Coniche degeneri....
Cari ragazzi, nel corso dello studio delle coniche mi è sorto un dubbio. Se si considera la conica [tex]G(x,y)=x^2+y^2[/tex] questa è degenere (semplicemente) con punto singolare dato dal punto proprio [tex]P=[(1,0,0)][/tex]. Ora tale conica posso decomporla in [tex](x-iy)(x+iy)[/tex] ossia due rette immaginarie. In conclusione nel piano reale vedo solo l'origine, ossia il suo punto singolare, ma mi sono chiesto se fosse possibile un'estensione complessa della stessa (in un piano complesso?) in cui poter vedere anche quelle due rette immaginarie che la definiscono. In attesa di vostre delucidazioni, ringrazio tutti per la collaborazione. 
Risposte
Mettiamola cosi' (da un punto di vista abbastanza algebrico...), immagino tu abbia visto come si definisce il piano proiettivo reale \({\mathbb P}_2({\mathbb R})\), per esempio come quoziente: \[{\mathbb P}_2({\mathbb R}):={\mathbb R}^3\setminus \{(0,0,0)\}/\sim\quad "="\quad\{\text{ sottospazi di dimensione (reale) } 1 \text{ di } \mathbb R^3\},\] dove, per definizione, $u\sim v in \mathbb R^3\setminus \{(0,0,0)\}\iff\text{ esiste }a\in \mathbb R \text{ tale che } u=a\cdot v$ (necessariamente tale $a$, se esiste, e' unico e non nullo); denoto con $[a_0:a_1:a_2]\in \mathbb P_2(\mathbb R)$ la classe del vettore non nullo $(a_0,a_1,a_2)\in \mathbb R^3\setminus \{(0,0,0)\}$.
In modo analogo si puo' definire il piano proiettivo complesso: \[{\mathbb P}_2({\mathbb C}):={\mathbb C}^3\setminus \{(0,0,0)\}/\sim \quad "="\quad \{\text{ sottospazi di dimensione (complessa) } 1 \text{ di }{\mathbb C}^3\},\] dove, per definizione, $u\sim v in \mathbb C^3\setminus \{(0,0,0)\}\iff\text{ esiste }z\in \mathbb C \text{ tale che } u=z\cdot v$ (necessariamente tale $z$, se esiste, e' unico e non nullo); denoto con $[z_0:z_1:z_2]\in \mathbb P_2(\mathbb C)$ la classe del vettore non nullo $(z_0,z_1,z_2)\in \mathbb C^3\setminus \{(0,0,0)\}$.
L'inclusione naturale $\mathbb R\subseteq \mathbb C$ (per cui $a\mapsto a+0\cdot i$) induce un'inclusione \[ {\mathbb P}_2({\mathbb R})\hookrightarrow {\mathbb P}_2({\mathbb C}),\quad [a_0:a_1:a_2]_{{\mathbb R}}\mapsto [a_0 :a_1:a_2]_{{\mathbb C}}\] (magari verificalo per esercizio: perche' e' ben definita? perche' e' iniettiva?).
La tua equazione $x^2+y^2=0\iff (x+iy)(x-iy)=0$ definisce, in $\mathbb P_2(\mathbb C)$ le due rette proiettive complesse: $r_1=\{[z_0:z_1:z_2]\in \mathbb P_2(\mathbb C) | z_1=-iz_2 \}=\{[z_0:z_1:iz_1] | z_0,z_1\in\mathbb C\}$ ed $r_2\{[z_0:z_1:z_2]\in \mathbb P_2(\mathbb C) | z_1=iz_2 \}=\{[z_0:z_1:-iz_1] | z_0,z_1\in\mathbb C\}$, che si incontrano nel solo punto (proprio e reale) $r_1\cap r_2=[1:0:0]$.
Ti ricordo che "topologicamente" $\mathbb P_0(\mathbb R)=\mathbb P_0(\mathbb C)=\text{ un "punto"}$,
$\mathbb P_0(\mathbb R)$ e' una circonferenza reale, mentre $\mathbb P_2(\mathbb R)$ e' una "mezza sfera con solo mezzo equatore"; invece $\mathbb P_1(\mathbb C)$ e' una sfera reale, mentre $\mathbb P_2(\mathbb C)$ ha dimensione reale $4$...quindi un po' piu' complicato da visualizzare....le "rette" $r_1$ ed $r_2$ di cui si parla sopra, sono da un punto di vista topologico delle sfere tangenti in un solo punto...
Spero si capisca qualcosa...
Ciao
In modo analogo si puo' definire il piano proiettivo complesso: \[{\mathbb P}_2({\mathbb C}):={\mathbb C}^3\setminus \{(0,0,0)\}/\sim \quad "="\quad \{\text{ sottospazi di dimensione (complessa) } 1 \text{ di }{\mathbb C}^3\},\] dove, per definizione, $u\sim v in \mathbb C^3\setminus \{(0,0,0)\}\iff\text{ esiste }z\in \mathbb C \text{ tale che } u=z\cdot v$ (necessariamente tale $z$, se esiste, e' unico e non nullo); denoto con $[z_0:z_1:z_2]\in \mathbb P_2(\mathbb C)$ la classe del vettore non nullo $(z_0,z_1,z_2)\in \mathbb C^3\setminus \{(0,0,0)\}$.
