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Ciao a tutti! Un dubbio..
L'insieme $Y=[0,1]\cup(2,3)$ è non connesso in quanto lo stesso è dato dall'unione di due aperti non vuoti disgiunti.
Ora il fatto che si possa scomporre $Y$ nell'unione di due insiemi non vuoti e disgiunti è chiaro
$$A=[0,1]\ne\varnothing\hspace{1 cm}B=(2,3)\ne\varnothing$$
il fatto che siano aperti invece mi crea qualche dubbio, vi spiego perchè:
- Se $A$ è aperto allora per ogni suo punto posso trovare una bolla che sia in esso contenuta. Ma per ogni $\epsilon>0$ se ad esempio $x=0$
$$(-\epsilon,0)\not\subseteq A$$
quindi tale insieme utilizzando la definizione di aperto in uno spazio metrico, non è aperto.
- Se invece utilizzo la definizione di aperto in un sottospazio metrico ad esempio con $0<\epsilon<1$ allora
$$B_{\epsilon}^{y}(0)=B^{x}_{\epsilon}(0)\cap Y=[0,\epsilon]\subseteq A$$
e quindi $A$ è aperto.
Quello che mi chiedo è ogni volta che tratto con uno spazio metrico mi devo prima chiedere se non sia un sottospazio di un altro spazio metrico?
L'insieme $Y=[0,1]\cup(2,3)$ è non connesso in quanto lo stesso è dato dall'unione di due aperti non vuoti disgiunti.
Ora il fatto che si possa scomporre $Y$ nell'unione di due insiemi non vuoti e disgiunti è chiaro
$$A=[0,1]\ne\varnothing\hspace{1 cm}B=(2,3)\ne\varnothing$$
il fatto che siano aperti invece mi crea qualche dubbio, vi spiego perchè:
- Se $A$ è aperto allora per ogni suo punto posso trovare una bolla che sia in esso contenuta. Ma per ogni $\epsilon>0$ se ad esempio $x=0$
$$(-\epsilon,0)\not\subseteq A$$
quindi tale insieme utilizzando la definizione di aperto in uno spazio metrico, non è aperto.
- Se invece utilizzo la definizione di aperto in un sottospazio metrico ad esempio con $0<\epsilon<1$ allora
$$B_{\epsilon}^{y}(0)=B^{x}_{\epsilon}(0)\cap Y=[0,\epsilon]\subseteq A$$
e quindi $A$ è aperto.
Quello che mi chiedo è ogni volta che tratto con uno spazio metrico mi devo prima chiedere se non sia un sottospazio di un altro spazio metrico?
Risposte
Ti sembra che \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\) siano entrambi insiemi aperti?
Ciao J18eos! Allora cosi di primo impatto direi che $A$ non è aperto in quanto i suoi punti non sono tutti interni, mentre $B$ si.
Ok; ma li vedi come sottoinsieme di \(\displaystyle\mathbb{R}\) o di \(\displaystyle Y\)?
Perché a pensarci meglio, può essere che tu non abbia sbagliato... se specifichi una "cosa"!
Perché a pensarci meglio, può essere che tu non abbia sbagliato... se specifichi una "cosa"!
Come è fatta la topologia di \(Y\)?
Sinceramente sono un pò nel pallone..
Allora ricapitoliamo.. dato un insieme $X$ una topologia $\tau$ su $X$ è una famiglia di suoi sottoinsiemi, i cui elementi detti aperti soddisfano queste proprietà:
- l'insieme $X$ e l'insieme vuoto sono aperti
- l'unione numerabile di aperti è un aperto
- l'intersezione finita di aperti è un aperto
Un insieme $X$ sul quale viene fissata una topologia $\tau$ è detto spazio topologico e viene indicato con $(X,\tau)$.
A questo punto seguono le definizioni di chiuso, intorno, chiusura; con i quali ad esempio potrei ridefinire lo spazio topologico in modo equivalente ma utilizzando come "oggetto principale" non gli aperti, ma ad esempio gli intorni, e cosi via.. fin qui mi sembra di esserci.
