Coniche in forma canonica e cambiamento di coordinate

ladidely
Salve, mi servirebbe il vostro aiuto per capire come è stato svolto questo esercizio:

Data la conica $\Gamma:3x^2+2xy+3y^2+2sqrt(2)x=0$ trovare una forma canonica e il cambiamento di coordinate che permette di ottenerla.

La prima parte è chiara, attraverso la matrice A associata ad f e la matrice B dei termini di secondo grado si trova la forma canonica $2X^2+4Y^2=3/4$.
La seconda parte invece non la capisco, il libro dice che bisogna trovare una matrice ortogonale speciale tale che $P^(-1)AP=((2,0),(0,4))$ e che tale matrice è $P=((1/sqrt(2),1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2),1/sqrt(2)))$ ma come si fa a trovarla?
Proseguendo pone $x=(\barX+\barY)/sqrt(2), y=(-\barX+\barY)/sqrt(2)$ e questo è chiaro, poi sostituisce i valori nell'equazione di $\Gamma$ e dice che svolgendo i calcoli si ottiene $(sqrt(2) sqrt(2))$ sottolineando che manca il termine in XY. Ma cosa sarebbe $(sqrt(2) sqrt(2))$ ?
A questo punto opera la traslazione $X=\barX+1/2 , Y=\barY+1/4$ per calcolare x e y da $ ((x),(y))=P((\barX), (\barY))$, ma anche questo non mi è chiaro...
Mi aiutate?

Risposte
Maci86
Conosci la geometria proiettiva? Le matrici di rotazione?

ladidely
:-k nel mio libro c'è giusto una definizione sulle matrici delle rototraslazioni ma nessun esempio pratico, niente di più.

Maci86
In poche parole ti piazzano una bella matrice piena di radici e non ti dicono che è la rotazione di meno $pi/4$, mi sembra una cosa intelligente. Provo a spiegarti tutto quanto io, se non capisci qualcosa, dimmelo che te lo rispiego :D

1) Dobbiamo diagonalizzare la matrice, sai qualcosa sulla diagonalizzazione?
Supponiamo di sì:
$A=((3,1),(1,3))=> |X-A|= |(x-3,-1),(-1,x-3)|= (x-3)^2 -1= x^2 -6x +8=> x_1=2, x_2=4$
$A-2= ((1,1),(1,1))=> ((1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2))) \text{ , }A-4=((-1,1),(1,-1))=>((1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)))$
Quindi la nostra P è:
$P=((1/sqrt(2),1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)))$
Se supponessimo di no:
Come possiamo giustificare la cosa? Ci tocca andare un po' a fortuna (diciamo così), prediamo tutte le direzioni possibili dei vettori, li normaliziamo (vuol dire che li facciamo di modulo 1), poi cerchiamo il minimo e il massimo, il massimo sarà la prima riga, il minimo la seconda :D
$((3,1),(1,3))((x/sqrt(1+x^2)),(1/sqrt(1+x^2)))=(((3x+1)/sqrt(1+x^2)),((x+3)/sqrt(1+x^2)))$
Avrà modulo:
$(9x^2 +6x+1 +x^2 +6x+9)/(1+x^2)=> Delta (9x^2 +6x+1 +x^2 +6x+9)/(1+x^2)=-12(x^2-1)/(x^2+1)^2=0=> x=±1$
Essendo il minimo in $x=-1$, il massimo in $x=1$, scriviamo così la matrice P:
$((x_1/sqrt(1+x_1^2),1/sqrt(1+x_2^2)),(x_2/sqrt(1+x_1^2),1/sqrt(1+x_1^2)))=((1/sqrt(2),1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2))) $
Dimmi se fino a qui mi segui, scusami se non sono chiarissimo, dimmi cosa non va :D

ladidely
Grazie Maci.
La diagonalizzazione la conosco, fino al calcolo di $A-\lambdaI$ è tutto ok, quello che non mi è chiaro invece è il passaggio
"Maci86":
A−2=(1111)⇒⎛⎝⎜⎜⎜12√−12√⎞⎠⎟⎟⎟ , A−4=(−111−1)⇒⎛⎝⎜⎜⎜12√12√⎞⎠⎟⎟⎟

Maci86
Trovo gli autovettori, solo che allo stesso tempo li normalizzo:
$A-2= ((1,1),(1,1))=> ((alpha),(-alpha))=>|((alpha),(-alpha))|= alpha^2 +alpha^2=1=> alpha^2=1/2=>((1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2))) $
$A-4=((-1,1),(1,-1))=>((alpha),(alpha))=> |((alpha),(alpha))|= alpha^2 +alpha^2=1=> alpha^2=1/2=> ((1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)))$

ladidely
ah, quindi P ha come colonne gli autovettori normalizzati e poichè $P=((cos\alpha, -sin\alpha),(sin\alpha, cos\alpha))$ trovo l'angolo di rotazione, giusto?

E la parte successiva come va fatta? Una volta sostituiti i valori di x e y cosi si deve fare per ottenere i valori di X e Y?

grazie per l'aiuto ;)

Maci86
Esatto!

Sostituendo viene (per pigrizia scrivo le coordinate con la barra, senza barra):
$3/2 (x^2 +2xy +y^2) -x^2 +y^2 +3/2 (x^2-2xy +y^2) + 2(x+y)=0 => 2x^2 +2x + 4y^2 +2y=0=>$
$=> 2(x^2 +x+1/4) -1/2 + 4(y^2 +y/2 + 1/16) -1/4=0 => 2(x+1/2)^2 + 4(y+1/4)^2 = 3/4 $
Non ci resta che definire le nostre coordinate finali, che saranno le nostre originali ruotate per $-pi/4$ e a cui aggiungiamo i numeri tra parentesi, precedentemente trovati:
$2X^2 +4Y^2=3/4$

ladidely
Ti ringrazio tantissimo Maci, ho capito perfettamente come svolgere l'esercizio :)
l'unica cosa non chiara è il fatto che nel libro, una volta sostituiti i valori di x e y nell'equazione della conica, c'è scritto che da questo si ottiene $(sqrt(2) $ $sqrt(2))$. A cosa si riferisce questa parentesi?

Maci86
Se posso essere sincero, non ne ho idea. Tra l'altro tutto sarebbe molto più facile mettendosi in uno spazio proiettivo e vedresti molto bene come è fatta la nostra conica :D

ladidely
"Maci86":
Se posso essere sincero, non ne ho idea.

grazie comunque per il tuo aiuto in tutto il resto, sei stato davvero molto chiaro :smt023

Maci86
Grazie a te! Quando vuoi, son qua!

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