[Continua] Forme bilineari: sono sempre surgettive?
Proseguo dal topic https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 62470.html che stava andando molto OT.
Con molto piacere (ho sempre paura di essere arrugginito con l'estate, anche se ho sempre studiato
)
Comunque, io direi che è vero quanto dici. E la dimostrazione è a grandi linee quella di cui parli tu. In effetti, consideriamo una forma bilineare non nulla $phi: V times V to RR$ con $V$ di dimensione $n$ e con $phi: (\barx,\bary) \mapsto phi(\barx,\bary)$. Se fisso un argomento (sia esso $x$) ho una forma lineare $f_x: V to RR$ che è associata a una matrice (fissate due basi in $V$ e in $RR$) $1 times n$.
La dimensione dell'immagine è il rango di questa matrice, dunque o 0 o 1. E' zero sse ho la forma lineare nulla; è 1 altrimenti; d'altra parte, però, $RR$ è un $RR$-spazio vettoriale di dimensione 1 quindi abbiamo che $"im"f_x=RR$.
Si conclude dicendo (l'hai già fatto tu comunque) che, essendo la forma bilineare non nulla, fissando uno dei due argomenti, almeno una delle due forme lineari è non nulla.
P.S. C'è solo da sistemare una cosetta, ora che ci penso, a proposito del campo degli scalari: se siamo in $CC$ la cosa puzza... $CC$ non ha dimensione 2 su $RR$? Però come sono definite le forme lineari su $CC$? Devo pensarci...[/quote]
Ci ho pensato un po' anche io e devo dire che la faccenda è parecchio più semplice e non richiede nessuna ipotesi di dimensione finita né di avere spazi vettoriali reali. Generalizzazione non vuota: per esempio prendiamo un numero primo $p$, il campo $K=ZZ/{pZZ}$, lo spazio vettoriale $V=K[x]$; abbiamo la forma bilineare
$\langle a_0+a_1x+...+a_nx^n, b_0+b_1x+...+b_mx^m \rangle={(a_0b_0+...+a_nb_n, n<=m), (a_0b_0+...+a_mb_m, n>=m):}$
che mi pare un peccato lasciare fuori dalla porta solo perché non è reale e non è definita in uno spazio di dimensione finita!
La proposizione è molto semplice.
Proposizione Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ e $\langle, \rangle$ una forma bilineare non nulla. Allora $\langle, \rangle$ è surgettiva.
Dimostrazione. Essendo $\langle, \rangle$ non nulla esistono $v, w\inV$ tali che $\langle v,w \rangle !=0$. In un campo gli elementi non nulli sono invertibili quindi ha senso definire $bar{v}=(\langle v,w \rangle)^{-1}v$: risulta allora che $\langle bar{v}, w \rangle=1$.
Per ogni $\lambda\in K$ è $\langle \lambda \bar{v}, w \rangle= \lambda$, quindi $\langle, \rangle$ è surgettiva. ////
Quindi era molto più banale di come l'avevamo messa nell'altro topic. Morale della favola: certe volte, l'ipotesi di essere in spazi di dimensione finita non serve e rende complicate le cose semplici!!!
Questo è un fatto di cui mi ero accorto altre volte già in passato.
"Paolo90":
[quote="dissonance"]Se ci pensi è una proprietà di tutte le forme lineari: o sono nulle oppure sono surgettive. Quando nel prodotto scalare fissi un argomento ottieni una forma lineare, e se il prodotto non è quello demenziale almeno una di queste non è nulla. Quindi il prodotto scalare è surgettivo. Vale pure per prodotti scalari complessi e, ora che ci penso, direi che vale per tutte le forme bilineari e per qualsiasi campo di scalari: o la forma bilineare è nulla oppure è surgettiva. Se hai tempo e voglia, potresti controllare quest'ultima affermazione?
