Connessioni: definizione
Salve! Volevo chiedervi lumi riguardo a due notazioni che non riesco a capire.
Sto cercando di capire cosa è una "connessione lineare". Io avevo degli appunti che mi erano stati suggeriti qui (di Sorin Dragomir) dove si diceva che data una varietà differenziabile $M$ e chiamato $\chi(M)$ l'insieme dei campi vettoriali tangenti (in realtà un insime con la struttura di modulo), una connessione era una applicazione : $\chi(M) \times \chi(M)\rightarrow \chi(M)$. Quindi in soldoni una applicazione che a due campi vettoriali associava un campo vettoriale. (poi era bilineare e rispettava altre proprietà).
Vediamo da wikipedia invece:
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection ... _bundle%29
, introduce un prodotto tensoriale di fibrati vettoriali le cui sezioni sono il codominio della connessione. Non riesco a mettere assime bene le due notazioni. Chi mi può aiutare? Mi serva capire quella notazione.
Sto cercando di capire cosa è una "connessione lineare". Io avevo degli appunti che mi erano stati suggeriti qui (di Sorin Dragomir) dove si diceva che data una varietà differenziabile $M$ e chiamato $\chi(M)$ l'insieme dei campi vettoriali tangenti (in realtà un insime con la struttura di modulo), una connessione era una applicazione : $\chi(M) \times \chi(M)\rightarrow \chi(M)$. Quindi in soldoni una applicazione che a due campi vettoriali associava un campo vettoriale. (poi era bilineare e rispettava altre proprietà).
Vediamo da wikipedia invece:
http://en.wikipedia.org/wiki/Connection ... _bundle%29
, introduce un prodotto tensoriale di fibrati vettoriali le cui sezioni sono il codominio della connessione. Non riesco a mettere assime bene le due notazioni. Chi mi può aiutare? Mi serva capire quella notazione.
Risposte
Prova a leggere il paragrafo successivo su wiki... dimostra proprio l'equivalenza di cui hai bisogno.
grazie mille... intendi proprio due righe sotto la definizione? 
Mi potresti chiarire un attimo come avviene quella contrazione?
Mi potresti chiarire un attimo come avviene quella contrazione?
Sì. Allora, tu hai un accoppiamento di dualità [tex]TM \times T^*M \to M \times \mathbb R[/tex] (assumiamo di lavorare ad esempio con strutture differenziabili reali), dove [tex]M \times \mathbb R[/tex] è il fibrato banale. Operativamente, questo manda la coppia [tex](X, \omega)[/tex] in [tex]\omega(X)[/tex]. Fin qui ci sei, no?
Adesso, se [tex]E \to M[/tex] è un fibrato vettoriale qualsiasi, [tex]\nabla \colon \Gamma(E) \to \Gamma(E \otimes T^*M)[/tex], fissato [tex]X \in \Gamma(TX)[/tex] puoi definire [tex]\nabla_X(\sigma) := \nabla(\sigma)(X)[/tex]. Infatti, [tex]\nabla(\sigma)[/tex] localmente si scriverà nella forma [tex]s \otimes df[/tex] con [tex]s \in \Gamma(U,E)[/tex] e [tex]df \in \Gamma(U,T^*M)[/tex] con U sufficientemente piccolo. Allora chiaramente la definizione significa che [tex]\nabla(\sigma)(X) = (df)(X) s \in \Gamma(E)[/tex]. Poi tutto si incolla a dovere.
Adesso, se [tex]E \to M[/tex] è un fibrato vettoriale qualsiasi, [tex]\nabla \colon \Gamma(E) \to \Gamma(E \otimes T^*M)[/tex], fissato [tex]X \in \Gamma(TX)[/tex] puoi definire [tex]\nabla_X(\sigma) := \nabla(\sigma)(X)[/tex]. Infatti, [tex]\nabla(\sigma)[/tex] localmente si scriverà nella forma [tex]s \otimes df[/tex] con [tex]s \in \Gamma(U,E)[/tex] e [tex]df \in \Gamma(U,T^*M)[/tex] con U sufficientemente piccolo. Allora chiaramente la definizione significa che [tex]\nabla(\sigma)(X) = (df)(X) s \in \Gamma(E)[/tex]. Poi tutto si incolla a dovere.
