Connessione: iperpiani e sottospazi in $RR^n$
Eh già, avete ragione. 
Sono un po' arruginito in topologia
Problema. Sia $S$ un sottoinsieme dello spazio topologico connesso $X$. Diremo che $S$ sconnette $X$ se $X setminus S$ è sconnesso. Dimostrare che un iperpiano sconnette $RR^n$ e che un sottospazio affine di dimensione $m \le n-2$ non sconnette $RR^n$, $n \ge 2$.
Allora, mi pare ovvio che un iperpiano $H$ sconnette $RR^n$. Se indichiamo con $\sum_{i=1}^{n} a_i x_i+b=0$ la sua equazione, allora direi che $\{f>0\}$ e $\{f<0\}$ sono due aperti disgiunti la cui unione è tutto $\RR^n \setminus H$.
Il problema è sull'altro pezzo: ho il sospetto che si possa provare addirittura qualcosa di più forte, ma ho paura di sbagliarmi. Se $W$ è un sottospazio affine di $\RR^n$, di dimensione $m \le n-2$, secondo voi $RR^n setminus W$ è connesso per archi?
Pensiamo a $RR^2-\{(0,0)\}$: è connesso per archi, no? E anche $RR^3$ meno una retta, giusto?
Che ne pensate? Idee su come dimostrarlo (ammesso che sia vero)?
Vi ringrazio
Sono un po' arruginito in topologia
Problema. Sia $S$ un sottoinsieme dello spazio topologico connesso $X$. Diremo che $S$ sconnette $X$ se $X setminus S$ è sconnesso. Dimostrare che un iperpiano sconnette $RR^n$ e che un sottospazio affine di dimensione $m \le n-2$ non sconnette $RR^n$, $n \ge 2$.
Allora, mi pare ovvio che un iperpiano $H$ sconnette $RR^n$. Se indichiamo con $\sum_{i=1}^{n} a_i x_i+b=0$ la sua equazione, allora direi che $\{f>0\}$ e $\{f<0\}$ sono due aperti disgiunti la cui unione è tutto $\RR^n \setminus H$.
Il problema è sull'altro pezzo: ho il sospetto che si possa provare addirittura qualcosa di più forte, ma ho paura di sbagliarmi. Se $W$ è un sottospazio affine di $\RR^n$, di dimensione $m \le n-2$, secondo voi $RR^n setminus W$ è connesso per archi?
Pensiamo a $RR^2-\{(0,0)\}$: è connesso per archi, no? E anche $RR^3$ meno una retta, giusto?
Che ne pensate? Idee su come dimostrarlo (ammesso che sia vero)?
Vi ringrazio
Risposte
Per essere vero, sicuramente è vero. Io farei un discorso basato sulla sfera unitaria \(\mathbb{S}^{n-1} \subset \mathbb{R}^n\). Infatti se si riesce a dimostrare che \(\mathbb{S}^{n-1} \setminus W\) è connessa per archi (il che mi pare più abbordabile), poi basterà osservare che ogni punto \(x\) in \(\mathbb{R}^n \setminus W\) si può connettere ad un punto di \(\mathbb{S}^{n-1}\) mediante il segmento \(\{\lambda x\}\), dove \(\lambda\) varia tra \(1/\lvert x \rvert\) e \(1\) (o viceversa, a seconda di quale dei due sia più piccolo).
Grazie per la risposta.
Bene, era una conferma di cui avevo proprio bisogno.
Ho capito l'idea. Purtroppo, però non vedo il vantaggio di passare alla sfera unitaria: cioè, non saprei come dimostrare formalmente che \(\mathbb{S}^{n-1} \setminus W\) è connessa per archi. E' chiaro che è vero, ma come lo dimostro? Mi metto a scrivere un cammino che congiunge due punti sulla sfera meno un punto, sulla sfera meno una retta etc.
Mi sa di no. Ci sarà un trucco sotto, un trucco che non vedo.
Ho risolto il caso base in $RR^{n}$: se tolgo un punto, è ovvio che lo spazio resta connesso per archi perchè posso tranquillamente "girare attorno al buco": ho diversi percorsi tra cui scegliere, c'è da sbizzarrirsi con la fantasia. Bisogna solo fare attenzione a non scrivere parametrizzazzioni diverse di una stessa curva, ma la cosa si fa.
