Conti di algebra lineare per varietà Lorentziane
Salve a tutti!!! Vorrei chiedere un vostro parere circa quelle che sto studiando. Sto esaminando delle varietà Lorentziane e mi sono imbattuto nel seguente esempio: su \(\displaystyle \mathbb R^3 \) si considerino le coordinate locali (x,y,z). Viene definita la metrica Lorentziana
\(\displaystyle g=\frac{1}{4}dx^2-dy\otimes dz \) la cui matrice associata è
\(\displaystyle g_{ij}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{pmatrix} \). Vi pare che \(\displaystyle g(\partial_y,\partial_z)=g(\partial_z,\partial_y) \)? E poi perchè quel 2?
Inoltre mi viene data la uno-forma
\(\displaystyle \eta=\frac{1}{2}(\mbox{e}^xdy+\mbox{e}^{-x}dz) \) e
\(\displaystyle d\eta=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 0 & \mbox{e}^x & -\mbox{e}^{-x}\\ -\mbox{e}^x & 0 & 0 \\ \mbox{e}^{-x} & 0 & 0\end{pmatrix} \). Non pensate che il coefficiente sia errato? Io credo sia 1/2.
Infine mi viene fornito un endomorfismo \(\displaystyle \phi:\mathfrak{X}(M)\rightarrow\mathfrak{X}(M) \) la cui matrice è
\(\displaystyle \phi=\begin{pmatrix} 0 & \mbox{e}^x & -\mbox{e}^{-x}\\ -\mbox{e}^{-x}/2 & 0 & 0 \\ \mbox{e}^x/2 & 0 & 0\end{pmatrix} \) e mi viene detto che \(\displaystyle g(\cdot,\phi)=d\eta \). Ma ad esempio, vi sembra che\(\displaystyle g(\partial_y,\phi\partial_z)=d\eta(\partial_y,\partial_z)\)? Vi ringrazio anticipatamente per i vostri pareri.
\(\displaystyle g=\frac{1}{4}dx^2-dy\otimes dz \) la cui matrice associata è
\(\displaystyle g_{ij}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{pmatrix} \). Vi pare che \(\displaystyle g(\partial_y,\partial_z)=g(\partial_z,\partial_y) \)? E poi perchè quel 2?
Inoltre mi viene data la uno-forma
\(\displaystyle \eta=\frac{1}{2}(\mbox{e}^xdy+\mbox{e}^{-x}dz) \) e
\(\displaystyle d\eta=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 0 & \mbox{e}^x & -\mbox{e}^{-x}\\ -\mbox{e}^x & 0 & 0 \\ \mbox{e}^{-x} & 0 & 0\end{pmatrix} \). Non pensate che il coefficiente sia errato? Io credo sia 1/2.
Infine mi viene fornito un endomorfismo \(\displaystyle \phi:\mathfrak{X}(M)\rightarrow\mathfrak{X}(M) \) la cui matrice è
\(\displaystyle \phi=\begin{pmatrix} 0 & \mbox{e}^x & -\mbox{e}^{-x}\\ -\mbox{e}^{-x}/2 & 0 & 0 \\ \mbox{e}^x/2 & 0 & 0\end{pmatrix} \) e mi viene detto che \(\displaystyle g(\cdot,\phi)=d\eta \). Ma ad esempio, vi sembra che\(\displaystyle g(\partial_y,\phi\partial_z)=d\eta(\partial_y,\partial_z)\)? Vi ringrazio anticipatamente per i vostri pareri.
Risposte
Il 2 c'è a causa di come si scrivono le matrici di forme bilineari. È giusto così ed è evidente che g sia simmetrica perché la sua matrice è simmetrica.
La derivata esterna di eta deve rappresentarsi come una matrice antisymmetrica, e mi sembra che anche quella sia giusta.
Per la terza domanda devi semplicemente controllare che moltiplicando tra loro la matrice di g e quella di phi venga quella di eta (te lo dico a parole perché rispondo dal telefono).
La derivata esterna di eta deve rappresentarsi come una matrice antisymmetrica, e mi sembra che anche quella sia giusta.
Per la terza domanda devi semplicemente controllare che moltiplicando tra loro la matrice di g e quella di phi venga quella di eta (te lo dico a parole perché rispondo dal telefono).
Ma ad esempio nella definizione della metrica, ci sta quel prodotto tensoriale fra dy e dz. Se faccio \(\displaystyle dy\otimes dz(\partial_y,\partial_z)=\frac{\partial y}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial z} \) che mi da 1. Ma se lo faccio sulla coppia \(\displaystyle (\partial_z,\partial_y) \) non dovrebbe venirmi zero? Poi per la seconda domanda avevo chiesto un parere sul coefficiente, che fosse antisimmetrica la matrice lo sapevo. Ed infine per la terza avevo suggerito un esempio che credo non venga.
Devi vedere $g$ come un tensore di tipo (1,1), e infatti e' lievemente improprio denotare le sue coordinate come $dx, dy, dz$ (questa e' la base duale, su un opportuno spazio nel fibrato cotangente).