Comunque applichiamo tutto ciò al caso di uno spazio metrico $(X,d)$, ovvero un insieme $X$ su cui è stata fissata una metrica $d$ che soddisfa le tre note proprietà.
Definiamo prima il concetto di bolla, e poi quello di aperto. Sorvolando sul primo diciamo che un sottoinsieme $V$ di $X$ è aperto se per ogni suo punto esiste una bolla dello stesso contenuta tutta in $V$ (possiamo quindi subito osservare che le bolle sono esse stesse degli aperti).
Ora si dimostra facilmente e quindi sorvoliamo, che l'unione di aperti "metrici" e l'intersezione finita degli stessi è ancora un aperto e quindi (unito al fatto che $X$ e $\emptyset$ sono aperti) possiamo dire che l'insieme $\vartheta(d)$ degli aperti metrici è una topologia per $X$, quindi questi sono aperti "topologici" e $(X,\vartheta(d))$ è uno spazio topologico.
Spero fin qui di non aver detto sciocchezze
.
A questo punto possiamo definire il concetto di sottospazio di uno spazio topologico. Ovvero un sottoinsieme $Y$ di uno spazio topologico $(X,\tau)$ acquisisce una struttura di spazio topologico (che chiamiamo sottospazio) scegliendo come topologia per lo stesso quella $\tau'$ i cui aperti sono ottenuti dall'intersezione tra gli aperti di $\tau$ e l'insieme $Y$.
E anche qui spero di non aver sbagliato nulla.
Facendo un salto in avanti arriviamo al concetto di connessione, ovvero: dato uno spazio topologico $(X,\tau)$ questo è detto connesso se non esistono due aperti non vuoti e disgiunti che lo ricoprono, definizione che porta ad altre definizioni equivalenti che non scrivo.. in pratica la connessione dovrebbe farci vedere come un insieme "sia fatto da un solo pezzo".
Fatto tutto questo ripassone (di cui chiedo conferma) riporto letteralmente quello che ho trovato sul libro:
"Il sottospazio $Y=[0,1]\cup(2,3)\sub RR$ non è connesso, perchè possiamo scomporlo nei due insiemi aperti e non vuoti
$$A=[0,1]\hspace{1 cm}B=(2,3)$$
(riguardo ad $A$) Può costare un pò dover dire che un intervallo chiuso è aperto; ma ricordate che stiamo trattando con la topologia di $Y$ e non con quella di $RR$!."
Allora ricapitoliamo.. dato un insieme $X$ una topologia $\tau$ su $X$ è una famiglia di suoi sottoinsiemi, i cui elementi detti aperti soddisfano queste proprietà:
- l'insieme $X$ e l'insieme vuoto sono aperti
- l'unione numerabile di aperti è un aperto
- l'intersezione finita di aperti è un aperto
Un insieme $X$ sul quale viene fissata una topologia $\tau$ è detto spazio topologico e viene indicato con $(X,\tau)$.
A questo punto seguono le definizioni di chiuso, intorno, chiusura; con i quali ad esempio potrei ridefinire lo spazio topologico in modo equivalente ma utilizzando come "oggetto principale" non gli aperti, ma ad esempio gli intorni, e cosi via.. fin qui mi sembra di esserci.
Comunque applichiamo tutto ciò al caso di uno spazio metrico $(X,d)$, ovvero un insieme $X$ su cui è stata fissata una metrica $d$ che soddisfa le tre note proprietà.
Definiamo prima il concetto di bolla, e poi quello di aperto. Sorvolando sul primo diciamo che un sottoinsieme $V$ di $X$ è aperto se per ogni suo punto esiste una bolla dello stesso contenuta tutta in $V$ (possiamo quindi subito osservare che le bolle sono esse stesse degli aperti).
Ora si dimostra facilmente e quindi sorvoliamo, che l'unione di aperti "metrici" e l'intersezione finita degli stessi è ancora un aperto e quindi (unito al fatto che $X$ e $\emptyset$ sono aperti) possiamo dire che l'insieme $\vartheta(d)$ degli aperti metrici è una topologia per $X$, quindi questi sono aperti "topologici" e $(X,\vartheta(d))$ è uno spazio topologico.
