Connessione gruppo simplettico

[lo_scrondo1]

Buonasera a tutti, non sono certo di aver capito perché il gruppo simplettico sul campo reale \(\displaystyle Sp(2n, R) \) non sia semplicemente connesso, mentre quello sul campo complesso \(\displaystyle Sp(2n, C) \) lo sia. Qualcuno può aiutarmi?

[j18eos]

La tua è una domanda vaga: esattamente dove ti blocchi?

[lo_scrondo1]

Difficile dirlo, perché credo di aver capito. Ma non ne sono sicuro, perciò inizierei per gradi: perchè, intuitivamente, una qualsiasi curva sul gruppo non può essere ridotta ad un punto?

[j18eos]

Intuivamente riesci a vederlo per \(sp(2;\mathbb{R})\)?

[lo_scrondo1]

Si, "ci sono"..ti dispiace allora se, per riprova, ti pongo un'altra domanda collegata?

Perchè il gruppo fondamentale di \(\displaystyle Sp(2n,R) \) è \(\displaystyle Z \) e non \(\displaystyle Z^n\)? Con le dimostrazioni mi è chiaro, ma non riesco ancora a "sentirlo" del tutto ovvio ..puoi darmi una interpretazione intuitiva?

Grazie anticipatamente!!!!!

[j18eos]

Prego, ma per quanto riguarda i gruppi fondamentali (che conosco solo di nome) non posso aiutarti.

[lo_scrondo1]

Grazie comunque, sei stato gentile. Devo dire che la faccenda della connessione dei gruppi di Lie, anche se sembra banale è tutt'altro che scontata..

[Studente Anonimo]

Se la vedi con le azioni sulle sfere, ti accorgi che l'unica sfera che dà un contributo diverso da zero è l'unica non semplicemente connessa, quella di dimensione 1. Se vuoi identificare la dimensione [tex]n[/tex] del tuo gruppo ti devi spingere fino al più piccolo gruppo di omotopia che non svanisce.

[killing_buddha]

Prova a trovare la decomposizione KAN del gruppo simplettico col (credo si chiami) teorema di iwasawa. Il gruppo di partenza e la sua parte compatta sono omotopicamente equivalenti, perché la parte abeliana e quella nilpotente si possono scegliere contrattili, e perché il $\pi_1$ commuta coi prodotti.

[lo_scrondo1]

Grazie a tutti. Alla fine ho pensato proprio alla decomposizione di Iwasawa come detto da killing_buddha. Per ora tutto sembra scorrere liscio!