Ma se levo qualcosa in più di un punto? Se tolgo una retta, in $\RR^{3}$? Suggerisci di passare da $mathbb{S}^2$: mi ritrovo con una sfera senza due punti antipodali: lo vedo che posso connettere tutti i punti sulla superficie con un cammino, ma come lo scrivo?
Spero di essermi spiegato.
Grazie mille
"dissonance":
Per essere vero, sicuramente è vero.
Bene, era una conferma di cui avevo proprio bisogno.
"dissonance":
Io farei un discorso basato sulla sfera unitaria \(\mathbb{S}^{n-1} \subset \mathbb{R}^n\). Infatti se si riesce a dimostrare che \(\mathbb{S}^{n-1} \setminus W\) è connessa per archi (il che mi pare più abbordabile), poi basterà osservare che ogni punto \(x\) in \(\mathbb{R}^n \setminus W\) si può connettere ad un punto di \(\mathbb{S}^{n-1}\) mediante il segmento \(\{\lambda x\}\), dove \(\lambda\) varia tra \(1/\lvert x \rvert\) e \(1\) (o viceversa, a seconda di quale dei due sia più piccolo).
Ho capito l'idea. Purtroppo, però non vedo il vantaggio di passare alla sfera unitaria: cioè, non saprei come dimostrare formalmente che \(\mathbb{S}^{n-1} \setminus W\) è connessa per archi. E' chiaro che è vero, ma come lo dimostro? Mi metto a scrivere un cammino che congiunge due punti sulla sfera meno un punto, sulla sfera meno una retta etc.
Mi sa di no. Ci sarà un trucco sotto, un trucco che non vedo.
Ho risolto il caso base in $RR^{n}$: se tolgo un punto, è ovvio che lo spazio resta connesso per archi perchè posso tranquillamente "girare attorno al buco": ho diversi percorsi tra cui scegliere, c'è da sbizzarrirsi con la fantasia. Bisogna solo fare attenzione a non scrivere parametrizzazzioni diverse di una stessa curva, ma la cosa si fa.
Ma se levo qualcosa in più di un punto? Se tolgo una retta, in $\RR^{3}$? Suggerisci di passare da $mathbb{S}^2$: mi ritrovo con una sfera senza due punti antipodali: lo vedo che posso connettere tutti i punti sulla superficie con un cammino, ma come lo scrivo?
Spero di essermi spiegato.
Grazie mille
Provo a fornirne una dimostrazione per i sottospazi di dimensione \(\displaystyle n-2 \). Userò comunque il fatto che gli iperpiani dividono \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) in \(\displaystyle 2 \) componenti connesse. Si tenga comunque conto che connessione in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) significa connessione per archi perché \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) è localmente connesso per archi.
Un sottospazio \(\displaystyle \mathcal{S} \) di dimensione \(\displaystyle n-2 \) può sempre essere espresso come intersezione di due iperspazi (forse va scritta una dimostrazione di questo).
Ora siano \(\displaystyle \mathcal{H}_1 \) e \(\displaystyle \mathcal{H}_2 \) due iperpiani la cui intersezione è il sottospazio \(\displaystyle \mathcal{S} \). Ora \(\displaystyle \mathbb{R}^n \setminus \mathcal{H}_i = C_i^+ \amalg C_i^-\) dove \(\displaystyle C_i^{\varepsilon} \) è una delle sue componenti connesse che associo ad un segno (uso \(\displaystyle \amalg \) per indicare che è una unione disgiunta, anche se il simbolo non è proprio standard).