Ti ringrazio molto. Ora devo uscire ed oggi sono un po' impegnato ma domani (o oggi nel caso ne trovassi) appena ho un po' di tempo libero mi metto a leggere la tua risposta e ti dico se ho capito. Grazie intanto!
"maurer":
Allora chiaramente la definizione significa che [tex]\nabla(\sigma)(X) = (df)(X) s \in \Gamma(E)[/tex]. Poi tutto si incolla a dovere.
Ok ho provato a leggere. Scusa nell'ultima formula intendi che per ogni punto $p$ della varietà devo moltiplicare il numero reale $df(X(p))$ per il vettore $\Phi_p(s(p))$ ? (dove con $\Phi_p$ indico l'omeomorfiso tra la fibra e lo spazio vettoriale associato).
Poi da questo vettore sempre con $\Phi_p^ {-1}$ ottengo un punto del fibrato $E$? E' così che funziona?
Ah, sei così fine da distinguere tra la fibra e lo spazio vettoriale... Sì, se ti fa piacere è quello che intendevo. Io solitamente identifico tutto quanto...
ehehe... in realtà è che sto cercando di imparare ora un pochetto questi concetti per capire come uscivano fuori certi invarianti topologici (i numeri di Chern) che sembrano essere molto importanti per descrivere alcuni fenomeni di fisica delle basse temperature...
Quando uno non ha le idee affatto chiare per orientarsi cerca di "leggere bene le mappe" ... poi quando avrò capito (se capirò!) mi potrò permettere di essere più sloppy ed anzi penso mi verrà naturale fare come fai tu!...
Grazie per l'aiuto. Ora cerco di terminare lo studio delle risore on-line e spero di non bloccarmi di nuovo!
Quando uno non ha le idee affatto chiare per orientarsi cerca di "leggere bene le mappe"
... poi quando avrò capito (se capirò!) mi potrò permettere di essere più sloppy ed anzi penso mi verrà naturale fare come fai tu!...Grazie per l'aiuto. Ora cerco di terminare lo studio delle risore on-line e spero di non bloccarmi di nuovo!
Ho qualche difficolta' a disegnare i diagrammi... ci sto provando da un po' ma non mi riesce 
Volevo chiederti una cosa. Operativamente credo di aver capito qualcosa. Mi e' venuta in mente questa visione da ricordi lontani.
Usando la proprieta' universale del prodotto tensore mi sembra che noi abbiamo automaticamente un isomorfismo tra [tex]E_p \otimes T^*M_p[/tex] e $Hom(E_p,TM_p)$ (ed operativamente sappiamo anche come calcolare questo isomorfismo per i tensori di rango uno). Alla fin fine e' questo isomorfismo quello che hai applicato o comunque qualcosa di molto simile?
Sto prendendo una enorme cantonata oppure queste nozioni sono tornate magicamente alla mia mente in modo corretto?
Volevo chiederti una cosa. Operativamente credo di aver capito qualcosa. Mi e' venuta in mente questa visione da ricordi lontani.
Usando la proprieta' universale del prodotto tensore mi sembra che noi abbiamo automaticamente un isomorfismo tra [tex]E_p \otimes T^*M_p[/tex] e $Hom(E_p,TM_p)$ (ed operativamente sappiamo anche come calcolare questo isomorfismo per i tensori di rango uno). Alla fin fine e' questo isomorfismo quello che hai applicato o comunque qualcosa di molto simile?
Sto prendendo una enorme cantonata oppure queste nozioni sono tornate magicamente alla mia mente in modo corretto?
cmq e' bello sapere che stai studiando le medesime cose, anche se tu evidentemente lo fai ad un livello ben diverso!
(nb: da notare che nell'ultimo messaggio ho identificato la fibra con lo spazio vettoriale )
(nb: da notare che nell'ultimo messaggio ho identificato la fibra con lo spazio vettoriale
)
"Thomas":
Usando la proprieta' universale del prodotto tensore mi sembra che noi abbiamo automaticamente un isomorfismo tra [tex]E_p \otimes T^*M_p[/tex] e $Hom(E_p,TM_p)$ (ed operativamente sappiamo anche come calcolare questo isomorfismo per i tensori di rango uno). Alla fin fine e' questo isomorfismo quello che hai applicato o comunque qualcosa di molto simile?
