Coniche degeneri e centro di una conica
Sto studiando le coniche ma ho dei problemi a determinare le rette in cui essa può degenerare.
Faccio un esempio: considero la conica $gamma:3x^2-5xy-2y^2-x+9y-4=0$
calcolando matrice associata e il suo rango ($2$) e verificando la segnatura $(1,1)$ ottengo che la conica è degenere in due rette... ma non riesco a determinarle.
Immagino che la domanda sia stupida, ma proprio non mi riesce
Avrei anche un dubbio circa il centro di una conica.
Se la conica è degenere (quindi sia di rango $1$ che di rango $2$) può possedere il centro?
Nei miei appunti la definizione come polo della retta impropria è dato per coniche di rango $3$, ma in un esercizio mi chiede di calcolarlo anche per la conica cui sopra.
Grazie a tutti
Faccio un esempio: considero la conica $gamma:3x^2-5xy-2y^2-x+9y-4=0$
calcolando matrice associata e il suo rango ($2$) e verificando la segnatura $(1,1)$ ottengo che la conica è degenere in due rette... ma non riesco a determinarle.
Immagino che la domanda sia stupida, ma proprio non mi riesce
Avrei anche un dubbio circa il centro di una conica.
Se la conica è degenere (quindi sia di rango $1$ che di rango $2$) può possedere il centro?
Nei miei appunti la definizione come polo della retta impropria è dato per coniche di rango $3$, ma in un esercizio mi chiede di calcolarlo anche per la conica cui sopra.
Grazie a tutti
Risposte
Rispondo alla prima domanda: la conica è degenere in due rette. Se trovi due punti della conica, sai che la retta che li congiunge è interamente contenuta nella conica.
Nel tuo caso, trova due punti, per esempio $P(-1,0)$ e $Q(1,1)$. La retta $[P,Q]$ ha equazione (a meno di errori di conti) $-x+2y-1=0$.
Dividendo $3x^2-5xy-2y^2-x+9y-4$ per $-x+2y-1$ dovresti ottenere $-3x-y+4$.
Quindi la conica ha equazione $gamma: (-x+2y-1)(-3x-y+4)=0$.
Dai una controllatina ai conti per conferma.
Nel tuo caso, trova due punti, per esempio $P(-1,0)$ e $Q(1,1)$. La retta $[P,Q]$ ha equazione (a meno di errori di conti) $-x+2y-1=0$.
Dividendo $3x^2-5xy-2y^2-x+9y-4$ per $-x+2y-1$ dovresti ottenere $-3x-y+4$.
Quindi la conica ha equazione $gamma: (-x+2y-1)(-3x-y+4)=0$.
Dai una controllatina ai conti per conferma.
"mistake89":
conica $gamma:3x^2-5xy-2y^2-x+9y-4=0$
Prova a risolvere rispetto a $y$ (è un'equazione di secondo grado in $y$),
considerando la $x$ come costante.
Troverai le seguenti soluzioni:
[tex]y = -3\,x + 4 \;\; ; \;\; y = \dfrac{1}{2}\,x + \dfrac{1}{2}[/tex]
quindi la conica "si spezza" nelle due rette scritte.
Immaginavo fosse una cosa banale, ma proprio non mi ci raccapezzavo!
Grazie mille ad entrambi!
Grazie mille ad entrambi!
Tieni conto che in alcuni casi si vede "a occhio";
ad esempio la conica
[tex]x^2 + xy = 0[/tex]
può essere scritta nella forma
[tex]x (x + y) = 0[/tex]
si spezza nelle rette [tex]x=0[/tex] e [tex]x + y = 0[/tex] .
ad esempio la conica
[tex]x^2 + xy = 0[/tex]
può essere scritta nella forma
[tex]x (x + y) = 0[/tex]
si spezza nelle rette [tex]x=0[/tex] e [tex]x + y = 0[/tex] .
Sì certo, quand'è così sì...
in realtà avevo provato anche risolvendo l'equazione di secondo grado (trattando $y$ come parametro) ma, sicuramente per un errore di calcolo, mi son bloccato poichè aveva discriminante negativo.
Grazie ancora ad entrambi.
E per ciò che riguarda il centro?
in realtà avevo provato anche risolvendo l'equazione di secondo grado (trattando $y$ come parametro) ma, sicuramente per un errore di calcolo, mi son bloccato poichè aveva discriminante negativo.
Grazie ancora ad entrambi.
E per ciò che riguarda il centro?
Per il centro basta intersecare le due rette!
quindi è definito anche per le coniche di rango degeneri di rango $<3$?
ti ringrazio
ti ringrazio
Sinceramente io non ho ho mai sentito parlare di centro di una conica di rango $<3$.
Certamente, se si può definire un tale oggetto, non è definito come punto $C$ polo della retta impropria. Questo perchè non è detto che che esista un tale punto.
Nel caso di coniche $C$ semplicemente degeneri in due rette $t_1$ e $t_2$ mi sembra plausibile che il centro possa definirsi come il punto $P$ intersezione delle due rette. Comunque, se non ricordo male (è passato un po' di tempo), tale punto è l'unico di $C$ che non ammette retta polare. Quindi se quel punto è il "centro", la definizione di centro deve essere diversa rispetto a quella data quando il rango è 3.
Nel caso di coniche doppiamente degeneri, non credo possa definirsi un centro.
Basta mettersi d'accordo sulle definizioni. Con le mie conoscenze (so cos'è il centro solo per coniche di rango $3$) non so risponderti.
Certamente, se si può definire un tale oggetto, non è definito come punto $C$ polo della retta impropria. Questo perchè non è detto che che esista un tale punto.
Nel caso di coniche $C$ semplicemente degeneri in due rette $t_1$ e $t_2$ mi sembra plausibile che il centro possa definirsi come il punto $P$ intersezione delle due rette. Comunque, se non ricordo male (è passato un po' di tempo), tale punto è l'unico di $C$ che non ammette retta polare. Quindi se quel punto è il "centro", la definizione di centro deve essere diversa rispetto a quella data quando il rango è 3.
Nel caso di coniche doppiamente degeneri, non credo possa definirsi un centro.
Basta mettersi d'accordo sulle definizioni. Con le mie conoscenze (so cos'è il centro solo per coniche di rango $3$) non so risponderti.
Ti ringrazio Cirasa. Appena possibile sarà un punto da approfondire...
Bè, trattandosi di due rette incidenti, ho inteso il testo dell'esercizio come "centro di simmetria".
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