Spero fin qui di non aver detto sciocchezze
.A questo punto possiamo definire il concetto di sottospazio di uno spazio topologico. Ovvero un sottoinsieme $Y$ di uno spazio topologico $(X,\tau)$ acquisisce una struttura di spazio topologico (che chiamiamo sottospazio) scegliendo come topologia per lo stesso quella $\tau'$ i cui aperti sono ottenuti dall'intersezione tra gli aperti di $\tau$ e l'insieme $Y$.
E anche qui spero di non aver sbagliato nulla.
Facendo un salto in avanti arriviamo al concetto di connessione, ovvero: dato uno spazio topologico $(X,\tau)$ questo è detto connesso se non esistono due aperti non vuoti e disgiunti che lo ricoprono, definizione che porta ad altre definizioni equivalenti che non scrivo.. in pratica la connessione dovrebbe farci vedere come un insieme "sia fatto da un solo pezzo".
Fatto tutto questo ripassone (di cui chiedo conferma) riporto letteralmente quello che ho trovato sul libro:
"Il sottospazio $Y=[0,1]\cup(2,3)\sub RR$ non è connesso, perchè possiamo scomporlo nei due insiemi aperti e non vuoti
$$A=[0,1]\hspace{1 cm}B=(2,3)$$
(riguardo ad $A$) Può costare un pò dover dire che un intervallo chiuso è aperto; ma ricordate che stiamo trattando con la topologia di $Y$ e non con quella di $RR$!."
Stiamo infatti parlando della topologia di \(Y\).. Se assumiamo infatti che la topologia si quella indotta, abbiamo che gli aperti sono quegli insiemi ottenibili come intersezione tra \(Y\) e aperti di \(\mathbb R\). Ma allora hai ad esempio che \( [0,1] = Y \cap (-1, 2)\) è un aperto perché \((-1,2)\) è aperto in \(\mathbb R\)..
Direi che torna tutto. Riguardo al tuo dubbio iniziale, tieni conto che in \(A\) hai che (ad esempio) \([0,1/2)\) è una palla aperta, stesso dicasi per \((1/2,1]\) (perché?). Ergo, sai che tutti i punti in \((0,1)\) hanno una palla aperta strettamente contenuta in \(A\) che li contiene (fatto che ti è già noto), e per i punti \(0\) ed \(1\) ne esiste almeno una (nell'ordine, le due che ho scritto prima), ovvero \(A\) è aperto. Lo vedi direttamente sapendo che in \(\mathbb{R}\) hai \((-1,3/2) \cap Y = A\), ma il ragionamento che riporto all'inizio sebbene superfluo può aiutarti a fissare le idee, sebbene il fatto alla base dei due ragionamenti sia lo stesso.
Un buon esercizio potrebbe essere quello di dimostrare che un qualsiasi sottospazio topologico di uno spazio metrico (dotato della topologia indotta dalla metrica) è ancora uno spazio metrico. Concludi dimostrando che tutti gli spazi topologici discreti sono metrizzabili e che esistono infinite metriche equivalenti per questi spazi.
EDIT mentre scrivevo ha scritto anche apatriarca.
Un buon esercizio potrebbe essere quello di dimostrare che un qualsiasi sottospazio topologico di uno spazio metrico (dotato della topologia indotta dalla metrica) è ancora uno spazio metrico. Concludi dimostrando che tutti gli spazi topologici discreti sono metrizzabili e che esistono infinite metriche equivalenti per questi spazi.
EDIT mentre scrivevo ha scritto anche apatriarca.
Allora innanzitutto prima di dimenticarmi (visto che ogni tanto mi capita 
) ringrazio tutti per l'aiuto in ordine di "apparizione" 
: grazie j18eos, apatriarca, Epimenide93 !
Avendo riscritto tutti quei concetti e letto le vostre risposte, credo di aver capito mentalmente cosa stavo sbagliando: allora io consideravo l'insieme $Y$ con la topologia indotta ma dimenticando di intersecare le bolle dei punti con tale insieme, continuavo di fatto a utilizzare le bolle su $RR$.
