, se fai una ricerca...
Ne ho scritto più volte nel forum, se fai una ricerca...
Quindi sia dominio sia codominio $T_2$ e soddisfacenti il primo assioma di numerabilità?
@Armando: non riesco a trovare nulla: ricordi mica qualche titolo di post in cui se ne parla?
$\infty$ grazie!
@Armando: non riesco a trovare nulla: ricordi mica qualche titolo di post in cui se ne parla?
$\infty$ grazie!
Veramente basta solo la proprietà \(\displaystyle\mathrm{N}_1\)...
Ho trovato diverse discussione in cui uso questa proprietà, ma non una specifica!
Prova a consultare un libro di topologia, dovrebbe bastarti.
Ho trovato diverse discussione in cui uso questa proprietà, ma non una specifica!
Prova a consultare un libro di topologia, dovrebbe bastarti.
Ha ragione j18eos, addirittura è importante solo che il dominio sia \({\rm N}_1\), per il codominio non servono ipotesi particolari (se non quella di essere spazio topologico). Mi scuso per l'imprecisione, non sarei dovuto andare a memoria.
Per la necessità non servono ipotesi particolari né sul dominio né sul codominio (se non quella di essere spazi topologici).
Che il dominio sia \({\rm N}_1\) è indispensabile per portare avanti la dimostrazione della sufficienza.
Per la necessità non servono ipotesi particolari né sul dominio né sul codominio (se non quella di essere spazi topologici).
Che il dominio sia \({\rm N}_1\) è indispensabile per portare avanti la dimostrazione della sufficienza.
"Epimenide93":Ma figurati, negli spazi metrici si usano così tante proprietà topologiche "ovvie" che nessuno\a ci fa più caso.
...Mi scuso per l'imprecisione, non sarei dovuto andare a memoria...
Grazie di cuore, ragazzi!!!
@Epimenide93: che belle dimostrazioni! Non conoscevo \(\tilde{\mathbb{N}}\), che direi sia lo spazio dei numeri naturali in cui gli aperti sono \(\mathbb{N},\emptyset\) e tutti gli insiemi della forma \(\{N,N+1,...\}\), ma lo trovo uno spazio molto affascinante, per esempio in relazione alla continuità delle successioni in esso.
@Epimenide93: che belle dimostrazioni! Non conoscevo \(\tilde{\mathbb{N}}\), che direi sia lo spazio dei numeri naturali in cui gli aperti sono \(\mathbb{N},\emptyset\) e tutti gli insiemi della forma \(\{N,N+1,...\}\), ma lo trovo uno spazio molto affascinante, per esempio in relazione alla continuità delle successioni in esso.
"DavideGenova":
...e tutti gli insiemi della forma \(\{N,N+1,...,+\infty\}\)...
Per definizione \(\displaystyle\infty\in\widetilde{\mathbb{N}}=\widehat{\mathbb{N}}=\overline{\mathbb{N}}\) (a secondo delle notazioni... Io preferisco la seconda, oltre che essere storicamente legata al concetto di "punto all'infinito" della geometria proiettiva.)
Grazie ancora!!!!!
Pardonnez-moi, ho dato per scontata una cosa che non lo è affatto. Con \(\widetilde{\mathbb{N}}\) indico la compattificazione di Alexandrov di \(\mathbb{N}\). Come hai ben intuito gli insiemi del tipo \(\{N,N+1, \ldots\}\) sono aperti in questo spazio e come ha detto anche j18eos si ha che \(\infty \in \widetilde{\mathbb{N}}\), ed anche gli insiemi del tipo \(\{N,N+1, \ldots , \infty \}\) (intorni di \(\infty\)) sono aperti. Si ha che \(\infty\) è l'unico punto di accumulazione di questo spazio e che \(\{\infty\}\) è l'unico singoletto non aperto. Purtroppo si tende a mettere poco in evidenza il fatto che le successioni convergenti possono anche essere viste come le applicazioni continue aventi come dominio \(\widetilde{\mathbb{N}}\).
Tra l'altro mentre scrivevo questo commento mi sono reso conto di aver commesso un'ingenuità nella dimostrazione della necessità. Dal momento che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(n) = f(\infty) \) l'identificazione tra successioni convergenti e applicazioni da \(\widetilde{\mathbb{N}}\) si può considerare solo se il limite è univoco, altrimenti la funzione non è ben definita. La sostanza della dimostrazione rimane la stessa, e si può facilmente adattare al caso generale (spendendo qualche parola in più), ma formalmente quello che ho scritto vale solo nel caso in cui \(E\) ed \(F\) sono spazi di Hausdorff.
Tra l'altro mentre scrivevo questo commento mi sono reso conto di aver commesso un'ingenuità nella dimostrazione della necessità. Dal momento che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(n) = f(\infty) \) l'identificazione tra successioni convergenti e applicazioni da \(\widetilde{\mathbb{N}}\) si può considerare solo se il limite è univoco, altrimenti la funzione non è ben definita. La sostanza della dimostrazione rimane la stessa, e si può facilmente adattare al caso generale (spendendo qualche parola in più), ma formalmente quello che ho scritto vale solo nel caso in cui \(E\) ed \(F\) sono spazi di Hausdorff.
Bello bello... Grazie per la precisazione!!!
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