Coniche esercizio

[Lucalupen]

Ciao Ragazzi, sono nuovo del forum, tra un paio di settimane avrò l'esame di geometria e algebra lineare e ho iniziato a studiare già da un mese come un pazzo! l'unica cosa che non riesco a capire sono le coniche, cioè credevo di averle capite, ma alla vista di questo esercizio ho iniziato a sudare freddo!

nel piano si consideri T di equazione x^2-xy-1=0

a) classificare tale conica e scriverne l'equazione canonica
b) determinare il cambio di riferimento che riduce T in forma canonica

mi potreste aiutare per favore?

[Rosy19931]

ciao anche io sto studiando per questo esame, allora per quanto riguarda la classificazione prima di tutto scrivi la matrice associata alla conica, se il rango è 1 la conica è una retta contata due volte, se il rango è 2 la conica è l'unione di 2 rette, mentre se il rango è 3 procedi così: scrivi l'equazione della conica nel piano proiettivo e fai l'intersezione con la retta impropria. Se ti escono 2 punti reali e distinti si tratta di un'iperbole, se 2 punti complessi e coniugati è un'ellisse o una circonferenza, se è 1 solo punto è una parabola!
per quanto riguarda la forma canonica purtroppo non so proprio cosa dirti.. spero di averti aiutato buono studio:)

[gio73]

Per le forme canoniche...
$ax^2 + bx +c=0$ la parabola
$x^2/(a^2) + y^2/(b^2)=1$ l'ellissi con il punto medio focale coincidente con l'origine, a e b sono i due semiassi
$x^2/(a^2) - y^2/(b^2)=1$ l'iperbole idem

[Rosy19931]

\(\displaystyle a{{x}^{{2}}}+{b}{{y}^{{2}}}+{c}{x}{y}++{d}{x}+e{y}+f={0} \)
la matrice associata alla conica è: \(\displaystyle {\left(\matrix{{a}&{c/2}&{d/2}\\{c/2}&{b}&{e/2}\\{d/2}&{e/2}&{f}}\right)} \)