Coniche in forma canonica e cambiamento di coordinate
Salve, mi servirebbe il vostro aiuto per capire come è stato svolto questo esercizio:
Data la conica $\Gamma:3x^2+2xy+3y^2+2sqrt(2)x=0$ trovare una forma canonica e il cambiamento di coordinate che permette di ottenerla.
La prima parte è chiara, attraverso la matrice A associata ad f e la matrice B dei termini di secondo grado si trova la forma canonica $2X^2+4Y^2=3/4$.
La seconda parte invece non la capisco, il libro dice che bisogna trovare una matrice ortogonale speciale tale che $P^(-1)AP=((2,0),(0,4))$ e che tale matrice è $P=((1/sqrt(2),1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2),1/sqrt(2)))$ ma come si fa a trovarla?
Proseguendo pone $x=(\barX+\barY)/sqrt(2), y=(-\barX+\barY)/sqrt(2)$ e questo è chiaro, poi sostituisce i valori nell'equazione di $\Gamma$ e dice che svolgendo i calcoli si ottiene $(sqrt(2) sqrt(2))$ sottolineando che manca il termine in XY. Ma cosa sarebbe $(sqrt(2) sqrt(2))$ ?
A questo punto opera la traslazione $X=\barX+1/2 , Y=\barY+1/4$ per calcolare x e y da $ ((x),(y))=P((\barX), (\barY))$, ma anche questo non mi è chiaro...
Mi aiutate?
Data la conica $\Gamma:3x^2+2xy+3y^2+2sqrt(2)x=0$ trovare una forma canonica e il cambiamento di coordinate che permette di ottenerla.
La prima parte è chiara, attraverso la matrice A associata ad f e la matrice B dei termini di secondo grado si trova la forma canonica $2X^2+4Y^2=3/4$.
La seconda parte invece non la capisco, il libro dice che bisogna trovare una matrice ortogonale speciale tale che $P^(-1)AP=((2,0),(0,4))$ e che tale matrice è $P=((1/sqrt(2),1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2),1/sqrt(2)))$ ma come si fa a trovarla?
Proseguendo pone $x=(\barX+\barY)/sqrt(2), y=(-\barX+\barY)/sqrt(2)$ e questo è chiaro, poi sostituisce i valori nell'equazione di $\Gamma$ e dice che svolgendo i calcoli si ottiene $(sqrt(2) sqrt(2))$ sottolineando che manca il termine in XY. Ma cosa sarebbe $(sqrt(2) sqrt(2))$ ?
A questo punto opera la traslazione $X=\barX+1/2 , Y=\barY+1/4$ per calcolare x e y da $ ((x),(y))=P((\barX), (\barY))$, ma anche questo non mi è chiaro...
Mi aiutate?
Risposte
Conosci la geometria proiettiva? Le matrici di rotazione?
nel mio libro c'è giusto una definizione sulle matrici delle rototraslazioni ma nessun esempio pratico, niente di più.
In poche parole ti piazzano una bella matrice piena di radici e non ti dicono che è la rotazione di meno $pi/4$, mi sembra una cosa intelligente. Provo a spiegarti tutto quanto io, se non capisci qualcosa, dimmelo che te lo rispiego 
1) Dobbiamo diagonalizzare la matrice, sai qualcosa sulla diagonalizzazione?
Supponiamo di sì:
$A=((3,1),(1,3))=> |X-A|= |(x-3,-1),(-1,x-3)|= (x-3)^2 -1= x^2 -6x +8=> x_1=2, x_2=4$
$A-2= ((1,1),(1,1))=> ((1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2))) \text{ , }A-4=((-1,1),(1,-1))=>((1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)))$
Quindi la nostra P è:
$P=((1/sqrt(2),1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)))$
Se supponessimo di no:
Come possiamo giustificare la cosa? Ci tocca andare un po' a fortuna (diciamo così), prediamo tutte le direzioni possibili dei vettori, li normaliziamo (vuol dire che li facciamo di modulo 1), poi cerchiamo il minimo e il massimo, il massimo sarà la prima riga, il minimo la seconda
$((3,1),(1,3))((x/sqrt(1+x^2)),(1/sqrt(1+x^2)))=(((3x+1)/sqrt(1+x^2)),((x+3)/sqrt(1+x^2)))$
Avrà modulo:
$(9x^2 +6x+1 +x^2 +6x+9)/(1+x^2)=> Delta (9x^2 +6x+1 +x^2 +6x+9)/(1+x^2)=-12(x^2-1)/(x^2+1)^2=0=> x=±1$
Essendo il minimo in $x=-1$, il massimo in $x=1$, scriviamo così la matrice P:
$((x_1/sqrt(1+x_1^2),1/sqrt(1+x_2^2)),(x_2/sqrt(1+x_1^2),1/sqrt(1+x_1^2)))=((1/sqrt(2),1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2))) $
Dimmi se fino a qui mi segui, scusami se non sono chiarissimo, dimmi cosa non va
1) Dobbiamo diagonalizzare la matrice, sai qualcosa sulla diagonalizzazione?