Vediamo... Intanto [tex]T_p M = V[/tex], spazio vettoriale reale di dimensione [tex]n = \text{dim } M[/tex], e [tex]T^*M_p = V^*[/tex]. Inoltre, [tex]E_p \cong \mathbb R^m[/tex] perché [tex]E[/tex] è un fibrato vettoriale. Allora
[tex]\hom(E_p \otimes V^*, \mathbb R) = \hom(V^* \otimes E_p, \mathbb R) \cong \hom(V^*, \hom( E_p,\mathbb R)) = \hom(\hom(V,\mathbb R), E_p^*) \cong[/tex]
[tex]\cong \hom(\hom(V,\mathbb R), \mathbb R)^n \cong V^n \cong V \otimes E_p[/tex]
e
[tex]\hom(\hom(E_p,V),\mathbb R) = \hom(\hom(E_p,\mathbb R)^m, \mathbb R) = \hom(\hom(E_p,\mathbb R),\mathbb R)^m \cong E_p^m \cong E_p \otimes V[/tex]
Quindi
[tex]\hom(E_p,V) \cong \hom(\hom(E_p,V),\mathbb R),\mathbb R) \cong \hom(\hom(E_p \otimes V^*,\mathbb R),\mathbb R) \cong E_p \otimes V^*[/tex]
Ora bisognerebbe controllare che tutti gli iso che ho scritto sono canonici... Magari c'è un modo più semplice, che non sto vedendo, eh! Tu come pensavi di usare la proprietà universale del prodotto tensore?
Ma poi, hai voglia di spiegarmi perché queste bellissime cose si applicano alla fisica delle basse temperature? (Solo un'idea, tanto le mie conoscenze di fisica non mi permetteranno di capire!)
eheh ok ... ma mi riservo di risponderti in un secondo momento per l'applicazione fisica... sto seguendo un corso. Dammi un po' di tempo di studio per elaborare una risposta coerente 
!!
Per quanto riguarda la proprieta' universale pensavo questo. Uso la proprieta' universale come nel diagramma descritto qui:
http://planetmath.org/encyclopedia/TensorProduct.html
Se pongo $A=E_p$ , [tex]B=T^*M_p[/tex], [tex]C=hom(E_p,TM_p)[/tex] e $\phi(v,w) (v')=w(v') v$ con $v,v'$ in $E_p$ e $w$ in [tex]B=T^*M_p[/tex] allora dovrei avere l'omeomorfismo voluto. Mi sembrava che fosse essenzialmente la medesima operazione che mi avevi descritto un po' di post fa...
!!Per quanto riguarda la proprieta' universale pensavo questo. Uso la proprieta' universale come nel diagramma descritto qui:
http://planetmath.org/encyclopedia/TensorProduct.html
Se pongo $A=E_p$ , [tex]B=T^*M_p[/tex], [tex]C=hom(E_p,TM_p)[/tex] e $\phi(v,w) (v')=w(v') v$ con $v,v'$ in $E_p$ e $w$ in [tex]B=T^*M_p[/tex] allora dovrei avere l'omeomorfismo voluto. Mi sembrava che fosse essenzialmente la medesima operazione che mi avevi descritto un po' di post fa...
Così non basta per concludere, ma in effetti l'idea è più elegante di quello che ho fatto io (sebbene temo verrà più lungo). Allora, intanto lo stesso diagramma lo trovi qui 
. Poi, ti mostro come si usa la proprietà universale in questo caso. Nota che se bastasse quello che hai detto tu per concludere avresti ottenuto un teorema di dualità incredibilmente forte (e magari anche la fields...). (S)fortunatamente c'è bisogno di usare in modo essenziale il fatto che i tuoi spazi vettoriali sono di dimensione finita...
Allora, giustamente osservi che hai una mappa bilineare [tex]\phi \colon E_p \times T^*_p M \to \hom(T_pM, E_p)[/tex] definita da [tex]\phi(v,\xi) \colon T_p M \to E_p[/tex], [tex]\phi(v,\xi)(w) = \xi(w) v[/tex] (ed il fatto che sia bilineare lo lasciamo ai lettori, ma è pressoché ovvio). Mostriamo che la coppia [tex](\hom(E_p,T_p M),\phi)[/tex] soddisfa la proprietà universale. Per prima cosa, fissa un basi [tex]\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n[/tex] di [tex]E_p[/tex] e [tex]\xi_1, \ldots, \xi_m[/tex] di [tex]T_p^* M[/tex].
Claim. Le mappe [tex]\phi(\mathbf v_i, \xi_j)[/tex] formano una base di [tex]\hom(T_p M, E_p)[/tex].
