Considerazioni qualitative su $QQ$
Vorrei ragionare con voi di alcuni aspetti dell'insieme $QQ$, visto come sottoinsieme di $RR$.
Se considero ($R$, d), lo spazio topologico definito dalla metrica $d$.
Ora consideriamo $QQ$ come sottoinsieme di $RR$ possiamo dire che:
1) $Int(QQ)=\varphi$
2) $Est(QQ)=\varphi$
3) $Fr(QQ)=RR$
4) $D(QQ)= RR$
5) $\bar QQ=RR$
In primis dico che $\varphi$ è l'insieme vuoto nn so quale sia il codice per indicarlo. Se me lo dite mi illuminate.
Andiamo al sodo.
1-2)Allora che $Int(QQ)=Est(QQ)=\varphi$ ci sono, dato che per qualunque intorno di un numero razionale allora questo contiene punti reali.
3) Ragionerei un attimo sul fatto che $Fr(QQ)=RR$. Nella mia testa ho trovato questa risposta.
"$QQ$ fa parte della frontiera perchè per ogni punto di $QQ$ esistono punti che nn sono razionali, inoltre per ogni punto irrazionale esiste un intorno del punto che ha punti razionali. Va bene per voi?
4) Il derivato di $QQ$, alias insime dei suoi punti di accumulazione è $RR$, perchè preso $x inRR$ allora per ogni intorno di $x$, che denoto con $N(x)$ accade che, $(N(x)-{x})nn RR !=\varphi$. Quindi $D(QQ)=RR$. Va bene per voi?
La chiusura di $QQ$ per definizione è il piu piccolo chiuso che contiene $QQ$, inoltre conosco la relazione seguente:
$\bar QQ= QQ uu D(QQ)$ , quindi $\bar QQ= QQ uu D(QQ)=RR$
Va bene per voi?
Il mio interrogativo mistico del giorno è il seguente.
Uno spazio topologico è separabile se esiste un un suo sottospazio denso numerabile.
$RR$ è separabile perchè $QQ$ è denso è numerabile.
Che sia denso lo so dimostrare.
Dimostro che presi due reali esiste sempre un razionale. Ora che sia numerabile mi sfugge... Help Help.
Vi amo tanto, spero a presto.
Se considero ($R$, d), lo spazio topologico definito dalla metrica $d$.
Ora consideriamo $QQ$ come sottoinsieme di $RR$ possiamo dire che:
1) $Int(QQ)=\varphi$
2) $Est(QQ)=\varphi$
3) $Fr(QQ)=RR$
4) $D(QQ)= RR$
5) $\bar QQ=RR$
In primis dico che $\varphi$ è l'insieme vuoto nn so quale sia il codice per indicarlo. Se me lo dite mi illuminate.
Andiamo al sodo.
1-2)Allora che $Int(QQ)=Est(QQ)=\varphi$ ci sono, dato che per qualunque intorno di un numero razionale allora questo contiene punti reali.
3) Ragionerei un attimo sul fatto che $Fr(QQ)=RR$. Nella mia testa ho trovato questa risposta.
"$QQ$ fa parte della frontiera perchè per ogni punto di $QQ$ esistono punti che nn sono razionali, inoltre per ogni punto irrazionale esiste un intorno del punto che ha punti razionali. Va bene per voi?
4) Il derivato di $QQ$, alias insime dei suoi punti di accumulazione è $RR$, perchè preso $x inRR$ allora per ogni intorno di $x$, che denoto con $N(x)$ accade che, $(N(x)-{x})nn RR !=\varphi$. Quindi $D(QQ)=RR$. Va bene per voi?
La chiusura di $QQ$ per definizione è il piu piccolo chiuso che contiene $QQ$, inoltre conosco la relazione seguente:
$\bar QQ= QQ uu D(QQ)$ , quindi $\bar QQ= QQ uu D(QQ)=RR$
Va bene per voi?
Il mio interrogativo mistico del giorno è il seguente.
Uno spazio topologico è separabile se esiste un un suo sottospazio denso numerabile.
$RR$ è separabile perchè $QQ$ è denso è numerabile.
Che sia denso lo so dimostrare.
Dimostro che presi due reali esiste sempre un razionale. Ora che sia numerabile mi sfugge... Help Help.
Vi amo tanto, spero a presto.
Risposte
due accorgimenti nei seguenti punti:
3) si, però dovresti mostrare che esistono i punti che tu dici. Devi mostrare che presi due punti di $RR$ in mezzo c'è sempre un razionale e un irrazionale.
4) quello che hai scritto è quello che devi dimostrare.
per il fatto che $QQ$ è numerabile:
beh $QQ={ {p/q|p,qinZZ,q!=0}}/{sim}$ con $p_1/q_1\sim p_2/q_2<=>p_1q_2=p_2q_1$ quindi puoi costruire la mappa $Phi:QQ->ZZxZZ$ tale che $Phi(p/q)=(p,q)$.
In questo modo hai che $Phi(QQ)\subZZ^2$. Inoltre è un insieme infinito. Ti basta mostrare che $ZZ^2$ ha la potenza del numerabile, questo è più semplice.
Spero di esserti stato d'aiuto.
3) si, però dovresti mostrare che esistono i punti che tu dici. Devi mostrare che presi due punti di $RR$ in mezzo c'è sempre un razionale e un irrazionale.
4) quello che hai scritto è quello che devi dimostrare.
per il fatto che $QQ$ è numerabile:
beh $QQ={ {p/q|p,qinZZ,q!=0}}/{sim}$ con $p_1/q_1\sim p_2/q_2<=>p_1q_2=p_2q_1$ quindi puoi costruire la mappa $Phi:QQ->ZZxZZ$ tale che $Phi(p/q)=(p,q)$.
In questo modo hai che $Phi(QQ)\subZZ^2$. Inoltre è un insieme infinito. Ti basta mostrare che $ZZ^2$ ha la potenza del numerabile, questo è più semplice.
Spero di esserti stato d'aiuto.
Ho visto sulla bibbia(libro di algebra)... unione e prodotto di numemabili è numerabile. Quindi è risolto.
$NN$ è numerabile.
$ZZ$ anche perchè esiste una corrispondenza biunivoca tra $NNxNN$ e $ZZ$.
Infine come hai ben detto tu, esiste una corrispondenza biunivoca tra $QQ$ e $ZZxZZ$.
Fine. Che dice funge bene? Devo aggiungere qualcosa?
Grazie
$NN$ è numerabile.
$ZZ$ anche perchè esiste una corrispondenza biunivoca tra $NNxNN$ e $ZZ$.
Infine come hai ben detto tu, esiste una corrispondenza biunivoca tra $QQ$ e $ZZxZZ$.
Fine. Che dice funge bene? Devo aggiungere qualcosa?
Grazie
no è finito, comunque tra $QQ$ è $ZZ^2$ la corrispondenza non è biunivoca in quanto $4/(16)$ e $1/4$ sono nella stessa classe di equivalenza in $QQ$, così l'elemento $(4,16)$ non ha preimmagine.
però sai che $Phi(QQ)$ ha cardinalità non finita e al più numerabile, quindi concludi che è numerabile.
però sai che $Phi(QQ)$ ha cardinalità non finita e al più numerabile, quindi concludi che è numerabile.
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