CONO inscritto in una SFERA ...
Ciao a tutti!
Scusate ma non sono capace a risolvere questo problemino:
Un cono è inscritto in una sfera di raggio a. Detto r il raggio di base del cono, esprimere il suo volume come funzione di r.
Penso di aver capito che è necessario trovare l'altezza h del cono visto che il
Volume del cono = (Pgreco * r * r * h ) / 3
Grazie,
Ciao!
Scusate ma non sono capace a risolvere questo problemino:
Un cono è inscritto in una sfera di raggio a. Detto r il raggio di base del cono, esprimere il suo volume come funzione di r.
Penso di aver capito che è necessario trovare l'altezza h del cono visto che il
Volume del cono = (Pgreco * r * r * h ) / 3
Grazie,
Ciao!
Risposte
In effetti hai ragione, per trovare il volume del cono hai bisogno della sua altezza. Vediamo di trovarla: sezionando la sfera con un piano passante per il centro e dividendo in due la circonferenza ottenuta abbiamo una situazione del genere:
Tieni conto che l'immagine è sbagliata, perchè l'altezza $h$ del cono, in rosso, va condotta fino al piede di $r$, e non fino al piede di $a$.
Ora, il volume del cono sarà esprimibile in funzione di $r$ e $a$, ma per fare ciò dobbiamo esprimere $h$ in funzione di $r$.
Abbiamo che $tan alpha = frac{r}{h}$, e che $tan(frac{pi}{2}-alpha)=frac{r}{2a-h}$. (Mi raccomando, tieni sempre presente che l'immagine è sbagliata!)
Ma siccome $tan(frac{pi}{2}-alpha)=frac{1}{tan alpha}$, allora $frac{2a-h}{r}=frac{r}{h}$, da cui $h^2-2ah+r^2=0$. Ne viene che $h=a-sqrt{a^2-r^2}$ (ho scartato la soluzione $h=a+sqrt{a^2-r^2}$ perchè $h$ non può essere maggiore di $a$!), e perciò che il volume del cono è $V_{C}=frac{1}{3}pi r^2 (a-sqrt{a^2-r^2})$.
Ciao!
Tieni conto che l'immagine è sbagliata, perchè l'altezza $h$ del cono, in rosso, va condotta fino al piede di $r$, e non fino al piede di $a$.
Ora, il volume del cono sarà esprimibile in funzione di $r$ e $a$, ma per fare ciò dobbiamo esprimere $h$ in funzione di $r$.
Abbiamo che $tan alpha = frac{r}{h}$, e che $tan(frac{pi}{2}-alpha)=frac{r}{2a-h}$. (Mi raccomando, tieni sempre presente che l'immagine è sbagliata!)
Ma siccome $tan(frac{pi}{2}-alpha)=frac{1}{tan alpha}$, allora $frac{2a-h}{r}=frac{r}{h}$, da cui $h^2-2ah+r^2=0$. Ne viene che $h=a-sqrt{a^2-r^2}$ (ho scartato la soluzione $h=a+sqrt{a^2-r^2}$ perchè $h$ non può essere maggiore di $a$!), e perciò che il volume del cono è $V_{C}=frac{1}{3}pi r^2 (a-sqrt{a^2-r^2})$.
Ciao!
"elgiovo":
....
Ne viene che $h=a-sqrt{a^2-r^2}$ (ho scartato la soluzione $h=a+sqrt{a^2-r^2}$ perchè $h$ non può essere maggiore di $a$!), e perciò che il volume del cono è $V_{C}=frac{1}{3}pi r^2 (a-sqrt{a^2-r^2})$.
Ciao!
Questo è inesatto. Anche la seconda soluzione è accettabile in quanto l'altezza del cono può essere maggiore di a.
Si, è vero, infatti me n'ero accorto ma non ho avuto tempo di riscrivere il post perchè dovevo andare via. Hai pienamente ragione. In realtà direi che per il cono più grande vale la soluzione con il +, per quello piccolo vale la soluzione col -.
Grandi Raga!
Grazie 1000, anche se, non ho capito tutti i passaggi... Scusate ma sono lentino...
Cerchiamo l'altezza del cono ma, nella figura, h (che va da angolo di sx fino al piede di r) non è il segmento che vogliamo. O no?
ALFA è l'angolo di sx (OK)
PGRECO/2 - ALFA è l'angolo di dx (OK)
Poi perché si pone:
TAN (angolo sx) = ( 1/TAN (angolo dx) )
Qual é il principio secondo il quale si intuisce di dover fare quell'uguaglianza?
Ho capito che così si trova un'eq di 2 grado che, con la formula risolutiva, ci restituisce h.
Otteniamo 2 soluzioni di h: quindi il volume del cono dipende dalle dimensioni dello stesso.
Vi ringrazio moltissimo!!!
Grazie 1000, anche se, non ho capito tutti i passaggi... Scusate ma sono lentino...
Cerchiamo l'altezza del cono ma, nella figura, h (che va da angolo di sx fino al piede di r) non è il segmento che vogliamo. O no?
ALFA è l'angolo di sx (OK)
PGRECO/2 - ALFA è l'angolo di dx (OK)
Poi perché si pone:
TAN (angolo sx) = ( 1/TAN (angolo dx) )
Qual é il principio secondo il quale si intuisce di dover fare quell'uguaglianza?
Ho capito che così si trova un'eq di 2 grado che, con la formula risolutiva, ci restituisce h.
Otteniamo 2 soluzioni di h: quindi il volume del cono dipende dalle dimensioni dello stesso.
Vi ringrazio moltissimo!!!
In realtà non c'è un principio vero e proprio. Questo problema poteva essere risolto in modi diversi, credo anche senza trigonometria.
Se vuoi, qui ho usato il "principio" di esprimere in due modi diversi la stessa cosa (in questo caso $tan alpha$), che però, definirei più una "tattica",
e l'idea mi è venuta perchè avevo due angoli ($alpha$ e $frac{pi}{2}-alpha$) con lo stesso seno, cioè $r$. (in realtà non è proprio il seno, diciamo con lo stesso lato opposto). Il resto è venuto da sè.
$h$ è proprio ciò che cerchiamo, come hai detto tu nel 1° post. è solo che questo $h$ andrà espresso come funzione di $r$ se vogliamo che il volume del cono dipenda solo da $r$.
Se poi non è chiaro perchè $tan (frac{pi}{2}-alpha)=frac{1}{tan alpha}$ beh, lì devi andare a rivedere il capitolo "Trigonometria" del tuo libro delle superiori.
Cmq spero di esserti stato utile
Ciao ciao!
Se vuoi, qui ho usato il "principio" di esprimere in due modi diversi la stessa cosa (in questo caso $tan alpha$), che però, definirei più una "tattica",
e l'idea mi è venuta perchè avevo due angoli ($alpha$ e $frac{pi}{2}-alpha$) con lo stesso seno, cioè $r$. (in realtà non è proprio il seno, diciamo con lo stesso lato opposto). Il resto è venuto da sè.
$h$ è proprio ciò che cerchiamo, come hai detto tu nel 1° post. è solo che questo $h$ andrà espresso come funzione di $r$ se vogliamo che il volume del cono dipenda solo da $r$.
Se poi non è chiaro perchè $tan (frac{pi}{2}-alpha)=frac{1}{tan alpha}$ beh, lì devi andare a rivedere il capitolo "Trigonometria" del tuo libro delle superiori.
Cmq spero di esserti stato utile
Ciao ciao!
Hai ragione!
Grazie!!!!!!!!!!!!
Grazie!!!!!!!!!!!!
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