Dimostrazione. Sia [tex]\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m[/tex] la base di [tex]T_p M[/tex] duale a [tex]\xi_1,\ldots, \xi_m[/tex]. Allora se [tex]\displaystyle \sum_{i,j} \lambda_{ij} \phi(\mathbf v_i, \xi_j) = 0[/tex], valutando su [tex]\mathbf w_k[/tex] otteniamo
[tex]\displaystyle \sum_i \lambda_{ik} \mathbf v_i = \mathbf 0[/tex]
e quindi [tex]\lambda_{ik} = 0[/tex] per ogni [tex]i[/tex] e per ogni [tex]k[/tex], quindi i nostri elementi sono linearmente indipendenti. D'altra parte, se [tex]f \in \hom(E_p, T_p M)[/tex] allora scriviamo [tex]f(\mathbf w_i) = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \mathbf v_j[/tex]. Allora dichiaro che [tex]f = \sum_{ij} a_{ij} \phi(\mathbf v_i, \xi_j)[/tex]. Infatti, basterà controllare sui vettori della base di [tex]T_p M[/tex], e lì l'uguaglianza vale per costruzione (e per il fatto che abbiamo scelto basi duali). []
Ora, se [tex]\psi \colon E_p \times T^*_p M \to C[/tex] è una qualsiasi mappa bilineare, allora definiamo [tex]\widetilde{\psi} \colon \hom(E_p,T_p M) \to C[/tex] nel seguente modo: [tex]\displaystyle \widetilde{\psi}(f) = \widetilde{\psi} \left( \sum_{ij} a_{ij} \phi(\mathbf v_i, \xi_j) \right) = \sum_{ij} a_{ij} \psi( \mathbf v_i, \xi_j)[/tex]. Ti invito a controllare che:
1) [tex]\widetilde{\psi} \circ \phi = \psi[/tex] (praticamente per costruzione!)
2) [tex]\widetilde{\psi}[/tex] è l'unica mappa di spazi vettoriali soddisfacente alla condizione 1).
A questo punto la proprietà universale del prodotto tensore ci dice che [tex]E_p \otimes T_p^* M \cong \hom(T_p M, E_p)[/tex]. Ti è chiaro quest'ultimo passaggio? (
il diavolo tentatore che è in me esce allo sssscoperto...)
. Poi, ti mostro come si usa la proprietà universale in questo caso. Nota che se bastasse quello che hai detto tu per concludere avresti ottenuto un teorema di dualità incredibilmente forte (e magari anche la fields...). (S)fortunatamente c'è bisogno di usare in modo essenziale il fatto che i tuoi spazi vettoriali sono di dimensione finita...Allora, giustamente osservi che hai una mappa bilineare [tex]\phi \colon E_p \times T^*_p M \to \hom(T_pM, E_p)[/tex] definita da [tex]\phi(v,\xi) \colon T_p M \to E_p[/tex], [tex]\phi(v,\xi)(w) = \xi(w) v[/tex] (ed il fatto che sia bilineare lo lasciamo ai lettori, ma è pressoché ovvio). Mostriamo che la coppia [tex](\hom(E_p,T_p M),\phi)[/tex] soddisfa la proprietà universale. Per prima cosa, fissa un basi [tex]\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n[/tex] di [tex]E_p[/tex] e [tex]\xi_1, \ldots, \xi_m[/tex] di [tex]T_p^* M[/tex].
Claim. Le mappe [tex]\phi(\mathbf v_i, \xi_j)[/tex] formano una base di [tex]\hom(T_p M, E_p)[/tex].