Con molto piacere (ho sempre paura di essere arrugginito con l'estate, anche se ho sempre studiato
)Comunque, io direi che è vero quanto dici. E la dimostrazione è a grandi linee quella di cui parli tu. In effetti, consideriamo una forma bilineare non nulla $phi: V times V to RR$ con $V$ di dimensione $n$ e con $phi: (\barx,\bary) \mapsto phi(\barx,\bary)$. Se fisso un argomento (sia esso $x$) ho una forma lineare $f_x: V to RR$ che è associata a una matrice (fissate due basi in $V$ e in $RR$) $1 times n$.
La dimensione dell'immagine è il rango di questa matrice, dunque o 0 o 1. E' zero sse ho la forma lineare nulla; è 1 altrimenti; d'altra parte, però, $RR$ è un $RR$-spazio vettoriale di dimensione 1 quindi abbiamo che $"im"f_x=RR$.
Si conclude dicendo (l'hai già fatto tu comunque) che, essendo la forma bilineare non nulla, fissando uno dei due argomenti, almeno una delle due forme lineari è non nulla.
P.S. C'è solo da sistemare una cosetta, ora che ci penso, a proposito del campo degli scalari: se siamo in $CC$ la cosa puzza... $CC$ non ha dimensione 2 su $RR$? Però come sono definite le forme lineari su $CC$? Devo pensarci...[/quote]
Ci ho pensato un po' anche io e devo dire che la faccenda è parecchio più semplice e non richiede nessuna ipotesi di dimensione finita né di avere spazi vettoriali reali. Generalizzazione non vuota: per esempio prendiamo un numero primo $p$, il campo $K=ZZ/{pZZ}$, lo spazio vettoriale $V=K[x]$; abbiamo la forma bilineare
$\langle a_0+a_1x+...+a_nx^n, b_0+b_1x+...+b_mx^m \rangle={(a_0b_0+...+a_nb_n, n<=m), (a_0b_0+...+a_mb_m, n>=m):}$
che mi pare un peccato lasciare fuori dalla porta solo perché non è reale e non è definita in uno spazio di dimensione finita!
La proposizione è molto semplice.
Proposizione Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ e $\langle, \rangle$ una forma bilineare non nulla. Allora $\langle, \rangle$ è surgettiva.
Dimostrazione. Essendo $\langle, \rangle$ non nulla esistono $v, w\inV$ tali che $\langle v,w \rangle !=0$. In un campo gli elementi non nulli sono invertibili quindi ha senso definire $bar{v}=(\langle v,w \rangle)^{-1}v$: risulta allora che $\langle bar{v}, w \rangle=1$.
Per ogni $\lambda\in K$ è $\langle \lambda \bar{v}, w \rangle= \lambda$, quindi $\langle, \rangle$ è surgettiva. ////
Quindi era molto più banale di come l'avevamo messa nell'altro topic. Morale della favola: certe volte, l'ipotesi di essere in spazi di dimensione finita non serve e rende complicate le cose semplici!!!
Questo è un fatto di cui mi ero accorto altre volte già in passato.
Risposte
Vero, bello dissonance.
Devi avere pazienza, 'sta storia della dimensione finita continua a perseguitarmi; è che al primo anno ti fanno studiare solo quelle robe lì, quindi sono abituato a assumere come ipotesi la dimensione finita.
In ogni caso, bel lavoro, molto figo. E belle anche le osservazioni conclusive: le terrò a mente.
GRAZIE.
P.S. Ah, una cosa che mi viene in mente solo ora (magari è una scemenza, devo pensarci): ma $ZZ_p[X]$ non ha dimensione finita? Davvero? Come mai? Ora ci penso.
Devi avere pazienza, 'sta storia della dimensione finita continua a perseguitarmi; è che al primo anno ti fanno studiare solo quelle robe lì, quindi sono abituato a assumere come ipotesi la dimensione finita.
In ogni caso, bel lavoro, molto figo. E belle anche le osservazioni conclusive: le terrò a mente.
GRAZIE.
P.S. Ah, una cosa che mi viene in mente solo ora (magari è una scemenza, devo pensarci): ma $ZZ_p[X]$ non ha dimensione finita? Davvero? Come mai? Ora ci penso.