Sei pratico con la procedura per cui dalla scrittura di una forma quadratica come polinomio si ottiene la sua matrice? Qui devi fare essenzialmente la stessa cosa, avrai che la tua metrica $g$ si scrive come $\sum_{i,j} a_{ij}dx_i\otimes dx_j$ (anche se io l'avrei denotata come $\sum_{i,j} a_{ij} \partial_i\otimes d x_j$), e dunque i suoi coefficienti saranno $a_{ii}$ sulla diagonale, e $\frac{1}{2} a_{ij}$ fuori della diagonale. La matrice che ottieni svolgendo questo procedimento e' esattamente quella che riporti.
Un consiglio a latere di questa spiegazione: praticamente nessun fisico ha la minima idea di cosa siano i tensori; lascia perdere le spiegazioni euristiche e i tricche-ballacche di comodo che trovi nei libri e concentrati su quello che un tensore / tensore simmetrico / altro deve essere. Questo ti permette, nove volte su dieci, di evitare di cadere in errori di questo tipo, e dieci volte su dieci di semplificare le assurde amenita' di cui i libri di relativita' sono zeppi.
Per quanto riguarda $\eta$, la sua derivata esterna sara', ovviamente, un tensore antisimmetrico in \(\bigwedge^2(\mathcal M)\), intendendo con cio' la seconda algebra esterna dello spazio di Minkowski. Tanto per essere esaurienti, se \(\eta\) ti viene definita in certe coordinate come \(\eta = \sum \eta_i dx_i\), allora quello che devi fare (come immagino tu sappia bene) per trovarne la derivata esterna e' calcolare
\[
d\eta = \sum_{i
considerato che nel tuo cato $\eta$ e' molto semplice, devi fare poche derivate; quelle che ottieni sono esattamente quelle che appaiono nella matrice che hai riportato.
Per l'ultimo punto.. prova a fare il prodotto tra la matrice $G$ di $g$ e la matrica di $\phi$.
Sei pratico con la procedura per cui dalla scrittura di una forma quadratica come polinomio si ottiene la sua matrice? Qui devi fare essenzialmente la stessa cosa, avrai che la tua metrica $g$ si scrive come $\sum_{i,j} a_{ij}dx_i\otimes dx_j$ (anche se io l'avrei denotata come $\sum_{i,j} a_{ij} \partial_i\otimes d x_j$), e dunque i suoi coefficienti saranno $a_{ii}$ sulla diagonale, e $\frac{1}{2} a_{ij}$ fuori della diagonale. La matrice che ottieni svolgendo questo procedimento e' esattamente quella che riporti.
Un consiglio a latere di questa spiegazione: praticamente nessun fisico ha la minima idea di cosa siano i tensori; lascia perdere le spiegazioni euristiche e i tricche-ballacche di comodo che trovi nei libri e concentrati su quello che un tensore / tensore simmetrico / altro deve essere. Questo ti permette, nove volte su dieci, di evitare di cadere in errori di questo tipo, e dieci volte su dieci di semplificare le assurde amenita' di cui i libri di relativita' sono zeppi.
Per quanto riguarda $\eta$, la sua derivata esterna sara', ovviamente, un tensore antisimmetrico in \(\bigwedge^2(\mathcal M)\), intendendo con cio' la seconda algebra esterna dello spazio di Minkowski. Tanto per essere esaurienti, se \(\eta\) ti viene definita in certe coordinate come \(\eta = \sum \eta_i dx_i\), allora quello che devi fare (come immagino tu sappia bene) per trovarne la derivata esterna e' calcolare
\[
d\eta = \sum_{i
considerato che nel tuo cato $\eta$ e' molto semplice, devi fare poche derivate; quelle che ottieni sono esattamente quelle che appaiono nella matrice che hai riportato.
Per l'ultimo punto.. prova a fare il prodotto tra la matrice $G$ di $g$ e la matrica di $\phi$.
Sei stato molto esaustivo con le tue risposte, però mi permetto di insistere. Nonostante la tua spiegazione sia stata più che chiara, e benchè abbia avuto largamente a che fare con forme bilineari simmetriche nella mia vita, non riesco ancora a capacitarmi di questa scrittura. A mio avviso quella matrice avrebbe dovuto corrispondere ad una metrica espressa nella seguente forma:
\(\displaystyle g=\frac{1}{4}dx^2-dy\otimes dz-dz\otimes dy \),
e da questa forma polinomiale mi è chiaro ricondursi a quella matrice. Riusciresti a dirmi perchè non è così?
Inoltre mi permetto di fare il seguente calcolo esplicito: dall'espressione di \(\displaystyle \eta \) segue che
\(\displaystyle d\eta= \frac{1}{2}(de^x\wedge dy+e^x(d\circ d)y+ de^{-x}\wedge dz+e^{-x}(d\circ d)z)= \frac{1}{2}(de^x\wedge dy+ de^{-x}\wedge dz)\).