Dimostrazione. Sia [tex]\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m[/tex] la base di [tex]T_p M[/tex] duale a [tex]\xi_1,\ldots, \xi_m[/tex]. Allora se [tex]\displaystyle \sum_{i,j} \lambda_{ij} \phi(\mathbf v_i, \xi_j) = 0[/tex], valutando su [tex]\mathbf w_k[/tex] otteniamo
[tex]\displaystyle \sum_i \lambda_{ik} \mathbf v_i = \mathbf 0[/tex]
e quindi [tex]\lambda_{ik} = 0[/tex] per ogni [tex]i[/tex] e per ogni [tex]k[/tex], quindi i nostri elementi sono linearmente indipendenti. D'altra parte, se [tex]f \in \hom(E_p, T_p M)[/tex] allora scriviamo [tex]f(\mathbf w_i) = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \mathbf v_j[/tex]. Allora dichiaro che [tex]f = \sum_{ij} a_{ij} \phi(\mathbf v_i, \xi_j)[/tex]. Infatti, basterà controllare sui vettori della base di [tex]T_p M[/tex], e lì l'uguaglianza vale per costruzione (e per il fatto che abbiamo scelto basi duali). []
Ora, se [tex]\psi \colon E_p \times T^*_p M \to C[/tex] è una qualsiasi mappa bilineare, allora definiamo [tex]\widetilde{\psi} \colon \hom(E_p,T_p M) \to C[/tex] nel seguente modo: [tex]\displaystyle \widetilde{\psi}(f) = \widetilde{\psi} \left( \sum_{ij} a_{ij} \phi(\mathbf v_i, \xi_j) \right) = \sum_{ij} a_{ij} \psi( \mathbf v_i, \xi_j)[/tex]. Ti invito a controllare che:
1) [tex]\widetilde{\psi} \circ \phi = \psi[/tex] (praticamente per costruzione!)
2) [tex]\widetilde{\psi}[/tex] è l'unica mappa di spazi vettoriali soddisfacente alla condizione 1).
A questo punto la proprietà universale del prodotto tensore ci dice che [tex]E_p \otimes T_p^* M \cong \hom(T_p M, E_p)[/tex]. Ti è chiaro quest'ultimo passaggio? (
il diavolo tentatore che è in me esce allo sssscoperto...)
"maurer":
Così non basta per concludere, ma in effetti l'idea è più elegante di quello che ho fatto io (sebbene temo verrà più lungo). Allora, intanto lo stesso diagramma lo trovi qui
Allora, giustamente osservi che hai una mappa bilineare [tex]\phi \colon E_p \times T^*_p M \to \hom(T_pM, E_p)[/tex] definita da [tex]\phi(v,\xi) \colon T_p M \to E_p[/tex], [tex]\phi(v,\xi)(w) = \xi(w) v[/tex] (ed il fatto che sia bilineare lo lasciamo ai lettori, ma è pressoché ovvio). Mostriamo che la coppia [tex](\hom(E_p,T_p M),\phi)[/tex] soddisfa la proprietà universale. Per prima cosa, fissa un basi [tex]\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n[/tex] di [tex]E_p[/tex] e [tex]\xi_1, \ldots, \xi_m[/tex] di [tex]T_p^* M[/tex].
Claim. Le mappe [tex]\phi(\mathbf v_i, \xi_j)[/tex] formano una base di [tex]\hom(T_p M, E_p)[/tex].
Dimostrazione. Sia [tex]\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m[/tex] la base di [tex]T_p M[/tex] duale a [tex]\xi_1,\ldots, \xi_m[/tex]. Allora se [tex]\displaystyle \sum_{i,j} \lambda_{ij} \phi(\mathbf v_i, \xi_j) = 0[/tex], valutando su [tex]\mathbf w_k[/tex] otteniamo
[tex]\displaystyle \sum_i \lambda_{ik} \mathbf v_i = \mathbf 0[/tex]
e quindi [tex]\lambda_{ik} = 0[/tex] per ogni [tex]i[/tex] e per ogni [tex]k[/tex], quindi i nostri elementi sono linearmente indipendenti. D'altra parte, se [tex]f \in \hom(E_p, T_p M)[/tex] allora scriviamo [tex]f(\mathbf w_i) = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \mathbf v_j[/tex]. Allora dichiaro che [tex]f = \sum_{ij} a_{ij} \phi(\mathbf v_i, \xi_j)[/tex]. Infatti, basterà controllare sui vettori della base di [tex]T_p M[/tex], e lì l'uguaglianza vale per costruzione (e per il fatto che abbiamo scelto basi duali). []
Fin qui ci sono. Si poteva terminare l'ultima parte dicendo che [tex]\hom(T_p M, E_p)[/tex] ha dimensione m*n?
"maurer":
Ora, se [tex]\psi \colon E_p \times T^*_p M \to C[/tex] è una qualsiasi mappa bilineare, allora definiamo [tex]\widetilde{\psi} \colon \hom(E_p,T_p M) \to C[/tex] nel seguente modo: [tex]\displaystyle \widetilde{\psi}(f) = \widetilde{\psi} \left( \sum_{ij} a_{ij} \phi(\mathbf v_i, \xi_j) \right) = \sum_{ij} a_{ij} \psi( \mathbf v_i, \xi_j)[/tex]. Ti invito a controllare che:
1) [tex]\widetilde{\psi} \circ \phi = \psi[/tex] (praticamente per costruzione!)
