Coniugio tra matrici

[jJjjJ1]

Dire se le matrici A e B sono coniugate in R. In caso affermativo trovare esplicitamente C tale che \(\displaystyle A = C^-1 B C \)

Io ho:

\(\displaystyle
A =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&2\\
\end{pmatrix}


\)

\(\displaystyle
B =
\begin{pmatrix}
2&0\\
0&1\\
\end{pmatrix}


\)

Ed ho pensato che siccome A e B sono entrambe diagonali allora gli elementi diagonali sono gli autovalori degli operatori ad esse associate. Il dubbio mio è che non so se posso dire che due matrici diagonali con gli stessi elementi sulla diagonale in ordine diverso rappresentano lo stesso operatore. Infatti uso implicitamente questa ipotesi per calcolarmi C tramite la formula del cambiamento di base di un operatore, considerando dapprima la base di A \(\displaystyle \{ (1, 0), (0, 1) \} \) e poi quella di B \(\displaystyle \{ (0, 1), (1, 0) \} \)

Che mi dite? E' una cosa lecita?

[Steven11]

"jJjjJ":
Il dubbio mio è che non so se posso dire che due matrici diagonali con gli stessi elementi sulla diagonale in ordine diverso rappresentano lo stesso operatore.

Puoi dirlo certamente! Se consideri uno spazio vettoriale a base fissata, una di quelle matrici individua un unico operatore. E come dici bene, quell'operatore si rappresenta anche con la seconda matrice cambiando base (cambiando l'ordine dei due vettori).

Per cercare la matrice $P$ che realizza la similitudine, devi pensare che di fatto stai soltando permutando i vettori della base, quindi cerchi una matrice di permutazione. In due dimensioni, a parte l'identita', hai la scelta \( \displaystyle P = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0\\ \end{pmatrix} \), che tra l'altro e' l'inversa di se stessa.

[jJjjJ1]

Si è quello che implicitamente ho fatto. Se invece avessi avuto una matrice diagonale e una non ( ma con gli stessi autovalori ), uso lo stesso metodo. Se invece avessi due matrici non diagonali ma con gli stessi autovalori? Quello che mi viene in mente è diagonalizzare verso la stessa matrice diagonale ed imporre l'uguaglianza N^-1 A N = M^-1 B M e poi, dato che ad esempio N è invertibile, scrivere il tutto come A = N^-1 M^-1 B M N = ( MN )^-1 B MN giusto?

[Steven11]

Qua devi stare un po' piu' attento. Nel caso di due matrici diagonali, il risultato segue subito poiche' e' ovvio che quelle matrici rappresentano lo stesso operatore rispetto a basi permutate.

Supponiamo ora che anche solo una delle matrici non diagonale, prendi ad esempio
\( \displaystyle A = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \)
\( \displaystyle B = \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \)
E' chiaro che queste due matrici hanno gli stessi autovalori - uno con molteplicita' doppia - ma non sono coniugate, perche' $B$ non e' diagonalizzabile. Quindi non basta accertarsi che la situazione degli autovalori sia la stessa. Se pero' sai a priori che entrambe le matrici sono diagonalizzabili, allora sei sicuramente a posto e il modo che hai scritto tu alla fine va bene.