Quindi applicando \(\displaystyle d\eta \) sulla coppia \(\displaystyle (\partial_x,\partial_y) \) dovrei ottenere
\(\displaystyle d\eta(\partial_x,\partial_y)=\frac{1}{2}\bigg(\frac{\partial e^x}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial y}-\frac{\partial e^x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} +\frac{\partial e^x}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial e^x}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial x}\bigg)=\frac{1}{2}e^x \). Quindi ancora in questo caso non riesco a capire perchè ci sia quel fattore \(\displaystyle \frac{1}{4} \) davanti alla matrice.
Infine applicando la matrice \(\displaystyle \phi \) al campo di vettori \(\displaystyle \partial_x \) dovrei avere
\(\displaystyle \phi \partial_x=-\frac{e^{-x}}{2}\partial_x+\frac{e^x}{2}\partial_x \),
per cui \(\displaystyle g(\partial_x,\phi \partial_x)=g(\partial_x,\partial_x)\bigg(-\frac{e^{-x}}{2}+\frac{e^x}{2}\bigg) \), mentre \(\displaystyle d\eta(\partial_x,\partial_x=0) \). Perdona la ripetitività e la pedanteria, aspetto ansiosamente una tua risposta.
\(\displaystyle g=\frac{1}{4}dx^2-dy\otimes dz-dz\otimes dy \),
e da questa forma polinomiale mi è chiaro ricondursi a quella matrice. Riusciresti a dirmi perchè non è così?
Inoltre mi permetto di fare il seguente calcolo esplicito: dall'espressione di \(\displaystyle \eta \) segue che
\(\displaystyle d\eta= \frac{1}{2}(de^x\wedge dy+e^x(d\circ d)y+ de^{-x}\wedge dz+e^{-x}(d\circ d)z)= \frac{1}{2}(de^x\wedge dy+ de^{-x}\wedge dz)\).
Quindi applicando \(\displaystyle d\eta \) sulla coppia \(\displaystyle (\partial_x,\partial_y) \) dovrei ottenere
\(\displaystyle d\eta(\partial_x,\partial_y)=\frac{1}{2}\bigg(\frac{\partial e^x}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial y}-\frac{\partial e^x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} +\frac{\partial e^x}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial e^x}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial x}\bigg)=\frac{1}{2}e^x \). Quindi ancora in questo caso non riesco a capire perchè ci sia quel fattore \(\displaystyle \frac{1}{4} \) davanti alla matrice.
Infine applicando la matrice \(\displaystyle \phi \) al campo di vettori \(\displaystyle \partial_x \) dovrei avere
\(\displaystyle \phi \partial_x=-\frac{e^{-x}}{2}\partial_x+\frac{e^x}{2}\partial_x \),
per cui \(\displaystyle g(\partial_x,\phi \partial_x)=g(\partial_x,\partial_x)\bigg(-\frac{e^{-x}}{2}+\frac{e^x}{2}\bigg) \), mentre \(\displaystyle d\eta(\partial_x,\partial_x=0) \). Perdona la ripetitività e la pedanteria, aspetto ansiosamente una tua risposta.
"jakojako":
A mio avviso quella matrice avrebbe dovuto corrispondere ad una metrica espressa nella seguente forma [...]
Credo ci sia un abuso nel modo in cui $g$ e' stata scritta, che mescola due notazioni differenti: se essa deve essere un tensore simmetrico, e' implicito che esso sia stato simmetrizzato; io non scriverei $dx\otimes dz$, proprio per non incorrere nel cul-de-sac in cui ti sei infilato tu: privilegerei la scrittura con cui $g$ comincia, cioe' $dx^2=dx\otimes dx$, e scriverei
\[g = \frac{1}{4} dx^2 - dy\cdot dz\]
in modo tale da sfruttare l'isomorfismo dell'algebra simmetrica \(\text{Sym}(V) = \mathbf T(V)/\langle v\otimes w - w\otimes v \rangle\) con l'anello dei polinomi in $dim(V)$ variabili. A questo punto la matrice di $g$ si scrive come ti dicono loro.
Il mio ragionamento se vuoi e' un po' euristico, ma non credo tu abbia preso questo esercizio da uno dei tomi del Bourbaki (anche perche' non penso si sia mai occupato di Fisica). Quindi, se sai che $g$ deve essere un tensore simmetrico, fai quella cosa orribile che i fisici chiamano "famo a capisse" e che noi chiamiamo "eliminare i problemi di buona positura che l'incoscienza giovanile ci ha lasciato".
Per quanto riguarda $\eta$, e' possibile che in un qualche modo tu sbagli quello che va fatto per calcolare \(d\eta(\partial_1, \partial_2)\)? Pero' forse non sono la persona piu' adatta io: In tutti questi anni ancora non ho capito come si applica una derivazione, pensa.
Innanzitutto ti ringrazio per la tua disponibilità e per le tue risposte. Credo di aver esaurito il primo dubbio mentre gli altri persistono ahimè. A me i conti francamente sembrano corretti però non saprei. Spero che qualcuno mi fornisca un'altra opinione visto che in fondo non mi sembra un argomento terribile, poiché sono dei semplici conti. Grazie mille ancora.
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