Supponiamo di sì:
$A=((3,1),(1,3))=> |X-A|= |(x-3,-1),(-1,x-3)|= (x-3)^2 -1= x^2 -6x +8=> x_1=2, x_2=4$
$A-2= ((1,1),(1,1))=> ((1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2))) \text{ , }A-4=((-1,1),(1,-1))=>((1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)))$
Quindi la nostra P è:
$P=((1/sqrt(2),1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2)))$
Se supponessimo di no:
Come possiamo giustificare la cosa? Ci tocca andare un po' a fortuna (diciamo così), prediamo tutte le direzioni possibili dei vettori, li normaliziamo (vuol dire che li facciamo di modulo 1), poi cerchiamo il minimo e il massimo, il massimo sarà la prima riga, il minimo la seconda
$((3,1),(1,3))((x/sqrt(1+x^2)),(1/sqrt(1+x^2)))=(((3x+1)/sqrt(1+x^2)),((x+3)/sqrt(1+x^2)))$
Avrà modulo:
$(9x^2 +6x+1 +x^2 +6x+9)/(1+x^2)=> Delta (9x^2 +6x+1 +x^2 +6x+9)/(1+x^2)=-12(x^2-1)/(x^2+1)^2=0=> x=±1$
Essendo il minimo in $x=-1$, il massimo in $x=1$, scriviamo così la matrice P:
$((x_1/sqrt(1+x_1^2),1/sqrt(1+x_2^2)),(x_2/sqrt(1+x_1^2),1/sqrt(1+x_1^2)))=((1/sqrt(2),1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2))) $
Dimmi se fino a qui mi segui, scusami se non sono chiarissimo, dimmi cosa non va
Grazie Maci.
La diagonalizzazione la conosco, fino al calcolo di $A-\lambdaI$ è tutto ok, quello che non mi è chiaro invece è il passaggio
La diagonalizzazione la conosco, fino al calcolo di $A-\lambdaI$ è tutto ok, quello che non mi è chiaro invece è il passaggio
"Maci86":
A−2=(1111)⇒⎛⎝⎜⎜⎜12√−12√⎞⎠⎟⎟⎟ , A−4=(−111−1)⇒⎛⎝⎜⎜⎜12√12√⎞⎠⎟⎟⎟
Trovo gli autovettori, solo che allo stesso tempo li normalizzo:
$A-2= ((1,1),(1,1))=> ((alpha),(-alpha))=>|((alpha),(-alpha))|= alpha^2 +alpha^2=1=> alpha^2=1/2=>((1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2))) $
$A-4=((-1,1),(1,-1))=>((alpha),(alpha))=> |((alpha),(alpha))|= alpha^2 +alpha^2=1=> alpha^2=1/2=> ((1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)))$
$A-2= ((1,1),(1,1))=> ((alpha),(-alpha))=>|((alpha),(-alpha))|= alpha^2 +alpha^2=1=> alpha^2=1/2=>((1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2))) $
$A-4=((-1,1),(1,-1))=>((alpha),(alpha))=> |((alpha),(alpha))|= alpha^2 +alpha^2=1=> alpha^2=1/2=> ((1/sqrt(2)),(1/sqrt(2)))$
ah, quindi P ha come colonne gli autovettori normalizzati e poichè $P=((cos\alpha, -sin\alpha),(sin\alpha, cos\alpha))$ trovo l'angolo di rotazione, giusto?
E la parte successiva come va fatta? Una volta sostituiti i valori di x e y cosi si deve fare per ottenere i valori di X e Y?
grazie per l'aiuto
E la parte successiva come va fatta? Una volta sostituiti i valori di x e y cosi si deve fare per ottenere i valori di X e Y?
grazie per l'aiuto
Esatto!
Sostituendo viene (per pigrizia scrivo le coordinate con la barra, senza barra):
$3/2 (x^2 +2xy +y^2) -x^2 +y^2 +3/2 (x^2-2xy +y^2) + 2(x+y)=0 => 2x^2 +2x + 4y^2 +2y=0=>$
$=> 2(x^2 +x+1/4) -1/2 + 4(y^2 +y/2 + 1/16) -1/4=0 => 2(x+1/2)^2 + 4(y+1/4)^2 = 3/4 $
Non ci resta che definire le nostre coordinate finali, che saranno le nostre originali ruotate per $-pi/4$ e a cui aggiungiamo i numeri tra parentesi, precedentemente trovati:
$2X^2 +4Y^2=3/4$
Sostituendo viene (per pigrizia scrivo le coordinate con la barra, senza barra):
$3/2 (x^2 +2xy +y^2) -x^2 +y^2 +3/2 (x^2-2xy +y^2) + 2(x+y)=0 => 2x^2 +2x + 4y^2 +2y=0=>$
$=> 2(x^2 +x+1/4) -1/2 + 4(y^2 +y/2 + 1/16) -1/4=0 => 2(x+1/2)^2 + 4(y+1/4)^2 = 3/4 $
Non ci resta che definire le nostre coordinate finali, che saranno le nostre originali ruotate per $-pi/4$ e a cui aggiungiamo i numeri tra parentesi, precedentemente trovati:
$2X^2 +4Y^2=3/4$
Ti ringrazio tantissimo Maci, ho capito perfettamente come svolgere l'esercizio 
l'unica cosa non chiara è il fatto che nel libro, una volta sostituiti i valori di x e y nell'equazione della conica, c'è scritto che da questo si ottiene $(sqrt(2) $ $sqrt(2))$. A cosa si riferisce questa parentesi?
l'unica cosa non chiara è il fatto che nel libro, una volta sostituiti i valori di x e y nell'equazione della conica, c'è scritto che da questo si ottiene $(sqrt(2) $ $sqrt(2))$. A cosa si riferisce questa parentesi?
Se posso essere sincero, non ne ho idea. Tra l'altro tutto sarebbe molto più facile mettendosi in uno spazio proiettivo e vedresti molto bene come è fatta la nostra conica
"Maci86":
Se posso essere sincero, non ne ho idea.
grazie comunque per il tuo aiuto in tutto il resto, sei stato davvero molto chiaro
Grazie a te! Quando vuoi, son qua!
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