Coniche euclidee
Ciao a tutti.
In un passaggio di una dimostrazione mi sono imbattuto nella seguente questione: considero lo spazio affine reale canonico[tex]\mathbb{A}^2[/tex] con sistema di riferimento [tex]\mathcal{A}[/tex]; so che la matrice associata a un dato prodotto scalare su tale spazio (più precisamente, sullo spazio vettoriale associato) con tale sistema di riferimento è [tex]N\in S(2,\mathbb{R})[/tex]. Studio un'ellisse avente equazione (in [tex]\mathcal{A}[/tex]) [tex]X^TAX+B^TX+c=0[/tex], con ovvio significato della notazione: desidero trovare la lunghezza dei suoi semiassi.
La traccia di soluzione che mi è stata data è la seguente: esiste [tex]P\in GL(2,\mathbb{R})[/tex] tale che [tex]P^TNP=I_2[/tex] e [tex]P^TBP=D[/tex], con [tex]D[/tex] diagonale: i semiassi dell'ellisse sono gli autovalori di [tex]N[/tex] (ovvero gli elementi della diagonale di [tex]D[/tex]), per il teorema spettrale. Non mi è però chiaro perchè [tex]P^TNP=I_2[/tex].
In un passaggio di una dimostrazione mi sono imbattuto nella seguente questione: considero lo spazio affine reale canonico[tex]\mathbb{A}^2[/tex] con sistema di riferimento [tex]\mathcal{A}[/tex]; so che la matrice associata a un dato prodotto scalare su tale spazio (più precisamente, sullo spazio vettoriale associato) con tale sistema di riferimento è [tex]N\in S(2,\mathbb{R})[/tex]. Studio un'ellisse avente equazione (in [tex]\mathcal{A}[/tex]) [tex]X^TAX+B^TX+c=0[/tex], con ovvio significato della notazione: desidero trovare la lunghezza dei suoi semiassi.
La traccia di soluzione che mi è stata data è la seguente: esiste [tex]P\in GL(2,\mathbb{R})[/tex] tale che [tex]P^TNP=I_2[/tex] e [tex]P^TBP=D[/tex], con [tex]D[/tex] diagonale: i semiassi dell'ellisse sono gli autovalori di [tex]N[/tex] (ovvero gli elementi della diagonale di [tex]D[/tex]), per il teorema spettrale. Non mi è però chiaro perchè [tex]P^TNP=I_2[/tex].
Risposte
Ma $S(2;RR)$ cos'è? E' una notazione che non conosco. Così almeno ci provo 
È l'insieme delle matrici simmetriche di ordine 2 a coefficienti in $RR$.
Innanzitutto premetto che sono abituato ad usare altre notazioni, quindi se commetto qualche imprecisione ti chiedo di segnalarmelo.
Secondo me, hai usato [tex]N[/tex] e [tex]A[/tex] per indicare la stessa matrice simmetrica. Perchè altrimenti i semiassi dell'ellisse non dipenderebbero dalla matrice [tex]A[/tex] che definisce l'ellisse, cosa che mi sembra abbastanza improbabile
Quindi ora denoterò con [tex]N[/tex] la matrice che tu hai chiamato a volte [tex]N[/tex] e a volte [tex]A[/tex]. Se sbaglio, correggimi.
E poi, probabilmente hai fatto un po' di confusione con la scrittura, dovrebbe essere [tex]P^tNP=D[/tex].
Osserva anche che la scrittura [tex]P^tBP=D[/tex] non ha senso per questioni dimensionali ([tex]P[/tex] è [tex]2\times 2[/tex], [tex]B[/tex] è [tex]2\times 1[/tex], [tex]D[/tex] è diagonale [tex]2\times 2[/tex]).