Paolo, $ZZ_p$ è un campo, quindi è solo il "serbatoio" dal quale attingiamo gli scalari del nostro spazio vettoriale... Trovare una base di $K[x]$ con cardinalità finita risulta comunque impossibile, al pari di $RR[x]$, nè più nè meno.
Spero di non aver detto fesserie!
Spero di non aver detto fesserie!
"mistake89":
Paolo, $ZZ_p$ è un campo, quindi è solo il "serbatoio" dal quale attingiamo gli scalari del nostro spazio vettoriale... Trovare una base di $K[x]$ con cardinalità finita risulta comunque impossibile, al pari di $RR[x]$, nè più nè meno.
Spero di non aver detto fesserie!
Sìsì, hai perfettamente ragione, sono io che pensavo male e non mi sono accorto subito della faccenda. GRAZIE per il chiarimento e scusate il dubbio scemo.
Però in effetti la questione della dimensione di $ZZ_p[x]$ non è banale come sembra a prima vista. Bisogna specificare che cosa si intende, se lo spazio dei polinomi o quello delle funzioni polinomiali: quest'ultimo è un insieme finito strutturato come spazio vettoriale, e quindi è abbondantemente di dimensione finita. Fa strano pensare che uno spazio vettoriale possa essere finito!
Invece lo spazio dei polinomi ha dimensione infinita. Una base numerabilmente infinita è ${1, x, x^2, x^3, ...}$. Anzi, si potrebbe definire $ZZ_p[x]$ come lo spazio vettoriale generato dalle potenze di $x$, un simbolo le cui potenze sono per definizione linearmente indipendenti.
Invece lo spazio dei polinomi ha dimensione infinita. Una base numerabilmente infinita è ${1, x, x^2, x^3, ...}$. Anzi, si potrebbe definire $ZZ_p[x]$ come lo spazio vettoriale generato dalle potenze di $x$, un simbolo le cui potenze sono per definizione linearmente indipendenti.
"dissonance":
Invece lo spazio dei polinomi ha dimensione infinita. Una base numerabilmente infinita è ${1, x, x^2, x^3, ...}$. Anzi, si potrebbe definire $ZZ_p[x]$ come lo spazio vettoriale generato dalle potenze di $x$, un simbolo le cui potenze sono per definizione linearmente indipendenti.
Lo spazio dei polinomi, in realtà, è lo spazio [tex]$c_{00}(\mathbb{Z}_p)$[/tex] delle successioni definitivamente nulle munito di una moltiplicazoine interna che lo rende una [tex]$\mathbb{Z}_p$[/tex]-algebra commutativa unitaria... Non c'è bisogno di introdurre quella "misteriosa [tex]$x$[/tex]" per descriverlo.
Casomai fa comodo averla sotto mano, la "misteriosa [tex]$x$[/tex]", perchè rende agevoli certi passaggi (un po' come la forma [tex]$a+\imath\ b$[/tex] dei numeri complessi).
Un modo semplice per introdurre la "misteriosa [tex]$x$[/tex]" è notare che [tex]$c_{00}(\mathbb{Z}_p) =\text{span} \{ \delta_n\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex], ove [tex]$\delta_n :=(\delta_{n,m})$[/tex] e [tex]$\delta_{n,m}$[/tex] è di Kronecker, sicché ogni elemento [tex]$P\in c_{00}(\mathbb{Z}_p)$[/tex] si scrive come:
[tex]$P=\sum_{n=0}^\nu a_n\ \delta_n$[/tex];
a tal punto basta porre per definizione [tex]$x=\delta_1$[/tex] per ottenere [tex]$x^n=\delta_n$[/tex] (usando la definizione di prodotto; ah, ovviamente [tex]$\delta_0=1$[/tex]) e di conseguenza:
[tex]$P=\sum_{n=0}^\nu a_n\ x^n$[/tex],
che è il tipico polinomio cui siamo abituati dalle scuole medie.
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