Coniche retta proiettiva
Come faccio a dire che le coniche il $P^2$ sono in corrispondenza biunivoca con la retta proiettiva $P^1$?
Risposte
non ho capito: ogni singola conica è in corrispondenza biunivoca con $P^1$? Ma tutte le coniche o solo quelle non degeneri? E gli spazi proiettivi sono reali o complessi?
Il risultato a cui fa riferimento Nato_pigro è il seguente:
Sia [tex]\mathbb{K}[/tex] il campo reale o complesso (ma credo che valga anche per un campo qualsiasi).
Denotiamo con [tex]\mathbb{K}P_1[/tex] e [tex]\mathbb{K}P_2[/tex] risp. la retta e il piano proiettivo numerico.
Sia [tex]\mathcal{C}[/tex] una conica non degenere di [tex]\mathbb{K}P_2[/tex].
Allora esiste una bigezione fra [tex]\mathcal{C}[/tex] e [tex]\mathbb{K}P_1[/tex].
Per la dimostrazione si fissa un punto [tex]P_0\in\mathcal{C}[/tex]. Denotiamo con [tex]t_{P_0}[/tex] la retta polare di [tex]P_0[/tex].
E' sufficiente mostrare che esiste una bigezione fra [tex]\mathcal{C}[/tex] e [tex]\mathcal{F}(P_0)[/tex], dove [tex]\mathcal{F}(P_0)[/tex] è il fascio di rette passanti per [tex]P_0[/tex].
La bigezione cercata è [tex]\Phi:\mathcal{C}\to\mathcal{F}(P_0)[/tex] definita come segue: per ogni [tex]P\in\mathcal{C}[/tex] si pone
[tex]\displaystyle \Phi(P)=\left\{ \begin{matrix} [P,P_0] & \textrm{ se $P\neq P_0$} \\ t_{P_0} & \textrm{ se $P=P_0$}\end{matrix}\right.[/tex]
dove [tex][P,P_0][/tex] è la retta passante per [tex]P[/tex] e [tex]P_0[/tex].
A te il compito di dimostrare che [tex]\Phi[/tex] è una bigezione. Enjoy!
Sia [tex]\mathbb{K}[/tex] il campo reale o complesso (ma credo che valga anche per un campo qualsiasi).
Denotiamo con [tex]\mathbb{K}P_1[/tex] e [tex]\mathbb{K}P_2[/tex] risp. la retta e il piano proiettivo numerico.
Sia [tex]\mathcal{C}[/tex] una conica non degenere di [tex]\mathbb{K}P_2[/tex].
Allora esiste una bigezione fra [tex]\mathcal{C}[/tex] e [tex]\mathbb{K}P_1[/tex].
Per la dimostrazione si fissa un punto [tex]P_0\in\mathcal{C}[/tex]. Denotiamo con [tex]t_{P_0}[/tex] la retta polare di [tex]P_0[/tex].
E' sufficiente mostrare che esiste una bigezione fra [tex]\mathcal{C}[/tex] e [tex]\mathcal{F}(P_0)[/tex], dove [tex]\mathcal{F}(P_0)[/tex] è il fascio di rette passanti per [tex]P_0[/tex].
La bigezione cercata è [tex]\Phi:\mathcal{C}\to\mathcal{F}(P_0)[/tex] definita come segue: per ogni [tex]P\in\mathcal{C}[/tex] si pone
[tex]\displaystyle \Phi(P)=\left\{ \begin{matrix} [P,P_0] & \textrm{ se $P\neq P_0$} \\ t_{P_0} & \textrm{ se $P=P_0$}\end{matrix}\right.[/tex]
dove [tex][P,P_0][/tex] è la retta passante per [tex]P[/tex] e [tex]P_0[/tex].
A te il compito di dimostrare che [tex]\Phi[/tex] è una bigezione. Enjoy!
ho avuto modo di pensarci ma:
_cosa intendi per retta polare?
_$\phi$ non mi sembra surgettiva: esistono delle rette passanti per $P_0$ che non intersecano la conica...
_cosa intendi per retta polare?
_$\phi$ non mi sembra surgettiva: esistono delle rette passanti per $P_0$ che non intersecano la conica...
Se [tex]\mathcal{C}[/tex] è una conica non degenere e [tex]P_0\in\mathcal{C}[/tex], per retta polare in [tex]P_0[/tex] (rispetto a [tex]\mathcal{C}[/tex]), intendo la retta tangente a [tex]\mathcal{C}[/tex] in [tex]P_0[/tex].
[Si può parlare anche di retta polare in un punto [tex]P\notin\mathcal{C}[/tex] ma se non l'hai studiato non mi sembra il caso di parlartene]
[tex]\Phi[/tex] è surgettiva. Una retta per [tex]P_0[/tex] interseca sempre la conica almeno in un punto, almeno [tex]P_0[/tex] è nell'intersezione!