2) [tex]\widetilde{\psi}[/tex] è l'unica mappa di spazi vettoriali soddisfacente alla condizione 1).
Non ho capito bene a cosa ti serve questa mappa bilineare e il modulo C. Cmq ho capito la costruzione ed ho controllato quelle due cose.
"maurer":
A questo punto la proprietà universale del prodotto tensore ci dice che [tex]E_p \otimes T_p^* M \cong \hom(T_p M, E_p)[/tex]. Ti è chiaro quest'ultimo passaggio? (
Qui non ho capito come hai applicato la proprieta' unversale. Io credo di sapere che dalle proprieta' della [tex]\phi[/tex] si ha automaticamente una applicazione lineare da [tex]E_p \otimes T_p^* M[/tex] in [tex]\hom(T_p M, E_p)[/tex]. Questa applicazione per quanto hai dimostrato e' suriettiva. Inoltre sappiamo che la dimensione del prodotto tensore e' mn (in quanto i vettori di rango uno sono una base) e quindi abbiamo un isomorfismo.
In effetti cosi ho usato il fatto di essere in dimensione finita, essenzialmente per conotrollare che la prima mappa e' suriettiva (ma forse e' vero anche in dimensione infinita) e che la mappa data gratuitamente dalla proprieta' universale e' un isomorfismo...
ovviamente come hai fatto notare tu e' importante osservare che l'isomorfismo e' canonico, vero? altrimenti tutti gli spazi vettoriale con la stessa dimensione sono isomorfi... ... forse e' in questo che l'approccio universale al problema e' un po' migliore...
... forse e' in questo che l'approccio universale al problema e' un po' migliore...
"Thomas":
Fin qui ci sono. Si poteva terminare l'ultima parte dicendo che [tex]\hom(T_p M, E_p)[/tex] ha dimensione m*n?
Mmm... in fondo era quello che volevo provare (oltre ad esibire una base con buone proprietà). Se hai un modo più intelligente per dimostrare che quella è la dimensione giusta, ovviamente la risposta è sì.
"Thomas":
[quote="maurer"]
Ora, se [tex]\psi \colon E_p \times T^*_p M \to C[/tex] è una qualsiasi mappa bilineare, allora definiamo [tex]\widetilde{\psi} \colon \hom(E_p,T_p M) \to C[/tex] nel seguente modo: [tex]\displaystyle \widetilde{\psi}(f) = \widetilde{\psi} \left( \sum_{ij} a_{ij} \phi(\mathbf v_i, \xi_j) \right) = \sum_{ij} a_{ij} \psi( \mathbf v_i, \xi_j)[/tex]. Ti invito a controllare che:
1) [tex]\widetilde{\psi} \circ \phi = \psi[/tex] (praticamente per costruzione!)
2) [tex]\widetilde{\psi}[/tex] è l'unica mappa di spazi vettoriali soddisfacente alla condizione 1).
Non ho capito bene a cosa ti serve questa mappa bilineare e il modulo C. Cmq ho capito la costruzione ed ho controllato quelle due cose.[/quote]
Eheh, servono per far entrare in gioco la proprietà universale. Qui (sezione 0.5) ho parlato in lungo ed in largo delle proprietà universali e delle loro caratteristiche. Te la riformulo brevemente in questo contesto: la proprietà universale del prodotto tensore dice che per ogni mappa bilineare [tex]\psi \colon A \times B \to C[/tex] esiste un'unica mappa lineare [tex]\widetilde{\psi} \colon A \otimes B \to C[/tex] tale che [tex]\widetilde{\psi} \circ \eta = \psi[/tex] (dove [tex]\eta \colon A \times B \to A \otimes B[/tex] è la mappa canonica [tex](a,b) \mapsto a \otimes b[/tex]). Quindi ti ho fatto controllare che la coppia [tex](\hom(T_pM, E_p),\phi)[/tex] soddisfa la proprietà universale del prodotto tensore!