Per ovvie ragioni si ha che questi due iperpiani dividono \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) in 9 insiemi disgiunti e connessi per archi: \(\displaystyle \mathcal{S} \), \(\displaystyle \mathcal{A}_1 = \mathcal{H}_1 \cap C_2^+\), \(\displaystyle \mathcal{A}_2 = \mathcal{H}_1 \cap C_2^-\), \(\displaystyle \mathcal{A}_3 = \mathcal{H}_2 \cap C_1^+\), \(\displaystyle \mathcal{A}_4 = \mathcal{H}_2 \cap C_1^-\), \(\displaystyle \mathcal{A}_5 = C_1^+ \cap C_2^+\), \(\displaystyle \mathcal{A}_6 = C_1^+ \cap C_2^-\), \(\displaystyle \mathcal{A}_7 = C_1^- \cap C_2^+\), \(\displaystyle \mathcal{A}_8 = C_1^- \cap C_2^-\). Quindi \(\displaystyle \mathbb{R}^n \setminus \mathcal{S} = \coprod_{i=1}^8 \mathcal{A}_i\)
D'altra parte \(\displaystyle \coprod_{i=1}^8 \mathcal{A}_i = C_1^+ \cup C_1^- \cup C_2^+ \cup C_2^- \) ma questo è un insieme connesso. Perché ognuno ha intersezione non nulla con altri 2.
Forse ho fatto qualche passaggio inutile e qualcosa va spiegato meglio ma penso che almeno come idea possa andare (non ci ho pensato troppo).
Un sottospazio \(\displaystyle \mathcal{S} \) di dimensione \(\displaystyle n-2 \) può sempre essere espresso come intersezione di due iperspazi (forse va scritta una dimostrazione di questo).
Ora siano \(\displaystyle \mathcal{H}_1 \) e \(\displaystyle \mathcal{H}_2 \) due iperpiani la cui intersezione è il sottospazio \(\displaystyle \mathcal{S} \). Ora \(\displaystyle \mathbb{R}^n \setminus \mathcal{H}_i = C_i^+ \amalg C_i^-\) dove \(\displaystyle C_i^{\varepsilon} \) è una delle sue componenti connesse che associo ad un segno (uso \(\displaystyle \amalg \) per indicare che è una unione disgiunta, anche se il simbolo non è proprio standard).
Per ovvie ragioni si ha che questi due iperpiani dividono \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) in 9 insiemi disgiunti e connessi per archi: \(\displaystyle \mathcal{S} \), \(\displaystyle \mathcal{A}_1 = \mathcal{H}_1 \cap C_2^+\), \(\displaystyle \mathcal{A}_2 = \mathcal{H}_1 \cap C_2^-\), \(\displaystyle \mathcal{A}_3 = \mathcal{H}_2 \cap C_1^+\), \(\displaystyle \mathcal{A}_4 = \mathcal{H}_2 \cap C_1^-\), \(\displaystyle \mathcal{A}_5 = C_1^+ \cap C_2^+\), \(\displaystyle \mathcal{A}_6 = C_1^+ \cap C_2^-\), \(\displaystyle \mathcal{A}_7 = C_1^- \cap C_2^+\), \(\displaystyle \mathcal{A}_8 = C_1^- \cap C_2^-\). Quindi \(\displaystyle \mathbb{R}^n \setminus \mathcal{S} = \coprod_{i=1}^8 \mathcal{A}_i\)
D'altra parte \(\displaystyle \coprod_{i=1}^8 \mathcal{A}_i = C_1^+ \cup C_1^- \cup C_2^+ \cup C_2^- \) ma questo è un insieme connesso. Perché ognuno ha intersezione non nulla con altri 2.
Forse ho fatto qualche passaggio inutile e qualcosa va spiegato meglio ma penso che almeno come idea possa andare (non ci ho pensato troppo).
Credo che si possa fare in modo pulito con l'induzione. Sia [tex]V=\mathbb{R}^n[/tex] e sia [tex]L[/tex] un sottospazio affine di [tex]V[/tex] di dimensione al più [tex]n-2[/tex]. Vogliamo mostrare che [tex]V-L[/tex] è connesso per archi. Diciamo che l'abbiamo verificato fino a [tex]4[/tex], e quindi supponiamo [tex]n \geq 5[/tex]. E' chiaro, per come è fatta la topologia in questione, che non è minimamente restrittivo supporre che [tex]L[/tex] sia definito dalle equazioni [tex]x_1=x_2=0[/tex]. Ora prendiamo due punti [tex]P=(p_1,...,p_5,...)[/tex], [tex]Q=(q_1,...,q_5,...) \in V-L[/tex]. Sia [tex]f(x_3,x_4,x_5) = 0[/tex] l'equazione di un iperpiano di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] contenente [tex](p_3,p_4,p_5)[/tex] e [tex](q_3,q_4,q_5)[/tex]. Questa stessa equazione definisce un iperpiano [tex]H[/tex] di [tex]V[/tex] contenente [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex] e non contenente [tex]L[/tex]. Ma allora [tex]\dim(H \cap L) \leq (n-1)-2[/tex] e possiamo usare l'ipotesi induttiva, concludendo.