[Si può parlare anche di retta polare in un punto [tex]P\notin\mathcal{C}[/tex] ma se non l'hai studiato non mi sembra il caso di parlartene]
[tex]\Phi[/tex] è surgettiva. Una retta per [tex]P_0[/tex] interseca sempre la conica almeno in un punto, almeno [tex]P_0[/tex] è nell'intersezione!
si, ma dire che è surgettiva è come dire che $AA$ retta $r$ passante per $P_0$ $EE P in C$ tale che $\phi(P)=r$. Ora, se $P!=P_0$ (e NON lo è perchè ho supposto che esista una retta che non interseca la curca $C$) si dovrebbe avere che $P=P_0$ ma in tal caso si avrebbe che $\phi(P)=T_(P_0)$ ma non è così...
è questo che non capisco...
è questo che non capisco...
Non sono certo di aver capito ciò che dici.
Per dimostrare la surgettività di [tex]\Phi[/tex], devo provare che per ogni retta [tex]r[/tex] passante per [tex]P_0[/tex] esiste un punto [tex]P\in\mathcal{C}[/tex] tale che [tex]\Phi(P)=r[/tex].
Sia [tex]r[/tex] una retta passante per [tex]P_0[/tex]. Abbiamo due possibilità:
1) se [tex]r[/tex] è la retta tangente a [tex]\mathcal{C}[/tex] in [tex]P_0[/tex], allora [tex]\Phi(P_0)=t_{P_0}=r[/tex];
2) se [tex]r[/tex] non è la retta tangente, allora intersecherà la conica [tex]\mathcal{C}[/tex] in un ulteriore punto [tex]P[/tex] (ricordiamo che l'intersezione retta-conica è vuota [solo caso [tex]\mathbb{K}=\mathbb{R}[/tex]], ridotta ad un punto o ridotta a due punti). E allora [tex]\Phi(P)=[P,P_0]=r[/tex].
Non credo di aver commesso errori...
Per dimostrare la surgettività di [tex]\Phi[/tex], devo provare che per ogni retta [tex]r[/tex] passante per [tex]P_0[/tex] esiste un punto [tex]P\in\mathcal{C}[/tex] tale che [tex]\Phi(P)=r[/tex].
Sia [tex]r[/tex] una retta passante per [tex]P_0[/tex]. Abbiamo due possibilità:
1) se [tex]r[/tex] è la retta tangente a [tex]\mathcal{C}[/tex] in [tex]P_0[/tex], allora [tex]\Phi(P_0)=t_{P_0}=r[/tex];
2) se [tex]r[/tex] non è la retta tangente, allora intersecherà la conica [tex]\mathcal{C}[/tex] in un ulteriore punto [tex]P[/tex] (ricordiamo che l'intersezione retta-conica è vuota [solo caso [tex]\mathbb{K}=\mathbb{R}[/tex]], ridotta ad un punto o ridotta a due punti). E allora [tex]\Phi(P)=[P,P_0]=r[/tex].
Non credo di aver commesso errori...
quello che non mi convince è il punto 2) e cioè che una retta che interseca la conica in un punto (non tangente) allora la interseca in un altro.
Due domande:
1) Come avete definito la retta tangente ad una conica [tex]\mathcal{C}[/tex] in un punto [tex]P\in\mathcal{C}[/tex]?
2) Conosci il seguente risultato?
1) Come avete definito la retta tangente ad una conica [tex]\mathcal{C}[/tex] in un punto [tex]P\in\mathcal{C}[/tex]?
2) Conosci il seguente risultato?
Sia [tex]\mathcal{C}[/tex] una conica non degenere di [tex]\mathbb{K}P_2[/tex] con [tex]\mathbb{K}=\mathbb{C}[/tex] o [tex]\mathbb{K}=\mathbb{C}[/tex]. Sia [tex]r[/tex] una retta di [tex]\mathbb{K}P_2[/tex]. Allora si verifica una delle seguenti possibilità:
a) [tex]\mathcal{C}\cap r=\emptyset[/tex];
b) [tex]\mathcal{C}\cap r[/tex] è ridotto ad un solo punto;
c) [tex]\mathcal{C}\cap r[/tex] è l'insieme ridotto a due punti.
Il caso a) non si verifica se [tex]\mathbb{K}=\mathbb{C}[/tex].
ah, ok. ma allora la proposizione che hai detto all'inizio non va bene per ogni campo ma solo per $CC$, no?
No, va bene per $RR$ e $CC$. Puoi ripercorrere i passi della dimostrazione sia nel caso reale che nel caso complesso.
si scusa, ma, per capire, tu hai detto:
non conosco la dimostrazione, mi dici che vale anche per $RR$ oltre che per $CC$?
"cirasa":
Il caso a) non si verifica se [tex]\mathbb{K}=\mathbb{C}[/tex].
non conosco la dimostrazione, mi dici che vale anche per $RR$ oltre che per $CC$?
No, questa eventualità (ovvero intersezione vuota) si ha solo nel caso reale.
"nato_pigro":
si scusa, ma, per capire, tu hai detto:
[quote="cirasa"]
Il caso a) non si verifica se [tex]\mathbb{K}=\mathbb{C}[/tex].
non conosco la dimostrazione, mi dici che vale anche per $RR$ oltre che per $CC$?[/quote]
Il caso a) corrispondeva al caso [tex]r\cap\mathcal{C}=\emptyset[/tex], ma questa eventualità nella nostra dimostrazione non si poteva verificare, perchè nell'intersezione c'è almeno [tex]P_0[/tex], quindi si verifica b) o c).
ah, ok. Ho capito. Grazie 
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