Però ora mi stavo chiedendo.. la connessione è una proprietà intrinseca di un insieme?
) ringrazio tutti per l'aiuto in ordine di "apparizione" : grazie j18eos, apatriarca, Epimenide93 !Avendo riscritto tutti quei concetti e letto le vostre risposte, credo di aver capito mentalmente cosa stavo sbagliando: allora io consideravo l'insieme $Y$ con la topologia indotta ma dimenticando di intersecare le bolle dei punti con tale insieme, continuavo di fatto a utilizzare le bolle su $RR$.
Però ora mi stavo chiedendo.. la connessione è una proprietà intrinseca di un insieme?
No, dipende dalla topologia. Se prendi ad esempio \(\mathbb R\) e scegli la topologia discreta, avrai che \(\mathbb R\) non è connesso perché qualsiasi suo sottoinsieme (e quindi il suo complementare) è aperto.
Si scusa ho espresso male quello che volevo dire. La connessione è definita sul concetto di aperto che a sua volta dipende dalla topologia e quindi non può essere una proprietà intrinseca.
Quello che volevo dire è che: dovendo rappresentare la connessione il concetto di insieme "fatto tutto di un pezzo" (almeno mi è stato presentato in questo modo) come può non essere una proprietà intrinseca?!?!?!?!
Quello che volevo dire è che: dovendo rappresentare la connessione il concetto di insieme "fatto tutto di un pezzo" (almeno mi è stato presentato in questo modo) come può non essere una proprietà intrinseca?!?!?!?!
Semplicemente, il concetto di "pezzo" può cambiare radicalmente tra una topologia e l'altra.
Uhm.. la cosa puzza di strano 
@Karima: E' vero che è strano, sono d'accordo con te. E' una di quelle cose "magiche" della topologia. Comunque, se non ti piace questa definizione di "spazio connesso", dai un'occhiatina al libro di Rudin "Principi di analisi matematica". Alla fine del secondo capitolo introduce la definizione di "connessione" per un sottoinsieme di uno spazio metrico (ma le cose funzionano ugualmente bene in uno spazio topologico). La definizione che dà lui è più intuitivamente chiara di questa che hai sottomano.
Un insieme è semplicemente una collezione di entità e per sua natura è molto frammentario. Non c'è nulla nel concetto di insieme che mette insieme i diversi elementi. Non ci sono sottoinsiemi più importanti o particolari di altri. Non c'è alcuna differenza tra i sottoinsiemi \(\mathbb Q\) o \([0,1]\) o \((0,\infty)\) o \(\{0\}\) o .. nella teoria degli insiemi se non ovviamente discorsi riguardo la loro cardinalità.
È la topologia che aggiunge all'insieme questo genere di struttura. È lei che ci permette di pensare a due punti come appartenenti ad una stessa parte. Quando pensi ai sottoinsiemi degli spazi euclidei stai in effetti inglobando anche la loro topologia, quella indotta, ed è attraverso questa topologia che dai un significato alla tua idea di parte.
È la topologia che aggiunge all'insieme questo genere di struttura. È lei che ci permette di pensare a due punti come appartenenti ad una stessa parte. Quando pensi ai sottoinsiemi degli spazi euclidei stai in effetti inglobando anche la loro topologia, quella indotta, ed è attraverso questa topologia che dai un significato alla tua idea di parte.
Credo di aver capito! Ora lascio solo del tempo al mio cervello per "digerire" il tutto. Grazie a tutti per l'aiuto!!!
@Karima Ricordati che per dire che lo spazio topologico \(\displaystyle S\) (non) è connesso in funzione della topologia \(\displaystyle\mathcal{T}\) fissata su di esso!
Riprendendo un esempio scemo già esposto: \(\displaystyle S\) è sempre connesso con la topologia banale; è sempre sconnesso con la topologia discreta (e il sostegno ha almeno due punti distinti).
Riprendendo un esempio scemo già esposto: \(\displaystyle S\) è sempre connesso con la topologia banale; è sempre sconnesso con la topologia discreta (e il sostegno ha almeno due punti distinti).
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