"Thomas":
[quote="maurer"]
A questo punto la proprietà universale del prodotto tensore ci dice che [tex]E_p \otimes T_p^* M \cong \hom(T_p M, E_p)[/tex]. Ti è chiaro quest'ultimo passaggio? (
Qui non ho capito come hai applicato la proprieta' unversale. Io credo di sapere che dalle proprieta' della [tex]\phi[/tex] si ha automaticamente una applicazione lineare da [tex]E_p \otimes T_p^* M[/tex] in [tex]\hom(T_p M, E_p)[/tex]. Questa applicazione per quanto hai dimostrato e' suriettiva. Inoltre sappiamo che la dimensione del prodotto tensore e' mn (in quanto i vettori di rango uno sono una base) e quindi abbiamo un isomorfismo.
In effetti cosi ho usato il fatto di essere in dimensione finita, essenzialmente per conotrollare che la prima mappa e' suriettiva (ma forse e' vero anche in dimensione infinita) e che la mappa data gratuitamente dalla proprieta' universale e' un isomorfismo...[/quote]
No no, il fatto che stai lavorando con oggetti di dimensione finita serve esclusivamente nella dimostrazione del Claim di prima. Adesso è un puro giochetto formale basato sul fatto che se due diversi oggetti soddisfano la stessa proprietà universale, allora sono isomorfi (tramite un unico isomorfismo). Di nuovo, nella sezione 0.5 che ho linkato precedentemente dimostro questa proprietà in modo molto formale ed elegante (a mio avviso). Qui si può adattare la dimostrazione in modo da evitare la parola comma categoria. Concretamente, supponi che [tex](S,\alpha)[/tex] e [tex](T,\beta)[/tex] soddisfino entrambi alla proprietà universale del prodotto tensoriale di [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]. Considera il diagramma (fatto con TeXtheWorld):
[; \xymatrix{ & S \ar@{.>}[d]^{\widetilde{\beta}} \\ A \times B \ar[ur]^{\alpha} \ar[r]^-\beta \ar[dr]_{\alpha} & T \ar@{.>}[d]^{\widetilde{\alpha}} \\ & S };]
Allora, [tex]\widetilde{\beta} \colon S \to T[/tex] è ottenuto per proprietà universale di [tex](S,\alpha)[/tex], mentre [tex]\widetilde{\alpha} \colon T \to S[/tex] è ottenuto per proprietà universale di [tex](T,\beta)[/tex]. Vorremmo verificare che [tex]\widetilde{\alpha} \circ \widetilde{\beta} = \text{id}_S[/tex]. Beh, ma guarda un po': [tex]\widetilde{\alpha} \circ \widetilde{\beta} \circ \alpha = \widetilde{\alpha} \circ \beta = \alpha = \alpha \circ \text{id}_S[/tex]. Ma allora [tex]\widetilde{\alpha} \circ \widetilde{\beta}[/tex] è esattamente la mappa ottenuta applicando la proprietà universale di [tex](S,\alpha)[/tex] alla mappa [tex]\alpha[/tex] stessa! E siccome l'identità di S ha questa proprietà, segue che le due sono uguali (parte di unicità della proprietà universale).
Capisci che l'altra composizione si tratta esattamente nello stesso modo. Quindi [tex]\widetilde{\alpha} \colon T \to S[/tex] è l'unico isomorfismo di [tex]T,S[/tex] che rende commutativo il diagramma.
"Thomas":
ovviamente come hai fatto notare tu e' importante osservare che l'isomorfismo e' canonico, vero? altrimenti tutti gli spazi vettoriale con la stessa dimensione sono isomorfi...
Certo, non ha praticamente senso considerare costruzioni non canoniche! Il punto è che se fai delle scelte, hai dei problemi a trasportarle ad altri oggetti, quindi le costruzioni non canoniche sono utilizzabili solo quando si lavora all'interno di un oggetto singolo, non in contesti come questo, dove bisogna comparare tanti diversi oggetti tra di loro. E' in contesti come questo che la teoria delle categorie rivela il suo pieno potenziale!
P.S. Nota anche che ho utilizzato la stessa tecnica proposta qui per dimostrare molte proprietà del prodotto tensore nella sezione 1.2 dell'ormai solito thread...
"Thomas":
Usando la proprieta' universale del prodotto tensore mi sembra che noi abbiamo automaticamente un isomorfismo tra [tex]E_p \otimes T^*M_p[/tex] e $Hom(E_p,TM_p)$ (ed operativamente sappiamo anche come calcolare questo isomorfismo per i tensori di rango uno).