Immagino che per te un prodotto scalare sia una forma bilineare simmetrica su [tex]\mathbb{R}^2[/tex] rappresentata dalla matrice simmetrica [tex]N[/tex] (questa è una differenza con le mie notazioni: sono abituato a considerare un prodotto scalare anche definito positivo)
Una formulazione equivalente del teorema spettrale è la seguente:
Nel tuo caso tu usi il teorema spettrale alla matrice [tex]N[/tex] ottenendo una matrice [tex]P\in O(2,\mathbb{R})[/tex], tale che [tex]P^tNP=D[/tex].
Questa matrice [tex]P[/tex] definisce un cambiamento di riferimento nel nostro piano affine euclideo. Il cambiamento di riferimento è dato da
[tex]X=PX'[/tex]
Il cambiamento di coordinate non cambia le proprietà metriche dell'ellisse, quindi non cambia la lunghezza dei semiassi.
In questo nuovo sistema l'ellisse ha equazione
(*) [tex](X')^tDX'+(B')^tX'+c=0[/tex]
dove [tex]B=PB'[/tex].
L'equazione (*) è più facile da usare, in quanto [tex]D[/tex] è diagonale. Da questa equazione si ricava che i semiassi sono gli elementi diagonali di [tex]D[/tex], ovvero gli autovalori di [tex]N[/tex].
Spero di aver compreso bene, di aver risposto alla tua domanda e non aver commesso errori...ciao!
Secondo me, hai usato [tex]N[/tex] e [tex]A[/tex] per indicare la stessa matrice simmetrica. Perchè altrimenti i semiassi dell'ellisse non dipenderebbero dalla matrice [tex]A[/tex] che definisce l'ellisse, cosa che mi sembra abbastanza improbabile
Quindi ora denoterò con [tex]N[/tex] la matrice che tu hai chiamato a volte [tex]N[/tex] e a volte [tex]A[/tex]. Se sbaglio, correggimi.
E poi, probabilmente hai fatto un po' di confusione con la scrittura, dovrebbe essere [tex]P^tNP=D[/tex].
Osserva anche che la scrittura [tex]P^tBP=D[/tex] non ha senso per questioni dimensionali ([tex]P[/tex] è [tex]2\times 2[/tex], [tex]B[/tex] è [tex]2\times 1[/tex], [tex]D[/tex] è diagonale [tex]2\times 2[/tex]).
Immagino che per te un prodotto scalare sia una forma bilineare simmetrica su [tex]\mathbb{R}^2[/tex] rappresentata dalla matrice simmetrica [tex]N[/tex] (questa è una differenza con le mie notazioni: sono abituato a considerare un prodotto scalare anche definito positivo)
Una formulazione equivalente del teorema spettrale è la seguente:
per ogni matrice simmetrica [tex]S[/tex] esistono una matrice ortogonale [tex]P[/tex] (cioè tale che [tex]P^tP = I[/tex]) ed una diagonale [tex]D[/tex] per cui
[tex]D = P^t S P[/tex]
Nel tuo caso tu usi il teorema spettrale alla matrice [tex]N[/tex] ottenendo una matrice [tex]P\in O(2,\mathbb{R})[/tex], tale che [tex]P^tNP=D[/tex].
Questa matrice [tex]P[/tex] definisce un cambiamento di riferimento nel nostro piano affine euclideo. Il cambiamento di riferimento è dato da
[tex]X=PX'[/tex]
Il cambiamento di coordinate non cambia le proprietà metriche dell'ellisse, quindi non cambia la lunghezza dei semiassi.
In questo nuovo sistema l'ellisse ha equazione
(*) [tex](X')^tDX'+(B')^tX'+c=0[/tex]
dove [tex]B=PB'[/tex].
L'equazione (*) è più facile da usare, in quanto [tex]D[/tex] è diagonale. Da questa equazione si ricava che i semiassi sono gli elementi diagonali di [tex]D[/tex], ovvero gli autovalori di [tex]N[/tex].
Spero di aver compreso bene, di aver risposto alla tua domanda e non aver commesso errori...ciao!
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