Contatto di ordine n tra due curve.

[Raff92]

Salve.

Mi sono bloccato alla fine della pagina 34 di questo ottimo libro elettronico di Geometria Differenziale:

http://www.archive.org/download/differe ... 101mbp.pdf

In sostanza, quando dimostra che, condizione necessaria e sufficiente affinché due curve abbiano un contatto di ordine n nel punto O = (x0, y0) è che la funzione f[x(t), y(t)] (che rappresenta la prima curva) sia un infinitesimo di ordine superiore a n rispetto a (t - t0)^n e quindi: "ne consegue che in quel punto di coordinate x0, y0 si annulla la funzione insieme a tutte le sue derivate (rispetto a t) fino alla ennesima".

Potreste spiegarmi come si arriva alla conclusione che ho sottolineato?

Grazie.

[Quinzio]

Se ho capito bene (anche solo qualcosa...) il concetto espresso ha molto in comune con i Moltiplicatori di Lagrange.
Anche con i moltiplicatori hai due curve di cui imponi un punto di contatto. In quel punto imponi la proporzionalità dei gradienti e trovi i punti di contatto.
Guarda un po' con i moltiplicatori se ti chiariscono le idee.

[Raff92]

Con il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange viene richiesto che si annullino tutte le derivate parziali prime.
Nel problema che ho citato io, si parla di derivate di f[x(t), y(t)] rispetto al parametro t, che si annullano tutte, da quella di ordine 1 sino a quella di ordine n (se le due curve hanno un contatto di ordine n).

Teoricamente dovrebbe trattarsi di una situazione del tutto simile a quella dell'intersezione tra una curva algebrica di ordine n e una retta (ordine 1); in quel caso effettivamente si ha la conseguenza dell'annullarsi delle prime k derivate se la retta e la curva hanno k intersezioni concentrate in un unico punto.

Consultando altri testi, sempre relativi all'ordine di contatto tra due curve (una definita da f(x, y) e l'altra in forma parametrica x=x(t), y=y(t), ho visto che si dà per scontato il fatto che, come conseguenza del contatto di ordine n, si annullino (nel punto di contatto) la funzione f[x(t), y(t)] e le sue prime n derivate rispetto a t; magari la spiegazione ce l'ho sotto il naso, ma attualmente mi sfugge.
Forse c'entra qualcosa anche il Teorema di Bezout; anche in quel caso, però, trovo sempre la solita frase: "... e quindi, si annullano in quel punto la funzione e tutte le sue derivate .... etc, etc".