Conservazione prodotto scalare

[egregio]

Mi sono imbattuto in questa domanda:
Sia g un endomorfismo tra spazi vettoriali, quando tale endomorfismo conserva il prodotto scalare?
Avevo pensato di rispondere così:
Un endomorfismo è un omomorfismo e dunque affinchè conservi il prodotto scalare deve conservare il prodotto scalare tra due vettori qualsiasi.

Cosa ne pensate?

[dissonance]

E che risposta è questa? Hai solo rigirato la domanda. Come dire:

D: Quanto fa 2+2?
R: Siccome 2 è un numero, 2+2 fa 2+2.

Impeccabile dal punto di vista logico, ma non credo sia quello che si aspettava l'estensore dell'esercizio. Perché non provi a riflettere sulle matrici associate, cercando di fornire una condizione analitica equivalente alla conservazione del prodotto scalare? E' un'idea. E se proprio non ti viene in mente niente, dai un'occhiata qui, pagina 168 Definizione/Teorema 1.12 e successivi. Guarda anche a pagina 195, Definizione/Teorema 2.7 e successivi.

[dissonance]

Scusa, mi sono accorto solo adesso che l'autore degli appunti ha cambiato la numerazione delle pagine. Ora ho corretto.

[egregio]

Quindi un endomorfismo conserva il prodotto scalare se e solo se la matrice associata è ortogonale?

[dissonance]

OK! Ricordati però di specificare: la matrice associata rispetto ad una base ortonormale è ortogonale.

Una risposta alternativa, forse più semplice, è:
un endomorfismo conserva il prodotto scalare se e solo se esso è una isometria, ovvero conserva la norma;
ma non so se tu hai studiato questa classe di endomorfismi.

[egregio]

Si, le ho studiate, grazie del consiglio!