L'inclusione naturale $\mathbb R\subseteq \mathbb C$ (per cui $a\mapsto a+0\cdot i$) induce un'inclusione \[ {\mathbb P}_2({\mathbb R})\hookrightarrow {\mathbb P}_2({\mathbb C}),\quad [a_0:a_1:a_2]_{{\mathbb R}}\mapsto [a_0 :a_1:a_2]_{{\mathbb C}}\] (magari verificalo per esercizio: perche' e' ben definita? perche' e' iniettiva?).
La tua equazione $x^2+y^2=0\iff (x+iy)(x-iy)=0$ definisce, in $\mathbb P_2(\mathbb C)$ le due rette proiettive complesse: $r_1=\{[z_0:z_1:z_2]\in \mathbb P_2(\mathbb C) | z_1=-iz_2 \}=\{[z_0:z_1:iz_1] | z_0,z_1\in\mathbb C\}$ ed $r_2\{[z_0:z_1:z_2]\in \mathbb P_2(\mathbb C) | z_1=iz_2 \}=\{[z_0:z_1:-iz_1] | z_0,z_1\in\mathbb C\}$, che si incontrano nel solo punto (proprio e reale) $r_1\cap r_2=[1:0:0]$.
Ti ricordo che "topologicamente" $\mathbb P_0(\mathbb R)=\mathbb P_0(\mathbb C)=\text{ un "punto"}$,
$\mathbb P_0(\mathbb R)$ e' una circonferenza reale, mentre $\mathbb P_2(\mathbb R)$ e' una "mezza sfera con solo mezzo equatore"; invece $\mathbb P_1(\mathbb C)$ e' una sfera reale, mentre $\mathbb P_2(\mathbb C)$ ha dimensione reale $4$...quindi un po' piu' complicato da visualizzare....le "rette" $r_1$ ed $r_2$ di cui si parla sopra, sono da un punto di vista topologico delle sfere tangenti in un solo punto...
Spero si capisca qualcosa...
Ciao
Si , è molto chiaro il ragionamento. Quindi inevitabilmente per avere una rappresentazione della situazione in esame si necessita di una struttura più complessa del solito piano con cui si opera. Sai indicarmi qualche testo a riguardo?
Sull' inevitabilita' non mi sbilancio; pero', presentati con la dovuta calma e i "passaggi giusti", gli spazi proiettivi complessi
si presentano come una soluzione abbastanza naturale al tipo di problema che hai posto.
Perdonami se non vado a leggere tutti i tuoi messaggi e non cerco di capire quale sia il tuo back ground, le "letture consigliate" che ti propongo potrebbero esserti indigeste, nel caso ti chiedo scusa fin d'ora...
(a) Sul web: Maurizio Cornalba, Piccola introduzione alla geometria proiettiva,
--> http://www-dimat.unipv.it/cornalba/dispense/proj.pdf
penso siano, assieme a (b), una delle migliori introduzioni reperibili in lingua italiana a livello tra l'universitario e il divulgativo. Giudica tu...
(b) Saunders Mac Lane- Garrett Birkhoff, Algebra, Mursia (1978) pagg. 452-459 (al massimo l'intero capitolo XII);
e siao gia' nel tecnico...pero' in un solo posto trovi "quasi tutto" (l'importante), e fatto in un modo abbastanza comprensibile (disegnini inclusi);
(c) Edoardo Sernesi, Geometria I, Boringhieri....se riesci a non addormentartici sopra...non e' malvaggio,
molto curato ma non immediato per l'intuizione...
(d) Una volta esistevano le "Lezioni di geometria" (Vol. 1 & 2) di Francesco Gherardelli - Luigi A. Rosati - Giuseppe Tomassini...se per caso capiti nella biblioteca di un qualche dipartimento di Matematica, dovresti trovarle....belle...un po' impegnative...ma ne vale la pena (non ricordo se la parte che ti interessa sia nel primo o nel secondo volume).
Saluti,
Alessio
si presentano come una soluzione abbastanza naturale al tipo di problema che hai posto.
Perdonami se non vado a leggere tutti i tuoi messaggi e non cerco di capire quale sia il tuo back ground, le "letture consigliate" che ti propongo potrebbero esserti indigeste, nel caso ti chiedo scusa fin d'ora...
(a) Sul web: Maurizio Cornalba, Piccola introduzione alla geometria proiettiva,
--> http://www-dimat.unipv.it/cornalba/dispense/proj.pdf
penso siano, assieme a (b), una delle migliori introduzioni reperibili in lingua italiana a livello tra l'universitario e il divulgativo. Giudica tu...
(b) Saunders Mac Lane- Garrett Birkhoff, Algebra, Mursia (1978) pagg. 452-459 (al massimo l'intero capitolo XII);
e siao gia' nel tecnico...pero' in un solo posto trovi "quasi tutto" (l'importante), e fatto in un modo abbastanza comprensibile (disegnini inclusi
);(c) Edoardo Sernesi, Geometria I, Boringhieri....se riesci a non addormentartici sopra...non e' malvaggio,
molto curato ma non immediato per l'intuizione...
(d) Una volta esistevano le "Lezioni di geometria" (Vol. 1 & 2) di Francesco Gherardelli - Luigi A. Rosati - Giuseppe Tomassini...se per caso capiti nella biblioteca di un qualche dipartimento di Matematica, dovresti trovarle....belle...un po' impegnative...ma ne vale la pena (non ricordo se la parte che ti interessa sia nel primo o nel secondo volume).
Saluti,
Alessio
Grazie mille di tutto, Alessio.
P.S. Cosa studi te, se non sono troppo ficcanaso?
RE P.S....sarebbe di certo OT 
"alessio76":
RE P.S....sarebbe di certo OT
Non credo di aver afferrato a pieno il senso della risposta!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo