Continuità e chiusi

[nato_pigro1]

$f:X->Y$ applicazione, provare che $f$ è continua su $X$ $<=> AA A sube X, f(\bar A) sube \bar(f(A))$

non avendo in ipotesi che $f$ è invertibile ho difficoltà...

[miuemia]

Allora vediamo se ti garba questo ragionamento: visto che $f$ è continua hai che $f^{-1}(\bar{f(A)})$ è un chiuso che contiene $A$ e dunque $\bar A\subset f^{-1}(\bar{f(A)})$.

[Studente Anonimo]

@miuemia: la parte "interessante" e' il viceversa, cioe' partire dall'ipotesi che $f(bar(A)) subseteq bar(f(A))$ e dedurre che $f$ e' continua.

Io osserverei innanzitutto che basta mostrare che se $B$ e' un chiuso di $Y$ allora $f^{-1}(B)$ e' un chiuso di $X$ (perche' $f^{-1}(Y-B)=X-f^{-1}(B)$).

Ora detto $A=f^{-1}(B)$ basta provare che $A$ e' chiuso, ovvero $A=bar(A)$, ovvero $bar(A) subseteq A$. Cominciamo dunque a scrivere

$bar(A) subseteq f^{-1}(f(bar(A))) subseteq ...$

[miuemia]

non sapevo valesse il viceversa. grazie. ti garba?

sia $A=f^{-1}C$ con $C\subset Y$ chiuso allora ho che

$f(\bar{f^{-1}(C)})\subset \bar{f(f^{-1}(C))}=\bar C=C$ quindi $\bar{f^{-1}(C)}\subset f^{-1}(C)$ come volevasi.

[Alexp1]

Ciao a tutti,
mi sfugge un passaggio....

perchè se dici

"miuemia":

$f(\bar{f^{-1}(C)})\subset \bar{f(f^{-1}(C))}=\bar C=C$ .

il simbolo $\subset$ non è di inclusione stretta? perchè poi poni $\barC=C$ non dovrebbe essere $\barC\subsetC$?

[miuemia]

e no $C$ è chiuso per ipotesi e quindi coincide con la sua chiususra!

[Alexp1]

Ahh ecco, era nell'ipotesi iniziale, mi era sfuggita... Thanks!