Prima non avevo fatto caso alla parte in grassetto. Ma sei sicuro di avere quella limitazione? Guarda che se ci pensi sai calcolarla operativamente per tensori di qualsiasi rango!
eh... il punto e' che non ho mica avuto il tempo per studiarmelo quel thread 
... pian piano leggo anche se devo ammettere che ogni tanto i termini sono un po' complessi
In ogni caso credo ci sia un misunderstanding dimmi se sei d'accordo. Noi stiamo seguendo procedure diverse, pur usando sempre la proprieta' universale.
TU: vedi che [tex]hom(E_p,T_pM)[/tex] rispetta la proprieta' universale. E da questo deduce che e' isomorfo al prodotto tensore [tex]E_p \otimes T_pM[/tex].
Per vedere che rispetta la proprieta' universale usi la finitezza delle dimensioni.
IO: ho preso [tex]E_p \times T_pM[/tex] ed applicando la proprieta' universale con $C=hom(E_p,T_pM)$ mi sono costruito un operatore lineare tra [tex]E_p \otimes T_pM[/tex] e $hom(E_p,T_pM)$. Per dimostrare che questo operatore e' iniettivo e suriettivo uso la finitezza delle dimensioni.
Per quanto riguarda i tensori di rango 1 intendi che se conosco questo isomorfismo per i tensori di rango uno che sono una base lo conosco ovunque vero? Se e' cosi' ok ci sono!
... pian piano leggo anche se devo ammettere che ogni tanto i termini sono un po' complessi In ogni caso credo ci sia un misunderstanding dimmi se sei d'accordo. Noi stiamo seguendo procedure diverse, pur usando sempre la proprieta' universale.
TU: vedi che [tex]hom(E_p,T_pM)[/tex] rispetta la proprieta' universale. E da questo deduce che e' isomorfo al prodotto tensore [tex]E_p \otimes T_pM[/tex].
Per vedere che rispetta la proprieta' universale usi la finitezza delle dimensioni.
IO: ho preso [tex]E_p \times T_pM[/tex] ed applicando la proprieta' universale con $C=hom(E_p,T_pM)$ mi sono costruito un operatore lineare tra [tex]E_p \otimes T_pM[/tex] e $hom(E_p,T_pM)$. Per dimostrare che questo operatore e' iniettivo e suriettivo uso la finitezza delle dimensioni.
Per quanto riguarda i tensori di rango 1 intendi che se conosco questo isomorfismo per i tensori di rango uno che sono una base lo conosco ovunque vero? Se e' cosi' ok ci sono!
"Thomas":
TU: vedi che [tex]hom(E_p,T_pM)[/tex] rispetta la proprieta' universale. E da questo deduce che e' isomorfo al prodotto tensore [tex]E_p \otimes T_pM[/tex].
Per vedere che rispetta la proprieta' universale usi la finitezza delle dimensioni.
IO: ho preso [tex]E_p \times T_pM[/tex] ed applicando la proprieta' universale con $C=hom(E_p,T_pM)$ mi sono costruito un operatore lineare tra [tex]E_p \otimes T_pM[/tex] e $hom(E_p,T_pM)$. Per dimostrare che questo operatore e' iniettivo e suriettivo uso la finitezza delle dimensioni.
Sì è così.
"Thomas":
Per quanto riguarda i tensori di rango 1 intendi che se conosco questo isomorfismo per i tensori di rango uno che sono una base lo conosco ovunque vero? Se e' cosi' ok ci sono!
Sì, è grossomodo quello che intendevo. Vorrei solo invitarti a non affezionarti troppo alle basi, perché il prodotto tensore ha senso in luoghi più generali degli spazi vettoriali e lì hai solo un sistema di generatori. Comunque sì, il senso è quello.
capisco. Ora devo pero' capire come visualizzare il diagramma del post precedente per capire bene che hai fatto per dimostrare che due spazi che rispettano la proprieta' universale sono isomorfi... quando ci riesco potro' capire appieno la tua dimostrazione... .. e poi magari torniamo al discorso iniziale ovvero il legame tra questo isomorfismo e le definizioni equivalenti di sezioni se ce ne e' bisogno!...
.. e poi magari torniamo al discorso iniziale ovvero il legame tra questo isomorfismo e le definizioni equivalenti di sezioni se ce ne e' bisogno!...
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