Coniche:iperbole equilatera
ciao a tutti. ho un esercizio che non riesco ad impostare. eccolo:
determinare l'iperbole equilatera avente come diametro le rette $x-2y+1=0$ ed $2x-y-1=0$ e passante per il punto all'infinito $P(1,1,0)$ e che incontra l'asse delle x nel punto $A=(3,0)$.
per determinare l'iperbole devo prima costurire il fascio di iperboli che mi soddisfino le condizioni date sopra.
io so che un iperbole è equilatera se e solo se I=0 quindi doto che costruisco il fascio devo imporre $I=0$ cosi da considerale solo l'equazione delle iperboli equilatere. ma come fare?
determinare l'iperbole equilatera avente come diametro le rette $x-2y+1=0$ ed $2x-y-1=0$ e passante per il punto all'infinito $P(1,1,0)$ e che incontra l'asse delle x nel punto $A=(3,0)$.
per determinare l'iperbole devo prima costurire il fascio di iperboli che mi soddisfino le condizioni date sopra.
io so che un iperbole è equilatera se e solo se I=0 quindi doto che costruisco il fascio devo imporre $I=0$ cosi da considerale solo l'equazione delle iperboli equilatere. ma come fare?
Risposte
Opero in coordinate proiettive del tipo $[x:y:z]$. Il centro C della conica è l'intersezione tra i due diametri e quindi, risolvendo il sistema delle loro equazioni, ottengo: $C[1:1:1]$
Un asintoto dell'iperbole è la retta $CP$ di equazione $x-y=0$, tangente all'iperbole in P.
Essendo l'iperbole equilatera, l'altro asintoto è la perpendicolare a CP, condotta per C e dunque di equazione $x+y-2z=0$
Tale secondo asintoto è tangente all'iperbole nel suo punto improprio $Q[1:-1:0]$
A questo punto abbiamo quattro punti e precisamente il punto P, contato due volte con tangente PP all'iperbole pari a $x-y=0$
ed il punto Q, pure contato due volte con tangente QQ pari a
$x+y-2=0$
Pertanto il fascio di iperbole che risolve il nostro problema ha come equazione simbolica :
$\lambda PP\cdot Q Q+\mu PQ^2=0$
Poiche PQ è ovviamente la retta impropria di equazione $z=0$, ne segue che l'equazione del nostro fascio è:
(1)$\lambda (x-y)(x+y-2z)+\mu (z)^2=0$
Ora imponiamo il passaggio per $A[3:0:1]$ e si ha :
$\mu=-3\lambda$
e sostituendo nella (1), ottengo l'equazione dell'iperbole voluta ( in coordinate affini):
$x^2-y^2-2x+2y-3=0$
Un asintoto dell'iperbole è la retta $CP$ di equazione $x-y=0$, tangente all'iperbole in P.
Essendo l'iperbole equilatera, l'altro asintoto è la perpendicolare a CP, condotta per C e dunque di equazione $x+y-2z=0$
Tale secondo asintoto è tangente all'iperbole nel suo punto improprio $Q[1:-1:0]$
A questo punto abbiamo quattro punti e precisamente il punto P, contato due volte con tangente PP all'iperbole pari a $x-y=0$
ed il punto Q, pure contato due volte con tangente QQ pari a
$x+y-2=0$
Pertanto il fascio di iperbole che risolve il nostro problema ha come equazione simbolica :
$\lambda PP\cdot Q Q+\mu PQ^2=0$
Poiche PQ è ovviamente la retta impropria di equazione $z=0$, ne segue che l'equazione del nostro fascio è:
(1)$\lambda (x-y)(x+y-2z)+\mu (z)^2=0$
Ora imponiamo il passaggio per $A[3:0:1]$ e si ha :
$\mu=-3\lambda$
e sostituendo nella (1), ottengo l'equazione dell'iperbole voluta ( in coordinate affini):
$x^2-y^2-2x+2y-3=0$
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