Connessione per archi e gruppo fondamentale
Ciao a tutti! Non riesco proprio a trovare una soluzione, anche informale, di questo esercizio:
$S =$ $S^4$ $sub$ $RR^5$ e $K = { (x_1, ..., x_5) in S^4 : x_4 = x_5 = 0}$
$W = S^4 - K$
1. $W$ è connesso per archi?
2. gruppo fondamentale di $W$?
Ho provato sostanzialmente due strade:
1. Cercare dei sottoinsiemi di $W$ connessi per archi con intersezione connessa per archi
2. Considerare $S^4$ come compattificazione di Alexandrov di $RR^4$ e portare il problema per l'appunto in $RR^4$
Qualche suggerimento??
Grazie!
$S =$ $S^4$ $sub$ $RR^5$ e $K = { (x_1, ..., x_5) in S^4 : x_4 = x_5 = 0}$
$W = S^4 - K$
1. $W$ è connesso per archi?
2. gruppo fondamentale di $W$?
Ho provato sostanzialmente due strade:
1. Cercare dei sottoinsiemi di $W$ connessi per archi con intersezione connessa per archi
2. Considerare $S^4$ come compattificazione di Alexandrov di $RR^4$ e portare il problema per l'appunto in $RR^4$
Qualche suggerimento??
Grazie!
Risposte
Direi che manca la strada più ovvia.. Come è fatto \(W\)? A livello di equazioni puoi vederlo ad esempio come l'insieme:
\[ W = \{ (x_1, \dots, x_5) \in S^4 \colon x_4 \neq 0 \lor x_5 \neq 0 \} = S^4 - ( \pi_4 \cap \pi_5 ) = S^4 \cap \bigl(\mathbb{R}^5 - ( \pi_4 \cap \pi_5 ) \bigr), \]
dove \( \pi_i \) è l'iperpiano di equazione \( x_i = 0 \) in \( \mathbb{R}^5. \) Questa intersezione sarà ovviamente un sottospazio di codimensione \(2\).
\[ W = \{ (x_1, \dots, x_5) \in S^4 \colon x_4 \neq 0 \lor x_5 \neq 0 \} = S^4 - ( \pi_4 \cap \pi_5 ) = S^4 \cap \bigl(\mathbb{R}^5 - ( \pi_4 \cap \pi_5 ) \bigr), \]
dove \( \pi_i \) è l'iperpiano di equazione \( x_i = 0 \) in \( \mathbb{R}^5. \) Questa intersezione sarà ovviamente un sottospazio di codimensione \(2\).
Forse ci sono ma non vorrei aver frainteso..
Posso vedere $W = S^4 - (S^4 nn (\pi_4 nn \pi_5))$ come retratto forte di $RR^5 - (\pi_4 nn \pi_5)$ perchè $O in \pi_4 nn \pi_5$
inoltre ho che $(S^4 nn (\pi_4 nn \pi_5)) ~= S^2$ con $N = (1, 0,..,0) in S^2 sub S^4$
la proiezione stereografica mi da l'omeomorfismo $p: S^4 - N \to RR^4 ~= {(0, x_2, ..., x_5)}$ e posso restringerla a
$p: S^4 - (S^4 nn (\pi_4 nn \pi_5)) \to RR^4 - p(\pi_4 nn \pi_5)$ dove $p(\pi_4 nn \pi_5)$ dovrebbe essere ${(0, x_2, x_3, 0, 0)}$
se non ho scritto stupidate dovrei quindi avere che $\Pi_1(S^4 - (S^4 nn (\pi_4 nn \pi_5))) ~= \Pi_1(RR^4 - p(\pi_4 nn \pi_5))$ e ripetendo lo stesso discorso arrivo a studiare $\Pi_1(RR^3-{\text{retta}}) ~= \Pi_1(S^2-{\text{2 punti}}) ~= \Pi_1(R^2-{\text{1 punto}}) ~= ZZ$
Sono stato forse un po' prolisso ma una volta nella vita vorrei fare le cose per bene.. ha senso ciò che ho scritto??
Posso vedere $W = S^4 - (S^4 nn (\pi_4 nn \pi_5))$ come retratto forte di $RR^5 - (\pi_4 nn \pi_5)$ perchè $O in \pi_4 nn \pi_5$
inoltre ho che $(S^4 nn (\pi_4 nn \pi_5)) ~= S^2$ con $N = (1, 0,..,0) in S^2 sub S^4$
la proiezione stereografica mi da l'omeomorfismo $p: S^4 - N \to RR^4 ~= {(0, x_2, ..., x_5)}$ e posso restringerla a
$p: S^4 - (S^4 nn (\pi_4 nn \pi_5)) \to RR^4 - p(\pi_4 nn \pi_5)$ dove $p(\pi_4 nn \pi_5)$ dovrebbe essere ${(0, x_2, x_3, 0, 0)}$
se non ho scritto stupidate dovrei quindi avere che $\Pi_1(S^4 - (S^4 nn (\pi_4 nn \pi_5))) ~= \Pi_1(RR^4 - p(\pi_4 nn \pi_5))$ e ripetendo lo stesso discorso arrivo a studiare $\Pi_1(RR^3-{\text{retta}}) ~= \Pi_1(S^2-{\text{2 punti}}) ~= \Pi_1(R^2-{\text{1 punto}}) ~= ZZ$
Sono stato forse un po' prolisso ma una volta nella vita vorrei fare le cose per bene.. ha senso ciò che ho scritto??
Ad una rapida occhiata il tuo metodo mi sembra corretto, ma inutilmente complicato.. In realtà la mia idea era molto più semplice. Volevo principalmente farti vedere che \(K\) è semplicemente un sottospazio di dimensione \(3\) di \(\mathbb{R}^5\) per cui abbiamo che \( \mathbb{R}^5 - K \cong \mathbb{R}^3 \times (\mathbb{R}^2 - \{O\}) \) dove \(O\) è l'origine. Siccome, come hai già giustamente osservato, \( S^4 - K \) è un retratto forte di deformazione di \( \mathbb{R}^5 - K \) possiamo ridurci a calcolare il gruppo fondamentale di quest'ultimo che, vista l'osservazione precedente, sarà semplicemente \( \mathbb{Z} \) per il teorema sul gruppo fondamentale del prodotto di spazi.
Di fatto mancherebbe ancora da dimostrare il primo punto comunque. Ma per quello si potrebbe addirittura mostrare un esempio di cammino tra due punti qualsiasi dello spazio.
Di fatto mancherebbe ancora da dimostrare il primo punto comunque. Ma per quello si potrebbe addirittura mostrare un esempio di cammino tra due punti qualsiasi dello spazio.
Ahhhh ho capito quello che intendevi!! Scusa non mi era chiarissimo! Bello! Grazie mille! 
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