Oh, bene. Vi ringrazio molto per le vostre risposte, direi che ora abbiamo risolto.
Martino, solo una domanda sulla tua risoluzione, davvero molto pulita.
Non ho ben capito da dove esce quella disuguaglianza: come stimi la dimensione dell'intersezione? Con Grassmann?
Comunque, ora possiamo usare questo bel risultato per provare una cosa secondo me davvero forte
Teorema. Non esistono mappe continue iniettive [tex]f \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}[/tex].
Dimostrazione. Per assurdo, sia [tex]f \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}[/tex] continua e iniettiva. In particolare, essendo continua manda connessi in connessi e dunque [tex]f(\mathbb{R}^{n})=I[/tex] è un connesso di [tex]\mathbb{R}[/tex]. Non solo, per iniettività $I$ è necessariamente un intervallo. Bene, ora usiamo il solito argomento di togliere un punto: detto meglio, sia $v \in \RR^n$ tale che $f(v) \in \text{Int}(I)$ (dove con $\text{Int}(\cdot)$ denoto l'interno). Allora per il risultato provato in questo topic, $\RR^{n} \setminus \{v\}$ è connesso (per archi) e quindi la sua immagine continua (che per iniettività è $f(\RR^{n} \setminus \{v\}) = I \setminus \{f(v)\}$) è connessa. Assurdo, perché $f(v)$ sta nell'interno di $I$ e dunque lo sconnette. []
Carino, vero?
Martino, solo una domanda sulla tua risoluzione, davvero molto pulita.
"Martino":
Ma allora [tex]\dim(H \cap L) \leq (n-1)-2[/tex] e possiamo usare l'ipotesi induttiva, concludendo.
Non ho ben capito da dove esce quella disuguaglianza: come stimi la dimensione dell'intersezione? Con Grassmann?
Comunque, ora possiamo usare questo bel risultato per provare una cosa secondo me davvero forte
Teorema. Non esistono mappe continue iniettive [tex]f \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}[/tex].
Dimostrazione. Per assurdo, sia [tex]f \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}[/tex] continua e iniettiva. In particolare, essendo continua manda connessi in connessi e dunque [tex]f(\mathbb{R}^{n})=I[/tex] è un connesso di [tex]\mathbb{R}[/tex]. Non solo, per iniettività $I$ è necessariamente un intervallo. Bene, ora usiamo il solito argomento di togliere un punto: detto meglio, sia $v \in \RR^n$ tale che $f(v) \in \text{Int}(I)$ (dove con $\text{Int}(\cdot)$ denoto l'interno). Allora per il risultato provato in questo topic, $\RR^{n} \setminus \{v\}$ è connesso (per archi) e quindi la sua immagine continua (che per iniettività è $f(\RR^{n} \setminus \{v\}) = I \setminus \{f(v)\}$) è connessa. Assurdo, perché $f(v)$ sta nell'interno di $I$ e dunque lo sconnette. []
Carino, vero?
"Paolo90":
[quote="Martino"] Ma allora [tex]\dim(H \cap L) \leq (n-1)-2[/tex] e possiamo usare l'ipotesi induttiva, concludendo.
Non ho ben capito da dove esce quella disuguaglianza: come stimi la dimensione dell'intersezione? Con Grassmann?[/quote]Beh, il sottospazio [tex]H \cap L[/tex] e' definito dalle tre equazioni indipendenti [tex]x_1=0, x_2=0, f(x_3,x_4,x_5)=0[/tex] e quindi ha dimensione [tex]n-3[/tex]
Ok, in realtà quel [tex]\leq[/tex] è un [tex]=[/tex]. Qui sto supponendo che [tex]L[/tex] abbia dimensione esattamente uguale a [tex]n-2[/tex], forse non l'ho detto sopra, ma ci siamo capiti: per mostrare il risultato per i sottospazi di dimensione al più [tex]n-2[/tex] basta mostrarlo per quelli di dimensione [tex]n-2[/tex].
Chiarissimo, grazie mille.
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