Connessione per archi

[ludovica.sarandrea]

Buonasera a tutti,
ho il seguente teorema:
"dato uno spazio topologico X, connesso per archi, allora X e' connesso" (di cui non ho una dimostrazione, se poteste indicarmela ve ne sarei grata)
So che il viceversa non e' vero e ho come controesempio il pettine del topologo dove ho $B=U (B_n U ([0,1]x{0}))$ e $A={i}$
$X=A U B$ che e' il pettine del topologo. Ho dimostrato che e' connesso ma non riesco a far vedere che non e' connesso per archi. Aiuto?

[killing_buddha]

Supponi che $X$ sia connesso per archi, e che si scriva come unione di due aperti $U,V$ disgiunti; devi mostrare che uno è vuoto (e quindi l'altro è $X$). Prendi un punto in $U$ e un punto in $V$, per ipotesi esiste una funzione continua $\gamma : [0,1]\to X$ che unisce $u$ a $v$ (cioè $\gamma(0)=u, \gamma(1)=v$). Ops! Allora $\gamma^\leftarrow U \cup \gamma^\leftarrow V$ è una coppia di aperti disgiunti che copre \([0,1]\), che però è connesso (dimostrazione: in diciottomila modi diversi, scegli il tuo preferito).

Poi forse ti sei confusa a scrivere, il pettine è connesso, ma non per archi.

[otta96]

Non si capisce qual è la definizione del pettine del topologo, e non si capisce se secondo te è connesso per archi oppure no (dici che è un controesempio all'implicazione connesso $=>$ connesso per archi, ma poi dici che vuoi dimostrare che è connesso per archi), quindi potresti riscrivere in modo più chiaro possibile la definizione che conosci te per poterti aiutare meglio?
Ad ogni modo visto che ci sono ti do un suggerimento per dimostrare che uno spazio connesso per archi è connesso: imposta la dimostrazione per assurdo e applica la definizione di connesso per archi opportunamente.

EDIT: Ops, non avevo visto che Killing_buddha aveva già risposto...