Connessione per archi di complementari di sottospazi affini in $RR^n$
Sia $WsubRR^n$ un sottospazio affine di dimensione $k ≤n-2$. Si provi che $RR^n\\W$ è connesso per archi.
Io ho pensato di fare per induzione per $n>=2$:
Passo base) Se prendo $RR^2$ e lo privo di un punto $P$ abbiamo due casi: se prendo due punti $x,y$ (non coincidenti e diversi da $P$) tali che $x,y,P $ non sono allineati allora posso collegare $x$ e $y$ con un segmento; se invece $x,y,P$ sono allineati allora prendo un punto $z$ che non appartiene alla retta che allinea $x,y,P$ e quindi posso collegare $x$ a $z$ e $z$ a $y$, da cui ho la connessione per archi da $x$ a $y$.
Passo induttivo) Supponiamo che si vero che $RR^(n-1)\\T$ sia connesso per archi con $TsubRR^(n-1)$ un sottospazio affine di dimensione $k<=n-3$. Prendo due punti $x,yinRR^n\\W$ (non coincidenti), considero l'iperpiano $RR^(n-1)$ che contiene questi due punti ma non contiene $W$ (questo esiste poichè $x,ynotinW$). Si ha che $RR^(n-1)\\W=RR^(n-1)\\T$ con $TsubRR^(n-1)$ un sottospazio affine di dimensione $k<=n-3$, per ipotesi induttiva $RR^(n-1)\\T$ è connesso per archi e quindi posso connettere per archi $x$ e $y$, quindi $RR^n\\W$ è connesso per archi. Può andare bene?
Io ho pensato di fare per induzione per $n>=2$:
Passo base) Se prendo $RR^2$ e lo privo di un punto $P$ abbiamo due casi: se prendo due punti $x,y$ (non coincidenti e diversi da $P$) tali che $x,y,P $ non sono allineati allora posso collegare $x$ e $y$ con un segmento; se invece $x,y,P$ sono allineati allora prendo un punto $z$ che non appartiene alla retta che allinea $x,y,P$ e quindi posso collegare $x$ a $z$ e $z$ a $y$, da cui ho la connessione per archi da $x$ a $y$.
Passo induttivo) Supponiamo che si vero che $RR^(n-1)\\T$ sia connesso per archi con $TsubRR^(n-1)$ un sottospazio affine di dimensione $k<=n-3$. Prendo due punti $x,yinRR^n\\W$ (non coincidenti), considero l'iperpiano $RR^(n-1)$ che contiene questi due punti ma non contiene $W$ (questo esiste poichè $x,ynotinW$). Si ha che $RR^(n-1)\\W=RR^(n-1)\\T$ con $TsubRR^(n-1)$ un sottospazio affine di dimensione $k<=n-3$, per ipotesi induttiva $RR^(n-1)\\T$ è connesso per archi e quindi posso connettere per archi $x$ e $y$, quindi $RR^n\\W$ è connesso per archi. Può andare bene?
Risposte
Probabilmente è meglio ragionare sulla dimensione del sottospazio generato da $W$ e dai due punti $x,y$: può essere $n-1$, se i punti sono "complanari", cioè se \(y\in \langle W,x\rangle\), oppure $n$, se non succede, e in ciascuno dei casi concludi in un modo o nell'altro.
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